北京市海淀区2016届高三第一学期期末练习数学文试题(有答案)

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（文科）2016.1
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 复数 (1 ? i)(1 ? i) ? A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2

2. 已知数列 {an } 是公比为 2 的等比数列，且满足 A. 2 B. 4 C. 8

a4 ? a3 ? 0 ，则 a4 的值为 a2
D. 16

3. 如图, 正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE ? ? AB ? ? AC ， 则 ? ? ? 的值为 A.

??? ?

??? ?

??? ?

D

E

C

1 2

B. ?

1 2

C. 1

D. ?1

A

B

4 . 如图，在边长为 3 的正方形内有区域 A （阴影部分所示） ，张明同学用随 机模拟的方法求区域 A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生 10000 个点, 并记录落在区域 A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个 数平均值为 6600 个，则区域 A 的面积约为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
开始 输入

5. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的 a 值为 1，则输出的 a 值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

? x ? y ? 0, ? 6. 若点 (2, ?3) 不在 不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域内，则实数 a 的取值 ．． ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
是

否

范围是 A. ( ??,0) B. ( ?1, ??) C. (0, ??) D. ( ??, ?1)

输出 结束

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x ? 1, ? x, ? 7. 已知函数 f ( x ) ? ? π ?sin x, x ? 1, ? 2
A． ?x0 ? R, f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) C．函数 f ( x) 在 [ ?

则下列结论正确的是

B． ?x ? R, f ( ? x) ? f ( x) D．函数 f ( x) 的值域是 [?1,1]

π π , ] 上单调递增 2 2

8. 已知点 A(5,0) ，抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线 C 上，若点 F 恰好在 PA 的 垂直平分线上，则 PA 的长度为 A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4

二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 若 lg a ? lg b ? 1 ，则 ab ? ___ . 10. 已知双曲线 x 2 ? 其离心率为 __. 11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为 ___. 12. 直线 l 经过点 A(t ,0) ，且与曲线 y ? x 2 相切，若直线 l 的倾斜角为 45? ，则

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线通过点 (1,2) , 则 b ? ___, b2

2 2 主视图 2 左视图

t ? ___.

俯视图

2 2 13. 已知圆 ( x ? a) ? y ? 4 截直线 y ? x ? 4 所得的弦的长度为为 2 2 ，则 a ? __.

14. 已知 ?ABC ，若存在 ?A1B1C1 ，满足 一个“友好”三角形.

cos A cos B cos C ? ? ? 1 ,则称 ?A1B1C1 是 ?ABC 的 sin A1 sin B1 sin C1

(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的 条件的序号） ① A ? 90? , B ? 60? , C ? 30? ；② A ? 75? , B ? 60?, C ? 45? ； ③ A ? 75? , B ? 75? , C ? 30? . (ii) 若 ?ABC 存在“友好”三角形，且 A ? 70? ，则另外两个角的度数分别为___.

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三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分 13 分） 等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ，其前 n 项和为 Sn ，且 a3 ? a5 ? a4 ? 7 . （Ⅰ）求 {an } 的通项公式； （Ⅱ）求满足不等式 Sn ? 3an ? 2 的 n 的值.

16.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) ? 2cos x(sin x ? cos x ) ? 1 . （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在区间 [? , ?

π 6

π ] 上的最大值与最小值的和. 12

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17.（本小题满分 13 分） 为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足： 27?c ? t ? 30? c ）的生长状 况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区 10 月份 历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： ? c ）的记录如下：

温 度

(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期. (Ⅱ)设该地区今年 10 月上旬（10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高温度的方差和最低温度的 方差分别为 D1 , D2 ，估计 D1 , D2 的大小？（直接写出结论即可）. (Ⅲ)从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值都 在 ． [27，30]之间的概率.

18.（本小题满分 14 分） 如图，四边形 ABCD 是菱形， PD ? 平面 ABCD ， PD ??BE ， AD ? PD ? 2BE ? 2 ,

?DAB ? 60? ，点 F 为 PA 的中点.
（Ⅰ）求证： EF ? 平面 ABCD ； （Ⅱ）求证：平面 PAE ? 平面 PAD ；
A
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P

F D

E C B

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（Ⅲ）求三棱锥 P ? ADE 的体积.

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19.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ?

1 ? k ln x, k ? 0. x

（Ⅰ）当 k ? 1 时，求函数 f ( x ) 单调区间和极值； （Ⅱ）若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解，求实数 k 的取值范围.

20.（本小题满分 14 分） 如图，椭圆 W :

3 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ，其 2 a b 2
y

左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上. （Ⅰ）求椭圆 W 的方程； （Ⅱ）直线 AP 与椭圆 W 的另一个交点为 P ，与圆 O 的另一个 交点为 Q . （i）当 | AP |?
A O B x

8 2 时，求直线 AP 的斜率； 5

（ii）是否存在直线 AP ，使得 说明理由.

| PQ | ? 3 ? 若存在，求出直线 AP 的斜率；若不存在， | AP |

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海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D 学 （文科） 2016.1

二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 题号 答案 9
10

10

11

12

13

14 ②； 45?， 65?

2, 5

4

1 4

2或6

说明： 第 1３题少写一个减３分，错的则不得分 第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分，第二问少或错写的都不得分 三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分. 15．解： （Ⅰ）设数列 {an } 的公差为 d . …………………………….1 分 ………………………….3 分

因为 a3 ? a5 ? a4 ? 7 ，所以 2a1 ? 6d ? a1 ? 3d ? 7 . 因为 a1 ? 1 ，所以 3d ? 6 ，即 d ? 2 , …………………………….5 分 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . …………………………….7 分 （Ⅱ）因为 a1 ? 1 ， an ? 2n ? 1 ，所以 Sn ?

a1 ? an n ? n2 , 2

…………………………….9 分

2 所以 n ? 3(2n ? 1) ? 2 ，所以 n 2 ? 6n ? 5 ? 0 ,

…………………………….11 分 ……………………….13 分
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解得 1 ? n ? 5 ，所以 n 的值为 2,3, 4 .
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16.解： （Ⅰ）因为 f ( x ) ? 2cos x(sin x ? cos x ) ? 1
? sin 2 x ? cos 2 x

…………………………….4 分 …………………………….6 分

π ? 2 sin(2 x ? ) 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? （Ⅱ）因为 x ?[? , ?

2π ?π. |? |

…………………………….8 分

π π ]， 6 12 π π π π π 所以 2 x ?[ ? , ? ] ，所以 (2 x ? ) ?[? ， ] , 3 6 4 12 12
根据函数 f ( x ) ? sin x 的性质，

………………………….9 分

π π π ? ? 时，函数 f ( x ) 取得最小值 2 sin( ? ) ， …………………….10 分 12 4 12 π π π 当 2x ? ? 时，函数 f ( x ) 取得最大值 2 sin . ………………………….11 分 4 12 12 π π 因为 2 sin(? ) ? 2 sin( ) ? 0 ， 12 12 π π ] 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 所 以 函 数 f ( x ) 在 区 间 x ?[ ? , ? 上 6 1 2
当 2x ?
0.

…………………………….13 分

17．解： （Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为 7 日或 8 日. （少写一个扣 1 分） （Ⅱ）最高温度的方差大. …………………………….6 分 ……………………….7 分 ……………………….3 分

（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件 A，

则基本事件空间可以设为 ? ? {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)} ，共计 29 个基本事件 …………………………….9 分 由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件， 所以 P( A) ? ……………………….11 分

10 ， 29

…………………………….13 分
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所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为 18．解： （Ⅰ）取 AD 中点 G ，连接 FG, BG 因为点 F 为 PA 的中点，

10 . 29
P

F D

E C B

A

G

1 PD 2 1 又 BE ? PD ，且 BE ? PD ， 2
所以 FG ? PD 且 FG ? 所以 BE ? FG, BE ? FG , 所以四边形 BGFE 为平行四边形. 所以 EF ? BG ,

…………………………….1 分

…………………………….2 分

又 EF ? 平面 ABCD ， BG ? 平面 ABCD , 所以 EF ? 平面 ABCD . （Ⅱ）连接 BD .

…………………………….3 分

…………………………….4 分

因为四边形 ABCD 为菱形， ?DAB =60? ，所以 ?ABD 为等边三角形. 因为 G 为 AD 中点，所以 BG ? AD ， …………………………….6 分 ………………………….7 分

又因为 PD ? 平面 ABCD ， BG ? 平面 ABCD ，所以 PD ? BG ， 又 PD ? AD ? D ， PD, AD ? 平面 PAD ， 所以 BG ? 平面 PAD . 又 EF ? BG , 所以 EF ? 平面 PAD ， 又 EF ? 平面 PAE ，所以平面 PAE ? 平面 PAD . …………………………….8 分 …………………………….9 分

…………………………….10 分

法二：因为四边形 ABCD 为菱形， ?DAB =60? ，所以 ?ABD 为等边三角形. 因为 G 为 AD 中点，所以 BG ? AD ， …………………………….6 分

又因为 PD ? 平面 ABCD ， PD ? 平面 PAD ， 所以平面 PAD ? 平面 ABCD ， …………………………….7 分 又平面 PAD ? 平面ABCD ? AD ， BG ? 平面 ABCD , 所以 BG ? 平面 PAD . …………………………….9 分 ………………………….8 分

又 EF ? BG , 所以 EF ? 平面 PAD ， 又 EF ? 平面 PAE ，所以平面 PAE ? 平面 PAD . （Ⅲ）因为 S?PAD ? ………………………….10 分

1 PD ? AD ? 2 ， 2
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…………………………….12 分

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EF ? BG ? 3 ,

1 2 3 . 所以 VP ? ADE ? S ?PAD ? EF ? 3 3

…………………………….14 分 …………………………….1 分

19．解： （Ⅰ）函数 f ( x) ?

1 ? ?) . ? k ln x 的定义域为 (0， x
…………………………….3 分

f '( x) ? ?

1 k ? . x2 x 1 1 x ?1 ? ? 2 , x2 x x

当 k ? 1 时， f '( x) ? ?

令 f '( x ) ? 0 ，得 x ? 1 ，

…………………………….4 分

所以 f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表：
x

(0,1)

1
0
极小值

(1, ??)

f '( x)
f ( x)

?
?

?
?

…………………………….6 分 所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? 1 , 无极大值. ………………….7 分 ……………….8 分

f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ??) .
（Ⅱ）因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解,

令 g ( x) ? f ( x) ? k ，则问题等价于函数 g ( x ) 存在零点, …………………….9 分

1 k kx ? 1 ? ? 2 . x2 x x 1 令 g '( x) ? 0 ，得 x ? . k
所以 g '( x) ? ?

…………………………….10 分

当 k ? 0 时， g '( x ) ? 0 对 (0, ??) 成立，函数 g ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减， 而 g (1) ? 1 ? k ? 0 ， g (e
1? 1 k

)?

1 e
1 1? k

1 1 1 ? k (1 ? ) ? k ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 ， 1? k e e k

所以函数 g ( x ) 存在零点.

…………………………….11 分

当 k ? 0 时， g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表：

x
g '( x )

1 (0, ) k
?

1 k
0

1 ( , ??) k

+

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g ( x)
1 k

↘

极小值

↗

所以 g ( ) ? k ? k ? k ln

1 ? ?k ln k 为函数 g ( x ) 的最小值, k

1 k 1 1 当 g ( ) ? 0 时，即 k ? 1 时，注意到 g (e) ? ? k ? k ? 0 , 所以函数 g ( x ) 存在零点. k e
当 g ( ) ? 0 时，即 0 ? k ? 1 时，函数 g ( x ) 没有零点, 综上，当 k ? 0 或 k ? 1 时，关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解. 法二： 因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解， 所以问题等价于方程 1 ? kx(ln x ? 1) ? 0 有解， ………………………….9 分 令 g(x ) ? kx(ln x ? 1) ? 1 ，所以 g '( x ) ? k ln x , 令 g '( x ) ? 0 ，得 x ? 1 当 k ? 0 时， g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表： ………………………….10 分 ………………….13 分

x

(0,1)
?
↗

1
0 极大值

(1, ??)

g '( x) g ( x)

?
↘

所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最大值，而 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 0 .

g (e

1?

1 k

) ? 1 ? ke

1?

1 k

(1 ?

1 1? 1 ? 1) ? 1 ? e k ? 0 ， k

所以函数 g ( x ) 存在零点.

…………………………….11 分

当 k ? 0 时， g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表：

x

(0,1)
?
↘

1
0
极小值

(1, ??)

g '( x) g ( x)

?
↗

所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最小值，而 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k . 当 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k ? 0 时，即 0 ? k ? 1 时，函数 g ( x ) 不存在零点. 当 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k ? 0 ，即 k ? 1 时，

g ( e? )k

e ( l? n e? 1? ) 1 ? 1

0

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所以函数 g ( x ) 存在零点.

…………………………….13 分

综上，当 k ? 0 或 k ? 1 时，关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解. 法三：因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解， 所以问题等价于方程

1 ? x(1 ? ln x) 有解， …………………………….9 分 k
…………………………….10 分

设函数 g ( x ) ? x (1 ? ln x ) ，所以 g '( x ) ? ? ln x . 令 g '( x ) ? 0 ，得 x ? 1 ，

g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表：

x

(0,1)
?
↗

1
0 极大值

(1, ??)

g '( x) g ( x)

?
↘

所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最大值，而 g(1) ? 1 ， 又当 x ? 1 时， 1 ? ln x ? 0 , 所以 x(1 ? ln x ) ? 1 ? ln x , 所以函数 g(x ) 的值域为 ( ??,1] ,

…………………….11 分

…………………………….12 分

所以当 ? ( ??,1] 时，关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解， 所以 k ? ( ??,0) ? [1, ??) . …………………………….13 分

1 k

20. 解： （Ⅰ）
2 2 因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上，所以 a ? 4 . ………………………….1 分

又离心率为

3 c 3 ，所以 e ? ? ，所以 c ? 2 3 , 2 a 2
…………………………….3 分

………………………….2 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以 W 的方程为 （Ⅱ） （i）

x2 y2 ? ? 1. 16 4

…………………………….4 分

法一：设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ，显然直线 AP 存在斜率， 设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ， ………………………….5 分

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? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 16 4
2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ，

………………………….6 分

因 为 ?4 为 上 面 方 程 的 一 个 根 ， 所 以 x1 ? ( ?4) ?

?32k 2 1 ? 4k 2

， 所 以

x1 ?

4 ? 1k 26 .…………………………….7 分 1 ? 4k 2
8 2 ， 5
…………………………….8 分

由 | AP |? 1 ? k 2 | x1 ? ( ?4) |? 代入得到 | AP |?

8 1 ? k 2 8 2 ，解得 k ? ?1 , ? 1 ? 4k 2 5

……………………….9 分

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 . （ii）因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

| 4k | k2 ?1

，

…….10 分

2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

16 8 ? . 2 1? k 1? k2

…………………………….11 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1， | AP | | AP | | AP |

…………………………….12 分

代入得到

8
2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? . | AP | 8 1 ? k 2 1? k2 1? k2 1? k2 1 ? 4k 2

…………………………….13 分

显然 3 ?

| PQ | 3 ? 3. ? 3 ，所以不存在直线 AP ，使得 2 | AP | 1? k

…………….14 分

法二： （i）设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ，显然直线 AP 存在斜率且不为 0 ， 设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ， ………………………….5 分

? x ? my ? 4 ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 16 4
2 2 化简得到 (m ? 4) y ? 8my ? 0 ,

…………………………….6 分

显

然

?4

上 面 方 程 的 一 个 根 ， 所 以 另 一 个 根 ， 即
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y1 ?

8m , m2 ? 4

…………………………….7 分

8 2 …………………………….8 分 ， 5 8|m| 8 2 ……………………….9 分 代入得到 | AP |? 1 ? m 2 2 ，解得 m ? ?1 . ? m ?4 5
由 | AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |? 所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 （ii）因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

|4| 1 ? m2

，

…………………………….10 分

所以 | AQ |? 2 16 ? d 2 ? 2

16m2 8|m| . ? 2 1? m 1 ? m2

…………………………….11 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1， | AP | | AP | | AP |

…………………………….12 分

代入得到

8|m| | PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 . ? ?1 ? ?1 ? 2 2 8 | m | | AP | 1 ? m 1 ? m 2 1? m 2 m ?4
若 …………………………….13 分

3 ? 3 ，则 m ? 0 ，与直线 AP 存在斜率矛盾， 1 ? m2
| PQ | ? 3. | AP |
…………………………….14 分

所以不存在直线 AP ，使得

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