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必修5 解三角形知识点归纳总结


必修 5

第一章 解三角形
一.正弦定理:

1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外
a b c ? ? ? 2 R (其中 R 是三角形外接圆的半径) s i nA s i n B sin C a?b?c a b c ? ? ? 2.变形:1) . sin ? ? sin ? ? s

in C sin ? sin ? sin C

接圆的直径,即

2)化边为角: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;
a s i nA b sin B a sin A ? ; ? ; ? ; b sin B c sin C c sin C

3)化边为角: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
sin A a sin B b s i nA a ? ; ? ; ? ; sin B b sin C c sin C c a b c , sin B ? , sin C ? 5)化角为边: sin A ? 2R 2R 2R

4)化角为边:

3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角 B,C,a, 解法:由 A+B+C=180o ,求角 A,由正弦定理
a sin A ? ; 求出 b 与 c c sin C a sin A ? ; b sin B b sin B ? ; c sin C

②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边 a,b,A, 解法:由正弦定理 用正弦定理
a sin A ? 求出角 B,由 A+B+C=180o 求出角 C,再使 b sin B

a sin A ? 求出 c 边 c sin C

4.△ABC 中,已知锐角 A,边 b,则
b
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b sin A
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A

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① a ? b sin A 时,B 无解; ② a ? b sin A 或 a ? b 时,B 有一个解; ③ b sin A ? a ? b 时,B 有两个解。

如:①已知 A ? 60? , a ? 2, b ? 2 3 ,求 B (有一个解) ②已知 A ? 60? , b ? 2, a ? 2 3 ,求 B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数。

二.三角形面积 1. S ?ABC ? 2. S ?ABC 3. S?ABC 4. S ?ABC
1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 1 ? ( a ? b ? c ) r ,其中 r 是三角形内切圆半径. 2 1 ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , 其中 p ? ( a ? b ? c ) , 2 abc ? ,R 为外接圆半径 4R

5. S?ABC ? 2R2 sin A sin B sin C ,R 为外接圆半径

三.余弦定理 1.余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的 2 倍,即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

2.变形: cos A ?
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b2 ? c2 ? a2 2bc
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cos B ?

a2 ? c2 ? b2 2ac a2 ? b2 ? c2 2ab
1 2

cosC ?

注意整体代入,如: a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ? cos B ? 3.利用余弦定理判断三角形形状:

设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:

①若, ②若 c 2 ? b2 ? a 2 ? A为直角

,所以

为锐角

③若 钝角三角形

,所以

为钝角, 则



4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 1)已知三边,求三个角 2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

四、应用题 1.已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π求 C,由正弦定理求 a、

b.
2.已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理 先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角. 3.已知两边和其中一边的对角 (如 a、 、 ) 应用正弦定理求 B, A+B+C b A , 由 = π求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. 4.已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C.
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5.方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目 标的方向线所成的角(一般指锐角) ,通常表达成.正北或正南,北偏东××度, 北偏西××度,南偏东××度,南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.

视线

铅 直 线

仰角 水平线 俯角

视线

五、三角形中常见的结论 1)三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2)三角形三边关系: 两边之和大于第三边:
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两边之差小于第三边:







3)在同一个三角形中大边对大角: A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B 4) 三角形内的诱导公式:
sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

? C C s i n ( ? ) c o s () A? B ? C 2 2 ? 2 t an ? t a n (? ) ? ? C C 2 2 2 c o s( ? ) si n () 2 2 2
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β.
tan α± β tan (3)tan(α± β)= . 1?tan αtan β
6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3) sin 2 ? ?
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; cos 2 ? ? 2 2

2tan α (4)tan 2α= . 1-tan2α

7) 三角形的五心:
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垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一 点

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