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福建省三明市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 理(特保班)


三明一中 2015~2016 上学期高二年段月考 2 (理科特保班) 数学试卷

(总分 150 分,时间:120 分钟) (注意:请将所有题目的解答都写到“答题卷”上) 一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确 答案填入答题卷中。) 1.下列各组向量中不平行的是( A. a ? (1,2,?2), b

? (?2,?4,4) C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0) ) B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0) D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40)

?

?

?

?

?

?

?

?

2.若 f ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

'

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h
C. ?6 D. ? 3



A. ?12

B. ?9

3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1 B ? ( A. a + b - c B.- a + b - c C.- a + b + c

????



D. a - b + c

4.函数 y ? 2 x ? 3x ?12 x ? 5 在区间上最大值与最小值分别是(
3 2

) D. 5,-16

A. 5,-4

B. 5,-15

C. -4,-15

5.若向量 a ? (1, ?,2),b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为

?

?

?

?

8 ,则 ? 等于( 9 2 55



A. 2

B. ? 2

C. ? 2 或

2 55

D. 2 或 ?

6.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不 可能正确的是 . y ( y ) y y
-1-

O

x

O

x

O

x

O

x

7.已知 a =(2,-1,3) , b =(-1,4,-2) , c =(7,5,λ ) ,若 a 、 b 、 c 三向量共 面,则实数λ 等于 ( A. )

65 7

B.

64 7

C.

63 7

D.

62 7


8. 已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? ln x ,则 f ?(1) ? ( A. ?e B. ?1 C. 1 D. e

9.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.不等边锐角三角形

) D.等边三角形

10.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a<-1 B.a>-1 1 C.a>- e 1 D.a<- e

x

(

)

11.已知 OA ? (1,2,3) , OB ? (2,1,2) , OP ? (1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 A. ( , , ) ( ) C. ( , , )

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 3 1 2 4 3

B. ( , , )

1 2 3 2 3 4

4 4 7 3 3 3

D. ( , , )

4 4 8 3 3 3

12.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( A.f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)



二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______.

?

?

?

?

?

?

-2-

14. 曲 线 y ? 是

1 和 y ? x2 在 它 们 交 点 处 的 两 条 切 线 与 x 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 x


15.若 (a ? 3b ) ? (7a ? 5b ) ,且 (a ? 4b ) ? (7a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角大小为_______.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

16. 设 函 数 f

'

( x) 是 奇 函 数 f ( x)( x ? R) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时 ,


f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 xf '( x )? f x ( ? ) ,则使得 0
三、解答题(共 6 题,70 分) ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)

用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该 长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

18.(本题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两 垂直,且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点。 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求 BE 和平面 ABC 所成角的正弦值。

19.(本题满分 12 分) 如图, 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点。 (1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的余弦值; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离。

20.(本题满分 12 分)
-3-

已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的 单调区间; (Ⅱ)若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围;

21.(本题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA 1 ?4 (1)求证 AC ? BC1; (2)在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1 ? CD ? (3)在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1∥平面CDB1 ?

C1
D

A1
D C

B1
D

A

D

B

22.(本题满分 12 分) 设曲线 C : f ( x) ? a ln x ? ex , (e ? 2.71828?) , f ?( x ) 表示 f ( x ) 的导函数。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,对于曲线 C 上的不同两点 A( x1, y1 ), B( x2, y2 )(0 ? x1 ? x2 ) ,是否存在 唯一 x? ? ( x1, x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x? ) ?并证明你的结论。



稿



-4-

三明一中 2015—2016 上学期高二年段月考 2 (理科特保班) 数学 参考答案 一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 题 1 号 答 D 案 A B B C D A B C A D C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.

10 , ?6 ; 3

14.

3 ; 4

15. 0 ;

16. (??, ?1) ? (0,1) .

三、解答题(6 题,共 70 分) 17. (10 分) 解:设长方体的宽为 x (m) , 则长为 2x(m), 高为 h ? 故长方体的体积为 V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )
18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此

x=1.当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

2 时,V′(x)<0,故在 x=1 处 V(x)取得极 3
2 3 3

大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。从而最大体积 V=V′(x)=9×1 -6×1 =3(m ), 此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m 。 18.(12 分) 解: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系.
3

??? ? ???? A (0,0,1) B (2,0,0) C (0,2,0) E (0,1,0). EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ? 1,0), AC ? (0,2, ?1) 则有 、 、 、
?2 2 ??? ? ???? ? ?? , 5 所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 2 . 5? 5 cos < EB, AC >

5

(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则

? ? ?

-5-

由 n1 ? AB知: n1 ? AB ? 2x ? z ? 0;

? ? ?

??? ?

? ? ? ??? ?

? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? n ? AC 知 : n ? AC ? 2 y ? z ? 0. 取 n 1 1 ? (1,1,2) , 由 1
则 cos ? EB, n1 ??

2 ?1 ? 0 5 6

?

30 30 ,故 BE 和平面 ABC 的所成的角正弦值为 30 30

19. (12 分) 解: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

平面 ABC ⊥ 平面

BCC1B1 ,? AO ? 平面BCC B

1 1

? ??? ??? ? ???? ? B C O OO x,y,z 轴的正方向建立空间直角 O OB OA 1 1 1 1 取 中点 ,以 为原点, , , 的方向为
, 0, 0) , D(?11 , , 0) , 坐标系,则 B(1

2, 0) , A1 (0, 2,3) , A(0, 0,3) , B1 (1,
z A F C O B D

???? ???? ??? ? ? AB1 ? (1 , 2, ? 3) , BD ? (?2, , 2,3) . 1 , 0) , BA1 ? (?1 ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 . ? AB1 ⊥平面 A1BD .
(2)设平面

A1

C1
O1 y

A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) .

???? ???? ???? 2, 0) .? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , AD ? (?11 , , ? 3) , AA1 ? (0, ???? ? n ? ? AD ? 0, ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ? y ? 0, ? ? ???? ?? ?? ? ? 01) , ?2 y ? 0, ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ? 令 z ? 1 得 n ? (? 3, ???? AB ⊥ A BD ? AB1 为平面 A1BD 的法向量. 1 1 由(1)知 平面 ,
cos ? n, AB1 ?? ? 3 ?0? 3 2?2 2 ?? 6 4

???? x

B1

???? AB1 为平面 A1BD 法向量, (3)由(2) ,

? 二面角 A ? A1D ? B 的余弦值为 6 . 4 ??? ? ???? ? BC ? (?2, 0,, 0) AB1 ? (1 , 2, ? 3) .

? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? | BC ? AB1 | ? | ?2 | ? 2 . 2 2 2 | AB1 |
20. (12 分) 解: (I) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , ∵ f ?( x) ? ?

2 a 2 a 2 ? , ∴ f ?(1) ? ? 2 ? ? ?1 , ∴ a ? 1 . ∴ f ( x) ? ? ln x ? 2 . 2 x x 1 1 x

f ?( x) ?

x?2 .由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 . x2

∴ f ( x ) 的单调增区间是 (2, ??) ,单调减区间是 (0, 2) .
-6-

2 a ax ? 2 2 2 ? ? ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . 2 2 x x x a a 2 2 ∴ f ( x ) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减. a a 2 2 ∴当 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值, ymin ? f ( ) . a a 2 ∵对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,∴ f ( ) ? 2( a ? 1) 即可. a 2 2 2 2 2 则 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) . 由 a ln ? a 解得 0 ? a ? .∴ a 的取值范围是 (0, ) . 2 a e e a a 21. (12 分) 解: 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AC, BC, CC1 两两垂直,
(II) f ?( x) ? ? 以 C 为坐标原点,直线 CA, CB, CC1 分别为 x 轴 y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C(0,0, 4), A(3,0,0), C1 (0,0, 4) , B(0, 4,0), B1 (0, 4, 4) (1)? AC ? (?3,0,0), BC1 ? (0, ?4,4) ,? AC ? BC1 ? 0,? AC ? BC1 ,? AC ? BC (2) 假设在 AB 上存在点 D , 使得 AC1 ? CD , 则A D ?A ? B

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

??? ?

???? ?

? ? ??

? ?( 3? 4 ,0 ,) ?

, 其中 0 ? ? ? 1 ,

于是 CD ? (3 ? 3?,4?,0) ,则 D(3 ? 3? , 4? ,0) ,由于 AC1 ? (?3,0, 4) ,且 AC1 ? CD 所以 ?9 ? 9? ? 0 得 ? ? 1 ,所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1 ? CD ,这时点 D 与点 B 重合。 (3)假设在 AB 上存在点 D 使得 AC1 // 平面CDB1 ,则 AD ? ? AB ? (?3?,4?,0) 其中

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

0 ? ? ? 1 则 D(3 ? 3? , 4? , 0) , B1D ? (3 ? 3?,4? ? 4, ?4) 又 B1C ? (0, ?4, ?4). 由于

???? ?

????

???? ? ???? ? ???? ? ???? AC1 ? (?3,0, 4) , AC1 // 平面CDB1 ,所以存在实数 m, n, 使AC1 ? mB1D ? nB1C 成立,
? m(3 ? 3? ) ? ?3, m(4? ? 4) ? 4n ? 0, ?4m ? 4n ? 4, 所以 ? ?
得 AC1 // 平面CDB1 ,且 D 是 AB 的中点。 22. (12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 得x ?

1 ,所以在 AB 上存在点 D 使 2

1 1 ? ex ?e ? ,令 f ?( x) ? 0 , x x

1 1 1 ,当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 递增;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) e e e 1 e 1 e

递减。所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ??)

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

a a ? ex a ?e ? ,令 f ( x) ? 0 得 x ? x x e

-7-

当 a ? 0 时, f ?( x) ?

a a ? ex ?e ? ? 0 在 (0, ??) 上恒成立 x x

即 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减,故无极值 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ?

a a ? ex a ?e ? ? 0 得0 ? x ? , x x e a a ? ex a ?e ? ? 0得x ? , x x e

由 f ?( x) ?

a a f ( x) 在区间 (0, ) 单调递增,在区间 ( , ??) 单调递减 e e
故x?

a a 时有极大值 f ( x)极大值 ? f ( ) ? a ln a ? 2a ,无极小值 e e

(Ⅲ)存在唯一 x? ? ( x1, x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x? ) 。 证明如下: AB 的斜率

k AB ? f ?( x? ) ?

ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ? ?e x2 ? x1 x?

? x? (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0
设函数 g ( x) ? x(ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x1 ? x ? x2 ) , 则 g ( x1 ) ? x1 (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? x1 (ln

x2 x2 ? ? 1) 。 x1 x1
l 1? x ?1 ? ? 0, x x

设函数 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,则 h?( x) ?

∴ h( x) 在 (1, ??) 上递减,∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 , ∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴

x2 x x ? 1 ,∴ ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,∴ g ( x1 ) ? 0 , x1 x1 x1

同理可证 g ( x2 ) ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内有零点 x? 又∵ ln x2 ? ln x1 ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内是增函数 ∴ g ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内有唯一的零点 x? , 故存在唯一 x? ? ( x1, x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x? ) 。
-8-


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