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二倍角的正弦、余弦、正切市级公开课赛课


学习导航:二倍角公式是和角公式的一种最特 殊形式,公式刻画了了单角与二倍角之间的相 互转化,正用公式与逆用公式各有不同的变形 目标;难点也正是如些:如何恰当的使用二倍 角公式,正用?逆用?——你得清楚你要变形 的目标。

一、复习两角和的三角公式
S( ? ?? )
C( ???)

? ? sinαcosβ? cosαsinβ sin? α?β ? ? cosαcosβ? sinαsinβ cos? α?β
tanα? tanβ ?? tan? α?β 1 ? tanαtanβ

T( ? ?? )

探究:我们如何根据公式 二倍角公式
sin( ? ? ?? )2sinαcosα ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin2α
利用α的正弦和余弦来 求sin2α的值。 同上理令β ?α,可求
2 2 解: 只要使β?α 即可得

cos2α? cos α? sin α
1 - tan α
2

2tanα ? cosαsinα sin2α ? sinαcosα tan2α?
? 2sinαcosα 需注意正切公式成立的 条件: π kπ π α? kπ? 且α ? ? ,k ?Z 2 2 4

二倍角公式
二倍角公式:
sin2α? 2sinαcosα cos2α ? cos 2α? sin2α 2tanα tan2α? 1 ? tan2α

注意: 公式的特征与记法
(1)左边角是右边角 的二倍

(2)左边是2α的三 角函数的一次式, 右边是α的三角函数的 二次式。

即 - - - -左到右:升幂缩角;右到左:降幂扩角

二倍角公式
根据公式口答下列各题 :
(1)2sin15? cos15 ? ? sin2α? 2sinαcosα 2π 2π 2 2 ? sin ? cos2α ? cos α? sin α (2)cos 6 6 2tanα ? tan2α? 2tan30 (3) ? 1 ? tan2α 2 ? 1 ? tan 30

1 2

1 2

3

1、应用公式求三角函数值
5 ? 5 ? 144 2 2 解: 由sinα? ? cos α? 1 ? sin α? 1 ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 ?π ? ?α? ? ,π? ?2 ? 12 ? cosα? ? 13
2

5 ?π ? 例1. 已知sinα ? , α ?? , π ?求sin2α ,cos2α ,tan2α 的值. 13 ?2 ?

5 ? 12 ? 120 sin2α? 2sinαcosα? 2 ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169

? 12 ? ? 5 ? 119 2 2 cos2α ? cos α ? sin α ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 ? ? 13 ? 169

2

2

1、应用公式求三角函数值
119 ? 12 ? ? 5 ? 2 2 cos2α ? cos α? sin α? ? ? ? ? ? ? ? 169 ? 13 ? ? 13 ? 思考:求解cos2α还有没有别的方法? 已知sinα的值,能 否根据sinα直接求 解cos2α的值?
2 2

5 ?π ? 例1. 已知sinα ? , α ?? , π ?.求sin2α 、co s2α 、tan2α 的值 13 ?2 ?

把公式cos2α? cos2α? sin2α中的cosα换掉, 则 由同角三角函数关系: sin2α? cos2α? 1
? cos2α? (1 ? sin2 α) ? sin2 α? 1 ? 2sin2α

1、应用公式求三角函数值

5 ?π ? 例1. 已知sinα ? , α ?? , π ?.求sin2α 、co s2α 、tan2α 的值 13 ?2 ?

由求解cos2α的第二种方法可知: 二倍角的余弦公式的变形式为
cos2α? cos2α? sin 2α ? 1 ? 2sin 2α ? 2cos α? 1
2

1、应用公式求三角函数值

5 ?π ? 例1. 已知sinα ? , α ?? , π ?.求sin2α 、co s2α 、tan2α 的值 13 ?2 ? 120 ? 120 ? 169 119 120 120 sin2α 答案:sin2α tan2α ? ? tan2α? ? ? ? , ? ? cos2α ?? ? ? ? , 169 ? 169 ? 119 169 119 119 cos2α
思考:求解tan2α 还有没有别的方法? 思考: 若求sin4α, cos4α, tan4α呢

2tanα 利用本节课所学二倍角 的正切公式: tan2α ? 2 1 ? tan α 二倍角的含义:二倍角具有相对性.
5 由sinα? 13 5 ? tanα ? ? 12

5 2 ?( ? ) 120 12 故可求得:tan2α ? ?? 5 2 119 1 ?(? ) 12

12 cosα ? ? 13

1、应用公式求三角函数值
α 4 α ? 3π ? 练习. 1、已知:cos ? ? , ? ?π , ?, 2 5 2 ? 2 ? 求:sinα 、cosα 、tanα 的值.
24 答案:sinα ? , 25 7 cosα ? , 25 24 tanα ? 7

二倍角具有相对性.

1、应用公式求三角函数值
2 1 ? 例2.(1). sin22 30 cos22 30 ? sin45 ? 2 4
? ' ? '

分析:对比公式 sin 2? ? 2 sin ? cos?

1 sin ? cos ? ? sin 2? 2

1、应用公式求三角函数值
π π π π 4. (2) 8sin 例2. cos cos cos 48 48 24 12 π π π 请用二倍角的正弦公式: 解:原式 ? 4sin cos cos 24 24 12 sin2α? 2sinαcosα π π ? 2sin cos π π 12 12 可得到8sin cos 48 48 π ? sin π π 6 ? 4 ? 2sin cos 48 48 1 π ? ? 4 ? sin2? 2 48 π ? 4 ? sin 24

不好意思,再用两次这个方法,问题就解决咯~

3.

1、应用公式求三角函数值
π π 2 2π 例3. (1) sin ? cos ? ? cos ? ? 4 2 8 8 公式:利用
2

cos2α? cos α? sin α
2 2

试着找出解题的办法~

1、应用公式求三函数值
π 2 π ? 例3. (2) 2cos ? 1 ?cos 4 2 8
2

从公式

cos2α? 2cos2α? 1 cos2α? 1 ? 2sin 2α 中,你是否找到了解题 的方法呢?

3.

1、应用公式求三角函数值
练习 1 ? 2sin 2 75? ?

3 1 ? 2sin 75 ? cos150 ? ?cos30 ? ? 2
2 ? ? ?

1、应用公式求三角函数值
tan22.5 例4. 求值: 2 ? 1 ? tan 22.5
1 解: 原式 ? tan(2? 22.5? ) 2 1 ? tan45? 2 1 ? 2
?

你想到利用公式
2tanα tan2α ? 1 ? tan2α

了吗?

3.

1、应用公式求三角函数值
2tan15 ? 练习: ? 2 ? 1 - tan 15

3 tan(2 ? 15 ) ? tan30 ? 3
? ?

课堂小结
1、本节课学习的二倍 角公式是在两角 和的三角函数公式基础 上导出的, 记忆时注意联想相应的 公式。 2、二倍角公式适用于 二倍角与单角的

三角函数的互化问题。 广泛应用于 三角函数的求值、证明 、化简,应 灵活理解“二倍角”的 含义,熟悉 公式的逆用,并注意公 式成立的条件 。

书面作业
α 4 α α α 1:已知cos ? ? ,8π?α? 12π,求sin , cos , tan 的值。 8 5 4 4 4
3 2:已知sin(α ?π) ? ,求cos2α的值。 5
π 3:已知sin2α ? ?sinα,α?( ,π),求tanα的值。 2

1 4:已知tan2α ? ,求tanα的值。 3


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