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2015年高三数学(文科)周练(四)试题(2012年郑州一质检)


2015 年高三数学(文科)周练(四)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A={0,1,2},B={x|-1<x<2},则 A∩B= A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2} 2.如果复数

2-bi (其中 i 为虚数单位,b 为

实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于 1+2i 2 2 A.- B. C. 2 D.2 3 3

3.函数 f(x)=

2x ?1 的定义域为 log 2 x

A. (0,+∞) B. (1,+∞) C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞) 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.设 F1,F2 是双曲线 x -
2

y2 =1 的两个焦点, 24

P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|= 4|PF2|,则|PF1|= A.8 B.6 C.4 D.2 6.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输 出的结果是 A.2 B.1 C.-1 D.

1 2

? x-y+1≥0, ? x+2 y 7.若实数 x,y 满足 ? x+y≥0, 则 z= 3 的最小值是 ? x≤0, ?
A.0 B.1 C. 3 D.9

8.在△ABC 中,若 AB 2 = AB · AC + BA · BC + CA · CB ,则△ABC 是 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形
1

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

D.直角三角形

9.函数 y=2sin(x+ A.x=

? 8

? ? )cos( -x)图像的一条对称轴是 4 4 ? ? B.x= C.x= 4 2

D.x=π

10.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3 x

11.双曲线

x 2 y2 b 2+1 - = 1 ( a > 0 , b > 0 )的离心率是 2 ,则 的最小值为 3a a 2 b2
B.1 C.

A.

3 3

2 3 3

D .2

12.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:f(x)-f(y)=f(

x? y ) ;当 x∈(-1,0) 1 ? xy

时,有 f(x)>0.若 P=f( 小关系为 A.R>Q>P

1 1 1 )+f( ) ,Q=f( ) ,R=f(0) ;则 P,Q,R 的大 5 11 2
C.P>R>Q D.Q>P>R

B.R>P>Q

二.填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在题中横线上. 13.若直线 l1:ax+2y=0 和 l2:2x+(a+1)y+1=0 垂直,则实数 a 的值为____________. 14.定义在 R 上的函数 f(x)是增函数,则满足 f(x)<f(2x-3)的 x 的取值范围是 _____________. 15.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若 向量 p=(4,a2+b2-c2) ,q=( 3 ,S)满足 p∥q,则∠C=___________. 16.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的 表面积为________________.

2

2015 年高三数学(文科)周练(四)试题答题卷
二.填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在题中横线上. 13._______________. 15._______________. 14.___________________. 16.___________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{ an }满足:a5=9,a2+a6=14. (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn = an + 2 n ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn .
a

18.第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行,当地某学校招募了 8 名男志愿 者和 12 名女志愿者.将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) :

若身高在 180cm 以上(包括 180cm)定义为“高个子” ,身高在 180cm 以下(不包 括 180cm)定义为“非高个子” . (Ⅰ)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位数; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中 选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3, 平面 SAD⊥平面 ABCD,E 是线段 AD 上一点,AE=ED= 3 ,SE⊥AD. (Ⅰ)证明:平面 SBE⊥平面 SEC (Ⅱ)若 SE=1,求三棱锥 E-SBC 的高.

20.在△ABC 中,顶点 A(-1,0) ,B(1,0) ,动点 D,E 满足:① DA + DB + DC = 0 ②| EC |= 3 | EA |= 3 | EB |;③ DE 与 AB 共线. (Ⅰ)求△ABC 顶点 C 的轨迹方程;

??? ?

??? ?

????

?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

(Ⅱ)若斜率为 1 直线 l 与动点 C 的轨迹交于 M,N 两点,且 OM · ON =0,求直线 l 的方程.

???? ?

????

4

21. 设函数 f(x)=lnx-p(x-1) ,p∈R. (Ⅰ)当 p=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设函数 g(x)=xf(x)+p(2 x -x-1) (x≥1) , 求证:当 p≤-
2

1 时,有 g(x)≤0 成立. 2

5

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. 如图,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的 切点. (Ⅰ)求证:四点 A,I,H,E 共圆; (Ⅱ)若∠C=50°,求∠IEH 的度数.

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? ? x=a+ 3t , (t 为参数).在极坐标系(与 y = t ? ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为ρ =4cosθ . (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值.

24.已知函数 f(x)=|x-a|-2|x-1|(a∈R) . (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f(x)≥0.

6

2015 年高三数学(文科)周练(四)试题答案
一、选择题 1—12 CADBA CBDBC CB 二、填空题 三、解答题 17.解: (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 则由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得 ? 13. ?

1 ; 2

14. ?3, ??? ;

15.

? ; 3

16. 43? .

? a1 ? 4d ? 9, ????2 分 ? 2a1 ? 6d ? 14,
????4 分

解得 ?

?a1 ? 1, ?d ? 2.

所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ?1. (II)由 an ? 2n ? 1得 bn ? 2n ?1 ? 22n?1 .

????6 分 ????8 分

Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ?10 分

?n ?
2

2 ?1 ? 22n ? 1 ? 22

? n2 ?

22n?1 ? 2 . 3

????12 分

18.解: (Ⅰ)8 名男志愿者的平均身高为

168 ? 176 ? 177 ? 178 ? 183 ? 184 ? 187 ? 191 ? 180.5(cm) ;?3 分 8
12 名女志愿者身高的中位数为 175. ????6 分 (Ⅱ)根据茎叶图,有“高个子”8 人, “非高个子”12 人, 用分层 抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子 ”有 8 ? “ 非高个子”有 12 ?

5 1 ? , 20 4

1 ? 2 人,设这两个人为 A,B; 4

1 ? 3 人, 设这三个人 C,D,E. ??8 分 4

从这五个人 A,B,C,D,E 中选出两个人共有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E), ( B,C ) , ( B,D ) , ( B,E ) , ( C,D ) , ( C,E ) , ( D,E ) 十 种 不 同 方 法; ????10 分 其中至少有一人是“高个子”的选法有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),
7

(B,D),(B,E)七种.

7 .????12 分 10 19. (Ⅰ)证明: ? 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD , SE ? 平面 SAD , SE ? AD , ? SE ? 平面 ABCD . ????2 分
因此,至少有一人是“高个子”的概率是

? BE ? 平面 ABCD, ? SE ? BE.

S

? AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB =3, AE=ED= 3
??AEB ? 30? , ?CED ? 60?.
? 所以 ?BEC ? 90 即 BE ? CE. ????4 分

A B

G

E

D

F C

结合 SE ? CE ? E 得 BE⊥平面 SEC,

? BE ? 平面 SBE , ? 平面 SBE⊥平面 SEC. ????6 分 (Ⅱ)如图,作 EF⊥BC 于 F,连结 SF.由 BC⊥SE,SE 和 EF 相交得, BC⊥平面 SEF,由 BC 在平面 SBC 内,得平面 SEF⊥平面 SBC. 作 EG⊥SF 于 G, 则 EG⊥平面 SBC.即线段 EG 的长即为三棱锥 E-SBC 的高.????9 分
由 SE=1,BE=2,CE= 2 3 得 BC=4,EF= 3 . 在 Rt ?SEF 中, EG ?

ES ? EF 3 , ? SF 2 3 .????12 分 2

所以三棱锥 E-SBC 的高为

20.解:(I)设 C(x,y),由 DA ? DB ? DC ? 0 得,动点 D 的坐标为 ? , 由 EA ? EB 得,动点 E 在 y 轴上,再结合 DE 与 AB 共线, 得,动点 E 的坐标为 ? 0,

??? ? ??? ? ????

?

?x y? ?; ?3 3?

??? ?

??? ?

????

??? ?

? ?

y? ?; 3?

????2 分

??? ? ??? ? y 2 y2 2 由 EC ? 3 EA 的, x ? ( y ? ) ? 3 ? 1 ? ,????4 分 3 9
8

整理得,

y 2 x2 ? ? 1. 27 3

因为 ?ABC 的三个顶点不共线,所以 y ? 0 .

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) .????6 分 故 ?ABC 顶点 C 的轨迹方程为 27 3
2 2 (II)设直线 l 方程为 y ? x ? m ,代入椭圆的方程得 10 x ? 2mx ? m ? 27 ? 0 ,



M

? x1 , y1 ?



N

? x2 , y2 ?


2



x1 ?

?2m ? 4m2 ? 40(m ? 27) 2 ?2m ? 4m ? 40(m ? 27) 2 , , x2 ? 20 20

m ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 5 所以 ? (*)????8 分 2 m ? 27 ?x x ? , 1 2 ? 10 ?


???? ? ???? OM ? ON ? 0





x1

?

x2 ?
2

0 y1

, y2



x1

? ( x2

? ) x1

(
2

? m

2

)x ?

2

,2 m ? 1

x( ?

x1

)? m 2

? x

将式子(*)代入上式,得 m ?

27 3 15 ,即 m ? ? . 5 5

综上,直线 l 的方程为 y ? x ?

3 15 3 15 或y ? x ? .????12 分 5 5

21.解: (I)当 p =1 时, f ( x) = ln x - x + 1 ,其定义域为 ? 0, ??? . 所以 f ?( x) ? 由 f ?( x) ?

1 ?1 . x

????2 分

1 ?1 ? 0 得 0 ? x ? 1, x

所以 f ( x ) 的单调增区间为 ? 0,1? ;单调减区间为 ?1, ?? ? .???5 分
9

(II)由函数 g ( x) ? xf ( x) ? p(2 x2 ? x ?1) ? x ln x ? p( x 2 ?1) , 得 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px, 由(I)知,当 p =1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 即不等式 ln x ? x ? 1 成立. 所以当 p ? ? ????9分 ????7 分

1 时, g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? ( x ? 1) ? 1 ? 2 px ? (1 ? 2 p) x ? 0 , 2

即 g(x)在 ?1,??? 上单调递减, 从而 g ( x) ? g (1) ? 0 满足题意. ????12 分

22、证明: (Ⅰ)由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE; ????2分 结合 IH⊥AH,得 ?AEI ? ?AHI ? 90 .
?

所以,四点 A,I,H,E 共圆. ????5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知四点 A,I,H,E 共圆, 得, ?IEH ? ?HAI ; ????7分 在

?HIA

1 1 1 1 1 ?B ? ?A ? (?B ? ?A) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C. 2 2 2 2 2 1 ? 结合 IH⊥AH,得 ?HAI ? 90 ? ?HIA ? ?C ; 2 1 所以 ?IEH ? ?C . 2
中, ?HIA ? ?ABI ? ?BAI ? 由 ?C ? 50 ,得, ?IEH ? 25 . ????10 分
? ?

2 23.解(Ⅰ)由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4? cos? ,????2分

结合极坐标与直角坐标的互化公式 ? 得 x ? y ? 4x ,
2 2

? x ? ? cos ? , ? y ? ? sin ?

即 ( x ? 2) ? y ? 4.
2 2

????5分

10

(Ⅱ)由直线 l 的参数方程 ? 得, x ? 3 y ? a ? 0 .

? ? x ? a ? 3t (t为参数) 化为普通方程 ? ?y ? t
????7分

结合圆 C 与直线 l 相切,得 解得 a ? ?2或6 .

2?a 1? 3

? 2,

????10 分

?? x ? 1, ( x ? 3) ? 24.解: (Ⅰ)当 a=3 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ??3 x ? 5, (1 ? x ? 3) ????3分 ? x ? 1, ( x ? 1) ?
所以,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 2. (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 2 x ?1 , 两边平方得: ? x ? a ? ? 4 ? x ? 1? ,
2 2

????5分

即 3x ? 2(a ? 4) x ? 4 ? a ? 0 ,
2 2

????7分

得 ? x ? (2 ? a) ? (3x ? (2 ? a)) ? 0 . 所以,①当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? 2 ? a, ②当 a ? 1 时,不等式的解集为 x x ? 1 ; ③当 a ? 1 时,不等式的解集为 ?

? ?

a?2? ?; 3 ?

?

?

?a?2 ? ,2? a?. ? 3 ?

????10 分

11


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