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2013-2014南京市高一下数学期末含解析


2013-2014 学年江苏省南京市高一(下)期末数学试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡相应位置上. 1. (5 分) (2014 春?南京期末) 已知 tanα=2, 求值 tan (α+ ) = .

2. (5 分) (2014 春?南京期末)不等式

<0 的解集





3. (5 分) (2014 春?南京期末)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,则二面角 D1﹣AB﹣D 的大小为 . 4. (5 分) (2014?大连学业考试)sinx+cosx 的最大值是 . 5. (5 分) (2014 春?南京期末)如图,球 O 内切于圆柱 O1O2.记球 O 的体 积为 V1,圆柱 O1O2 的体积为 V2,则 的值是 .

6. (5 分) (2014 春?南京期末)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosA+acosB= c?cosB,则角 B 的大小是 .

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7. (5 分) (2014 春?南京期末) 圆锥的侧面展开图是半径为 3, 圆心角为 的扇形,则这个圆锥的高是 .
2

8. (5 分) (2014 春?南京期末)若不等式 x ﹣ax+4≥0 对任意的 x∈(0,3) 都成立,则实数 a 的取值范围是 . 9. (5 分) (2014 春?南京期末) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 am﹣1+am+1 2 ﹣am =0,S2m﹣1=58,则 m= . 10. (5 分) (2014 春?南京期末)关于直线 m,n 与平面 α,β 有以下四个命 题: ① 若 m?α,n?β,则 m,n 是异面直线; ② 若 m?α,α∥ β,则 m∥ β; ③ 若 m∥ α,n?β,α∥ β,则 m∥ n; ④ 若 α⊥ β,α∩ β=m,n⊥ m,则 n⊥ β. 其中正确的命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号)

11. (5 分) (2014 春?南京期末)若 cos(α+ 值是 .

)= ,则 sin(2α﹣

)的

12. (5 分) (2014 春?南京期末)将全体正整数排成如图所示的一个三角形 数阵.记第 i 行第 j 列(i,j 为正整数)位置上的数为 aij,如 a35=5,a41=7, 那么 a95= .

13. (5 分) (2014 春?南京期末)若满足∠ ABC= 恰有一个,则实数 t 的取值范围是 .

,AC=1,BC=t 的△ ABC

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14. (5 分) (2014 春?南京期末)已知 a>0,b>0, 的最小值是 .

+

=1,则 a+b

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2014 春?南京期末)已知 cos θ﹣sin θ= ,θ∈(0, (1)求 θ 的值; (2)若 sinx= ,x∈( ,π) ,求 cos(x+θ)的值.
2 2

) .

16. (14 分) (2014 春?南京期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥ DC, DC=2AB,E 为 PC 的中点. (1)求证:BE∥ 平面 PAD; (2)若 AB⊥ 平面 PAD,AD⊥ PB,求证:PA⊥ 平面 ABCD.

17. (14 分) (2014 春?南京期末)已知等差数列{an}中,a3=2,3a2+2a7=0, 其前 n 项和为 Sn. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)令 bn=| |,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (16 分) (2014 春?南京期末)某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产一种 产品(生产条件要求 1≤x≤5) ,每小时可获得的利润是 100(8x+1﹣ )元.
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(1)要使生产该产品每小时获得的利润不低于 1600 元,求 x 的取值范围; (2) 要使生产 1000 千克该产品获得的利润最大, 问该厂应怎样选取生产速 度?并求此最大利润. 19. (16 分) (2014 春?南京期末) 如图, 在△ ABC 中, AB=4, AC=1, ∠ BAC=60°. (1)求 BC 的长和 sin∠ ACB 的值; (2)延长 AB 到 M,延长 AC 到 N,连结 MN,若四边形 BMNC 的面积为 3 ,求 ? 的最大值.

20. (16 分) (2014 春?南京期末)在数列{an}中,Sn 为其前 n 项和.已知 * 4an=1+2Sn(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 M,使得当 n>M 时,a1?a4?a7…a3n﹣2>a78 恒成立? 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由; (3) 是否存在等差数列{bn}, 使得对任意的 n∈N , 都有 b1?an+b2?an﹣1+b3?an
﹣2

*

+…+bn﹣1?a2+bn?a1=2 ﹣ ﹣1?若存在,试求出{bn}的通项公式;若不存

n

在,请说明理由.

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2013-2014 学年江苏省南京市高一(下)期末 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡相应位置上. 1. (5 分) (2014 春?南京期末)已知 tanα=2,求值 tan(α+ )= ﹣3 .

考 两角和与差的正切函数. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 由条件利用两角和的正切公式计算求得结果. 析: 解 解:∵ tanα=2,∴ tan(α+ )= = 答:
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=﹣3,

故答案为:﹣3. 点 本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题. 评:

2. (5 分) (2014 春?南京期末)不等式

<0 的解集是 (0,1) .

考 其他不等式的解法. 点: 专 不等式的解法及应用. 题: 分 <0 等价转化为不等式组 析: 将不等式
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① ,或

② ,

分别解之,最后取并集即可.
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解 解:∵ 答: ∴

< 0,

① ,或

② ,

解① ,x∈?; 解② ,得 0<x<1, 综上所述,不等式 <0 的解集是(0,1) .

点 评:

故答案为: (0,1) . 本题考查分式不等式的解法,将已知不等式等价转化为相应的不等式 组 ① ,或 ② 是关键,考查运算能力,属于中档题.

3. (5 分) (2014 春?南京期末)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,则二面角 D1﹣AB﹣D 的大小为 45° . 考 与二面角有关的立体几何综合题. 点: 专 综合题. 题: 分 先确定∠ D1AD 是二面角 D1﹣AB﹣D 的平面角,即可求得结论. 析: 解 解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB⊥ 面 A1B1C1D1, 答: ∴ ∠ D1AD 是二面角 D1﹣AB﹣D 的平面角 ∵ ∠ D1AD=45° ∴ 二面角 D1﹣AB﹣D 的大小为 45° 故答案为:45° 点 本题考查面面角,解题的关键是利用线面垂直确定面面角. 评:
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4. (5 分) (2014?大连学业考试)sinx+cosx 的最大值是 . 考 三角函数的最值.

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点: 专 计算题. 题: 分 利用辅角公式对原式进行化简整理,利用正弦函数的性质求得其最大 析: 值. 解 解:sinx+cosx= sin(x+ )≤ 答: 故答案为: 点 本题主要考查了三角函数的最值问题.属基础题. 评: 5. (5 分) (2014 春?南京期末)如图,球 O 内切于圆柱 O1O2.记球 O 的体 积为 V1,圆柱 O1O2 的体积为 V2,则 的值是 .

考 球的体积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 点: 专 计算题;空间位置关系与距离. 题: 分 设出球的半径,求出球的体积,圆柱的体积,即可得到体积的比. 析: 解 解:设球的半径为:1,则圆柱的底面半径为 1,高为 2. 答: 所以球的体积为: = ,
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圆柱的体积为:π×1 ×2=2π, 所以球体积为 V1,圆柱体积为 V2,则 V1:V2= .

2

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故答案为: . 点 本题考查圆柱的体积,球的体积的求法,考查计算能力. 评: 6. (5 分) (2014 春?南京期末)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosA+acosB= c?cosB,则角 B 的大小是 .

考 正弦定理. 点: 分 利用正弦定理把已知等式中的边化成角的正弦,利用两角和公式进行 析: 化简求得 cosB 的值.则 B 可求得. 解 解:∵ bcosA+acosB= c?cosB, 答: ∴ sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC= sinCcosB, ∵ sinC≠0,
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∴ cosB= ∴ B= .



故答案为: 点 本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键时利用正弦定理完成边 评: 角问题的转化.

7. (5 分) (2014 春?南京期末) 圆锥的侧面展开图是半径为 3, 圆心角为 的扇形,则这个圆锥的高是 2 .

考 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系,列方程求解得到圆 析: 锥的底面半径,然后利用勾股定理确定圆锥的高即可. 解 解:设此圆锥的底面半径为 r,
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答: 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得, 2πr= r=1; 圆锥的高为: =2 . ,

故答案为:2 . 点 主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系,圆锥的侧面展开 评: 图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆 锥的母线长. 8. (5 分) (2014 春?南京期末)若不等式 x ﹣ax+4≥0 对任意的 x∈(0,3) 都成立,则实数 a 的取值范围是 a≤4 . 考 一元二次不等式的解法. 点: 专 计算题;不等式的解法及应用. 题: 分 2 x ﹣ax+4≥0 对任意的 x∈(0,3)都成立,等价于 a≤x+ ,在(0,3) 析:
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2

上恒成立,转化为求 x

的最小值即可.

解 2 解:x ﹣ax+4≥0 即 a≤x+ , 答: ∴ x ﹣ax+4≥0 对任意的 x∈(0,3)都成立,即 a≤x+ ,在(0,3)上 恒成立, x+ =4,当且仅当 x=2 时取等号,
2

∴ a≤4. 故答案为:a≤4. 点 该题考查二次不等式的求解、函数恒成立,考查转化思想,分离参数 评: 化为函数的最值是解决恒成立问题的常用方法. 9. (5 分) (2014 春?南京期末) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 am﹣1+am+1 2 ﹣am =0,S2m﹣1=58,则 m= 15 .
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考 等差数列的前 n 项和. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 由已知条件求出 am=0 或 am=2.S2m﹣1= 析: ﹣1)am=58,由此能求出 m=15. 2 解 解:∵ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,am﹣1+am+1﹣am =0, 2 答: ∴ 2am﹣am =0,解得 am=0 或 am=2.
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=(2m

S2m﹣1=

=(2m﹣1)am=58

∴ am=0 不满足条件 把 am=2 代入得 m=15. 故答案为:15. 点 本题考查等差数列中项数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 评: 意等差数列的性质的灵活运用. 10. (5 分) (2014 春?南京期末)关于直线 m,n 与平面 α,β 有以下四个命 题: ① 若 m?α,n?β,则 m,n 是异面直线; ② 若 m?α,α∥ β,则 m∥ β; ③ 若 m∥ α,n?β,α∥ β,则 m∥ n; ④ 若 α⊥ β,α∩ β=m,n⊥ m,则 n⊥ β. 其中正确的命题的序号是 ② . (写出所有正确命题的序号) 考 空间中直线与直线之间的位置关系. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断. 析: 解 解:若 m?α,n?β,则 m,n 直交、平行或异面,故① 不正确; 答: 若 m?α,α∥ β,则由直线与平面平行的判定定理知 m∥ β,故② 正确; 若 m∥ α,n?β,α∥ β,则 m 与 n 平行或异面,故③ 不正确; 若 α⊥ β,α∩ β=m,n⊥ m,则 n 与 β 或 n?β,故④ 不正确.
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故答案为:② . 点 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间 评: 思维能力的培养.

11. (5 分) (2014 春?南京期末)若 cos(α+ 值是 ﹣ .

)= ,则 sin(2α﹣

)的

考 二倍角的正弦. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 2 由 cos (α+ ) 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α+ 析:
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的值,利用二倍角的余弦函数公式求出 cos(2α+ 度变形后利用由公式化简即可求出值. 解 解:∵ cos(α+ 答: ∴ sin (α+ ∴ cos(2α+ 则 sin(2α﹣ 故答案为:﹣
2

)的值,原式中角

)= , =
2

)=1﹣

, )﹣sin (α+ ﹣
2

)=cos (α+ )=sin(2α+

)=

, )=﹣ .

)=﹣cos(2α+

点 此题考查了二倍角的余弦函数公式,诱导公式,以及同角三角函数间 评: 的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键. 12. (5 分) (2014 春?南京期末)将全体正整数排成如图所示的一个三角形 数阵.记第 i 行第 j 列(i,j 为正整数)位置上的数为 aij,如 a35=5,a41=7, 那么 a95= 41 .

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考 归纳推理. 点: 专 规律型. 题: 分 先找到数的分布规律, 求出第 n﹣1 行结束的时候一共出现的数的个数, 析: 再求第 n 行从左向右的第 5 个数,代入 n=9 可得. 解 解:由排列的规律可得,第 n﹣1 行结束的时候共排了 1+2+3+…+(n 答: ﹣1)= 个数,
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∴ 第 n 行从左向右的第 5 个数为

+5=



点 评:

把 n=9 代入可得第 9 行从左向右的第 5 个数,即 a95=41, 故答案为:41 本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用,属基础题.

13. (5 分) (2014 春?南京期末)若满足∠ ABC= 恰有一个,则实数 t 的取值范围是 (0,1]∪ {

,AC=1,BC=t 的△ ABC } .

考 正弦定理. 点: 专 解三角形. 题: 分 先通过正弦定理用 sinA 表示出 t, 进而根据已知条件推断出 A 的范围, 析: 则 t 的范围可得. 解 解:由正弦定理知 = , 答:
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∴ sinA=

?BC=

t,

若△ ABC 恰有一个, 则需要三角形为直角三角形或为钝角三角形, 若C 为钝角或直角, 则 <A+ ≤ ,0<A≤ ,

t= sinA, 0<则 t≤1 若 A 为直角即 A= ,

t= sinA,t= , 故答案为: (0,1]∪ { }. 点 本题主要考查了正弦定理的运用.解题的过程中对另外两个角综合考 评: 虑.

14. (5 分) (2014 春?南京期末)已知 a>0,b>0, 的最小值是 .

+

=1,则 a+b

考 基本不等式. 点: 专 计算题;不等式的解法及应用. 题: 分 由 + =1,得 2a=1+ ﹣b,则 2a+2b=1+ +b,利用基本不等式 析: 即可求得. 解 解:由 + =1,得 2a=1+ ﹣b, 答:
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∴ 2a+2b=1+ +b ∴ a+b

=3,当且仅当 b=1 时取等号,

,即 a+b 的最小值为 ,

故答案为: . 点 该题考查利用基本不等式求函数的最值,属基础题,注意适用条件:
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评: 一正、二定、三相等. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2014 春?南京期末)已知 cos θ﹣sin θ= ,θ∈(0, (1)求 θ 的值; (2)若 sinx= ,x∈( ,π) ,求 cos(x+θ)的值.
2 2

) .

考 二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 (1)已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用特殊角的 析: 三角函数值即可求出 θ 的度数; (2)由 sinx 的值,以及 x 的范围,利用同角三角函数间基本关系求出 cosx 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简,将各自的值代 入计算即可求出值. 解 2 2 解: (1)∵ cos θ﹣sin θ=cos2θ= >0,θ∈(0, ) ,即 2θ∈(0, ) , 答:
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∴ 2θ=

,即 θ=

; ,π) , =﹣ , ﹣ × =﹣ .

(2)∵ sinx= ,x∈( ∴ cosx=﹣

则 cos(x+θ)=cosxcosθ﹣sinxsinθ=﹣ ×

点 此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的余弦函数公式,熟 评: 练掌握公式是解本题的关键. 16. (14 分) (2014 春?南京期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥ DC, DC=2AB,E 为 PC 的中点. (1)求证:BE∥ 平面 PAD; (2)若 AB⊥ 平面 PAD,AD⊥ PB,求证:PA⊥ 平面 ABCD.
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考 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 (1)取 PD 中点 F,连结 EF,AF,由已知条件推导出四边形 ABEF 析: 是平行四边形,由此能证明 BE∥ 平面 PAD. (2) 由线面垂直得 AB⊥ PA, AB⊥ AD, 再由 AD⊥ PB, 得 AD⊥ 平面 PAB, 进而得到 AD⊥ PA,由此能证明 PA⊥ 平面 ABCD. 解 (1)证明:取 PD 中点 F,连结 EF,AF, 答: ∵ 在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥ DC,DC=2AB,E 为 PC 的中点,
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∴ EF

DC,∴ EF

AB,

∴ 四边形 ABEF 是平行四边形, ∴ AF∥ BE, 又 AF?平面 PAD,BE 不包含平面 PAD, ∴ BE∥ 平面 PAD. (2)证明:∵ AB⊥ 平面 PAD,PA?平面 PAD,AD?平面 PAD, ∴ AB⊥ PA,AB⊥ AD, ∵ AD⊥ PB,又 PB∩ AB=B, ∴ AD⊥ 平面 PAB, ∵ PA?平面 PAB,∴ AD⊥ PA, ∵ AB∩ AD=A,∴ PA⊥ 平面 ABCD.

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点 本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面垂直的证明,解题 评: 时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 17. (14 分) (2014 春?南京期末)已知等差数列{an}中,a3=2,3a2+2a7=0, 其前 n 项和为 Sn. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)令 bn=| |,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考 数列的求和;等差数列的性质. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 (1)由已知条件利用等差数列通项公式求出首项和公差,由此能求出 析: 等差数列{an}的通项公式.
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(2) Sn=7n﹣n ,

2

=7﹣n, 设数列{

}的前 n 项和为 Mn, 当 n≤7 时,

解 答:

Tn=Mn;当 n>7 时,Tn=﹣Mn+2M7,由此能求出结果. 解: (1)∵ 等差数列{an}中,a3=2,3a2+2a7=0, ∴ ,

解得 a1=6,d=﹣2, ∴ an=6+(n﹣1)×(﹣2)=8﹣2n. (2)∵ a1=6,d=﹣2, ∴ Sn=6n+ =7n﹣n ,
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2

∴ =7﹣n, ∴ { }是首项为 6,公差为﹣1 的等差数列, }的前 n 项和为 Mn, =﹣ ,

设数列{ 则 Mn=6n+

当 n≤7 时, Tn=Mn=6n+ 当 n>7 时,Tn=﹣Mn+2M7= =﹣ ,n≤7. ,n>7.

∴ Tn=



点 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认 评: 真审题,注意分类讨论思想的合理运用. 18. (16 分) (2014 春?南京期末)某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产一种 产品(生产条件要求 1≤x≤5) ,每小时可获得的利润是 100(8x+1﹣ )元. (1)要使生产该产品每小时获得的利润不低于 1600 元,求 x 的取值范围; (2) 要使生产 1000 千克该产品获得的利润最大, 问该厂应怎样选取生产速 度?并求此最大利润. 考 函数模型的选择与应用. 点: 专 应用题;函数的性质及应用. 题: 分 (1)求出生产该产品 1 小时获得的利润,建立不等式,然后解一元二 析: 次不等式即可求 x 的取值范围; (2)确定生产 1000 千克该产品获得的利润函数,利用配方法,从而 可求出最大利润.
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第 17 页(共 22 页)

解 2 解: (1)根据题意,100(8x+1﹣ )≥1600,即 8x ﹣15x﹣2≥0 答: ∴ x≥2 或 x≤﹣ , ∵ 1≤x≤5,∴ 2≤x≤5, 即 x 的取值范围是 2≤x≤5; (2)设生产 1000 千克该产品获得的利润为 y 元,则 y=100(8x+1﹣ )× =10000[﹣3( ﹣ ) +
2

],

∵ 1≤x≤5, ∴ x=4 时,取得最大利润为 812500 元, 故该厂应以 4 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 812500 元. 点 本题考查函数模型的建立,考查解不等式,考查函数的最值,确定函 评: 数的模型是关键.属于中档题. 19. (16 分) (2014 春?南京期末) 如图, 在△ ABC 中, AB=4, AC=1, ∠ BAC=60°. (1)求 BC 的长和 sin∠ ACB 的值; (2)延长 AB 到 M,延长 AC 到 N,连结 MN,若四边形 BMNC 的面积为 3 ,求 ? 的最大值.

考 平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理. 点: 专 平面向量及应用. 题: 分 对第(1)问,已知两边和这两边的夹角,考虑用余弦定理,再用正弦 析: 定理求 sin∠ ACB 的值;
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第 18 页(共 22 页)

对第(2)问,利用三角形面积公式“

”,将四边形 BMNC

的面积转化为△ AMN 的面积与△ ABC 的面积之差,从而建立方程,得到 及 最大值. 解 解: (1)由余弦定理得 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cos∠ BAC 2 2 答: =4 +1 ﹣2×4×1×cos60°=13, ∴ BC= . ∵ 即 ,得 ,∴ 由正弦定理得 . ,
2 2 2

的值,将





表示,再探求其

(2)S 四边形 BMNC=S△AMN﹣ S△ABC= 将 于是 又 ∴ = , ,∠ BAC=60°代入上式,得 = . , ,

=4×1×cos60°=2, =

= 即 当且仅当 ≤2,

≤10﹣



,即

时,联立





时,

?

=2,
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∴ ?

的最大值为 2.

点 1.本题考查了正、余弦定理,已知两边及其中一边的对角,或已知两 评: 角及任意一边,可使用正弦定理;已知两边及这两边的夹角,或已知三 边,可用余弦定理. 2.向量的数量积运算在本题中运用较为灵活,可用于求模,求夹角, 还可以通过模或角与三角形面积公式联系. 3.运用基本不等式求解最值问题时,应注意“一正,二定,三相等”,尤 其是取“=”号的条件. 20. (16 分) (2014 春?南京期末)在数列{an}中,Sn 为其前 n 项和.已知 * 4an=1+2Sn(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 M,使得当 n>M 时,a1?a4?a7…a3n﹣2>a78 恒成立? 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由; (3) 是否存在等差数列{bn}, 使得对任意的 n∈N , 都有 b1?an+b2?an﹣1+b3?an
﹣2

*

+…+bn﹣1?a2+bn?a1=2 ﹣ ﹣1?若存在,试求出{bn}的通项公式;若不存

n

在,请说明理由. 考 数列的求和;数列递推式. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 (1)由已知条件得 4an﹣1=2an.又 4a1=1+2a1,解得 a1= ,可求得数 析: 列{an}的通项公式;
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(2) 由题意, a1?a4?a7?…?a3n﹣2>a78 恒成立, 等价于 可求得结果; (3)假设存在,利用错位相减法,即可求得结果. * 解: (1)∵ 4an=1+2Sn(n∈N ) , ∴ 4an﹣1=2an.∴ =2,

>2 ,

76

解 答:

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又 4a1=1+2a1,解得 a1= , ∴ =2
n﹣2



(2)由(1)知,a1?a4?a7?…?a3n﹣2= ×2 ×2 ×…×2 a78=2 , ∴ a1?a4?a7?…?a3n﹣2>a78 恒成立,等价于 ∴ ,解得 n<﹣ 或 n>8,
76

2

5

3n﹣4

=



>2 ,

76

故存在最小值为 8 的 M,使得 a1?a4?a7?…?a3n﹣2>a78 恒成立. (3)设存在数列{bn}是等差数列,其通项为 bn=kn+b,则 ∵ b1?an+b2?an﹣1+b3?an﹣2+…+bn﹣1?a2+bn?a1=2 ﹣ ﹣1, ∴ b1?2
n﹣1 n

+b2?2

n﹣2

+…+2bn﹣1+
n﹣1

, +2
n﹣3

两式相减可得 b1?2 ∴ (k+ )﹣2 ﹣
n

+k(2

n﹣2

+…+1)﹣ bn=



﹣(k+ )=





∴ k=1,b=0 ∴ bn=n, 即存在数列{bn}是等差数列,其通项为 bn=n, 对任意 n∈N ,都有 b1?an+b2?an﹣1+b3?an﹣2+…+bn﹣1?a2+bn?a1=2 ﹣ ﹣ 1. 点 本题为等差、等比数列与不等式的综合应用,考查错位相减法的运用, 评: 考查分类讨论的数学思想,属中档题.
* n

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参与本试卷答题和审题的老师有: caoqz; wfy814; 刘长柏; zhwsd; wsj1012; qiss;wyz123;zlzhan;sllwyn;翔宇老师;尹伟云(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 8 日

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