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湖北省黄冈中学08-09学年度高二上学期期末考试(数学理)


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年秋季高二数学期末考试试题(理科) 湖北省黄冈中学 2008 年秋季高二数学期末考试试题(理科)
一,选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.给出下列命题: ①平行于同一平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一直线的两条直线互相平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

2.过点 P(-1,1)的直线 l 与圆 x 2 + y 2 + 4 x = 0 相交于 A,B 两点,当|AB|取最小值时,直线 l 的斜率 k 的值是 A. 1 B.1 C.2 ( D.
1 2

)

3.若 a, b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 成立的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
D1

(

)

4.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,B1C∩BC1=O, 若 AO = x AB + y AD + z AA1 ,则 x + y + z 等于( A.1
5 C. 2

C1 B1 O D C B

)

A1

B.

5 6
A

D.2

5.对两条不相交的空间直线 a 和 b ,必定存在平面 α ,使得 A. a α , b α B. a ⊥ α , b ⊥ α C. a α , b // α

(

)

D. a α , b ⊥ α

6.设抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ,经过点 P (1, 2) 的直线与抛物线交于 A , B 两点,又知点 P 恰好为 AB 的中点,则 AF + BF 的值是 A.3 7.曲线 B.4 C.6 D. ( )

17 8
( )

x2 y2 x2 y2 + = 1 和曲线 + = 1(9 < k < 25) 的 25 9 25 k 9 k A.焦距相等 B.离心率相等 C.准线相同

D.焦点到准线距离相等

本卷第 1 页(共 10 页)_________________________________________________________

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圆您梦想 www.jb1000.com 8. 下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M ,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB //
平面 MNP 的图形的序号是
N A P M M N B B B P N B P M P A A M N A

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(

)

① A.①,② 9.若双曲线

② B.①,③

③ C. ②,③

④ D.②,④ )

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 与直线 y = 2 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是( a 2 b2 B. (1, 2) C. (1, 5] D. (1, 5)
1 MP
2

A. (1, 2]

10.过 M ( a, 0 )( a > 0 ) 任作一条直线交抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 于 P, 两点, Q 若 (
A.

+

1 MQ
2

为定值, a = 则

)
B. 2 p C. 2 p D.
p 2

p

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在横线上.
11.过点 P (2, 2) 的抛物线的标准方程是____________.

x + y ≤ 1 12.设 x,y 满足约束条件 y ≤ x ,则 z = 2 x + y 的最大值是 _________. y ≥ 0
13.若双曲线 mx 2 y 2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于

.

14.如图是一个正方体的平面展开图,若将此平面展开图还原 成正方体,则在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 角; ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,真命题的序号是

N D E C M

A

B F

. (所有真命题的序号)

15.已知 F1 , F2 为椭圆 E 的左,右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点, F2 为焦点,设 P 为椭圆与抛物线的一个交 点,如果椭圆离心率 e 满足 PF1 = e PF2 ,则 e 的值为___________.

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答题卡
题号 答案 题号 答案 三,解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)将直线 y = 5 x + 15 绕着它与 x 轴的交点按逆时针方向旋转 θ 角后,恰好与圆 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 2 + y 2 +4 x + 2 y 8 = 0 相切,求旋转角 θ 的最小值.

17. (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA‖平面 EDB; (Ⅱ)证明:DE⊥平面 PBC.

D A B

C

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18. (本小题满分 12 分) 已知双曲线

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x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = 3 x ,两条准线 a2 b2

间的距离为 1 , F1 , F2 是双曲线的左,右焦点. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M , N ,点 P 为双曲线上异于 M , N 的一点,且直 线 PM 和 PN 的斜率 k PM , k PN 均存在,求 k PM k PN 的值.

19. (本小题满分 12 分)如图,在空间四边形 PACB 中, O 为 AB 的中点, PA = PB = 6 , PA ⊥ PC ,

AB ⊥ BC , PO ⊥ 平面 ABC , ∠BAC = 30° .
(Ⅰ)求证: PA ⊥ PB ; (Ⅱ)求异面直线 AB 和 PC 所成角的大小.
A

P

O

B

C

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20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F, A,B 为抛物线上的两个动点. (Ⅰ)如果直线 AB 过抛物线焦点,判断坐标原点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明; (Ⅱ)如果 OA OB = 4 ( O 为坐标原点) ,证明直线 AB 必过一定点,并求出该定点.

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21 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 梯 形 ABCD 的 底 边 AB 在 y 轴 上 , 原 点 O 为 AB 的 中 点 , (

| AB |=

4 2 4 2 ,| CD |= 2 , AC ⊥ BD, M 为 CD 的中点. 3 3

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 λ0 ,使 MP = λ0 PN ,且 P 点到 A,B 的距离和为 定值,求点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅲ)过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交于 P,Q 两点, C O B x 求 OPQ 面积的最大值. y D

1 2

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年秋季高二数学期末考试(理科) 湖北省黄冈中学 2008 年秋季高二数学期末考试(理科)答案

1.B 2.A 3.B

①和③的两直线还可以异面或相交 |AB|取最小值,则直线 l 与点 P 和圆心的连线垂直,所以直线 l 的斜率等于-1 因为|a|+|b|≥|a+b|,所以|a+b|>1 |a|+|b|>1;但|a|+|b|>1 成立不能推出|a+b|>1 成立. 如 a = 1, b = 1 时|a+b|>1,而|a+b|=0.
D1 A1 B1 O D C B C1

4.D

1 由向量的中点公式有 AO = ( AB + AC1 ) , 2
又 AC1 = AB + AD + AA1 ,所以 AO = AB + 即x+ y+z=2
1 1 AD + AA1 2 2

A

5.C

若 a 和 b 空间两条不相交的直线,则 a 和 b 或平行,或异面.答案 A 要求 a 和 b 一定共面;答案 B 要求 a 和 b 一定平行;答案 D 要求 a 和 b 一定垂直. 过 A , B 两 点 分 别 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 , 设 垂 足 分 别 为 A1 , B1 , 由 抛 物 线 定 义 知
AF + BF = AA1 + BB1 = y1 + y2 + p = 4 + 2 = 6

6.C

7.A

Q 曲线 9 k < 0 ,∴

x2 y2 x2 y2 + = 1(9 < k < 25) 表示双曲线 =1. 25 k 9 k 25 k 9 k

此时焦距 2c = 2 a 2 + b2 = 2 (25 k ) + ( k 9) = 2 16 = 8 .
x2 y2 + = 1 表示椭圆,此时焦距 2c = 2 a 2 b 2 = 2 25 9 = 2 16 = 8 . 25 9 在①中 NP 平行所在正方体的那个侧面的对角线,从而平行 AB ,所以 AB // 平面 MNP ;在③中 则由 NP / / CB ,MN / / AC 可知平面 MNP / / 设过点 B 且垂直于上底面的棱与上底面交点为 C , 平行平面 ABC ,即 AB // 平面 MNP . b b 要双曲线与直线 y = 2 x 无交点,则双曲线的渐近线 y = x 的斜率 ≤ 2 , a a

而曲线
8.B

9 .C

从而离心率 e =

c a 2 + b2 b2 = = 1+ 2 ≤ 5 a a2 a
2

10. 设直线与抛物线的两个交点为 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 ) , A 直线倾斜角为 θ , 显然 θ ≠ 0 , MP = 则
MQ =
2

y12 , sin 2 θ

y2 2 cos θ .又过点 M ( a, 0 ) ( a > 0 )的直线方程为 x = y + a , 由直线方程和抛物线方程联 2 sin θ sin θ


1 MP
2


+ 1

去 =

x



y 2 sin θ

2 py cos θ

2 pa sin θ

=0

,

从 p.





MQ

2

sin 2 θ sin 2 θ p sin 2 θ + a cos 2 θ + = ,要使这个值与 θ 无关,则应使 a = y12 y2 2 pa 2

11. y 2 = 2 x 或 x 2 = 2 y
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12.2
13.4

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画图即知当动直线 2x + y = t 过点 P(1, 0) 时, z = 2 x + y 取最大值 2
∵ a2 =

1 2 1 , b = 1 , b = 2a ,∴ b 2 = 4a 2 ,即 1 = 4 , m = 4. m m
E

N F

M

14.③④

将平面展开图还原成正方体,由图易知①,②错;
D C B

∵ BE CN ,∴∠EBM 为异面直线 CN 与 BM 所成的角.
易知它等于 60 ;由三垂线定理可知④也对.
3 15. 3
A

因为点 P 在抛物线上,所以点 P 到 F2 的距离等于它到准线

的距离

d ,即点 P 到 F1 的距离 PF1 与它到抛物线的准线的距离 d 的比等于椭圆的离心率,所以抛物线的准
线与椭圆的左准线重合,即 3c =
a2 3 ,解得 e = . c 3

因为直线与 x 轴的交点 3, ) 所以设切线方程为 y = k ( x 3) , ( 0 , 又已知圆的圆心 (2, 1) , 半径为 13 , 16. 由圆心到直线的距离等于半径可知
5k 1 2 3 2 = 13 , 解得 k = , k = , 由题设可知应取 k = . 由 和 3 2 3 1+ k
2

2 +5 π = 1 ,故旋转角 θ 的最小值为 . 到角公式知 tan θ = 3 10 4 1+ 3 17.证明: (Ⅰ)连结 AC,设 AC∩BD=O,连结 EO,

∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 的中点. ∴OE 为△PAC 的中位线. ∴PA‖OE,而 OE 平面 EDB,PA 平面 EBD, ∴PA‖平面 EDB. ……………6 分

(Ⅱ)∵PD⊥平面 AC,BC 平面 AC,∴BC⊥PD,而 BC⊥CD,PD∩CD=D. ∴BC⊥平面 PDC. ∵DE 平面 PDC , ∴BC⊥DE . ① 又∵PD=DC, E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC. ② 由①,②可知 DE⊥平面 PBC. 18.解: (Ⅰ)依题意有:
b a = 3, 2 2a = 1, c a 2 + b2 = c 2 .

……………12 分

解得 a 2 = 1, b 2 = 3 .∴双曲线方程为 x
2

y2 = 1 .………6 分 3

(Ⅱ)解法一:设 M ( x0 , y 0 ) ,由双曲线的对称性,可得 N ( x 0 , y 0 ) .
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设 P ( x P , y P ) ,则 k PM k PN =
2

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2 2

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y P y0 y P + y0 y P y0 = 2 , 2 x P x0 x P + x 0 x P x0

又 x0

2

y 2 2 2 2 0 = 1 ,∴ y 0 = 3x0 3 .同理 y P = 3 x P 3 , 3

∴ k PM k PN =

3x P 3 3x0 + 3
2 2

x P x0
2

2

= 3.

………………12 分

( Ⅱ ) 解 法 二 : 设 直 线 l 方 程 为 y = kx(k ≠ 3) , 代 入 双 曲 线 方 程 , 并 整 理 得 (3 k 2 ) x 2 3 = 0. 设
M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = 0, x1 x2 =

3 ; 3 k2

y1 y2 =

3k 2 , y1 + y2 = 0. 3 k2

又设 P ( x P , y P ) ,

则 k PM k PN

3k 2 2 + 3 xP 3 y1 yP y2 yP y1 y2 yP ( y1 + y2 ) + y 3 k2 = = = = 3. 3 x1 xP x2 xP x1 x2 xP ( x1 + x2 ) + x 2 + xP 3 k2
2 P 2 P

19. (Ⅰ)证明: ∵

PO ⊥ 平面 ABC , ∴ AB 是 PA 在平面 PAB 内的射影,

且 AB ⊥ BC ,由三垂线定理知 PA ⊥ BC . 又已知 PA ⊥ PC

∴ PA ⊥ 平面 PBC .
……………5 分

∵ PB 平面 PBC , ∴ PA ⊥ PB.

(Ⅱ)解:在平面 ABC 内分别过 A,C 作 BC,AB 的平行线,交于点 D ,
连结 PD .则 ∠PCD 是异面直线 AB 和 PC 所成的角或其补角. ……………8 分

则由 PO ⊥ 平面 ABC 可知 PO ⊥ OD , PO ⊥ OC . 连结 OC,OD,

∵ AB ⊥ BC , ∠BAC = 30° , AB = PA2 + PB 2 = 2 3 ,

∴ BC = AB tan 30° = 2 , OC = OB 2 + BC 2 = 7 ,
∴ PC = PO 2 + CO 2 = 10 . 易知四边形 ABCD 为矩形,从而 OC = OD , PC = PD.

1 CD 30 在 PCD 中, cos PCD = 2 = , PC 10

∴ 异面直线 AB 和 PC 所成角的大小为 arccos

30 10

………………12 分

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20. 解: (Ⅰ)∵焦点 F 为(1,0) ,过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x = ty + 1 ,代入抛物线 y 2 = 4 x 得: y 2 4ty 4 = 0 , 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 y2 = 4 ,
x1 x2 =
2 y12 y2 i = 1. 4 4

∴ OAiOB = x1 x2 + y1 y2 = 1 4 = 3 < 0 ,

于是 ∠AOB 为钝角,故 O 在圆内.
2

………………6 分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 x = ty + b, 代入抛物线y = 4 x 消去 x,得

y 2 4ty 4b = 0.设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 y1 + y2 = 4t , y1 y2 = 4b.
∵ OA OB = x1 x2 + y1 y2 = (ty1 + b)(ty2 + b) + y1 y2 = t 2 y1 y2 + bt ( y1 + y2 ) + b 2 + y1 y2
= 4bt + 4bt + b 4b = b 4b .
2 2 2 2

令 b 2 4b = 4,∴ b = 2. ,∴直线 AB 过定点(2,0) .…………………13 分

21.解: (Ⅰ)设点 M 的坐标为 M(x, y)(x≠0),则 C ( x, y 1+

2 2 2 ), D ( x , y +1 2 ). 3 3

又 A(0,

2 2 2 ), B (0, 2 ). 由 AC⊥BD 有 AC i BD = 0 ,即 ( x, y 1)i( x, y + 1) = 0 , 3 3

∴x2+y2=1(x≠0).

………………………(4 分)

(Ⅱ)设 P(x, y) ,则 M ( (1 + λ0 ) x, y ) ,代入 M 的轨迹方程有 (1 + λ0 ) 2 x 2 + y 2 = 1( x ≠ 0). 即
x2 2 + y = 1( x ≠ 0) 1 2 ( ) 1+ λ0

,∴P 的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).

要 P 到 A,B 的距离之和为定值,则以 A,B 为焦点,故 1 ∴ λ0 = 2.

1 (1+λ0 )2

=(

2 2)2 . 3

从而所求 P 的轨迹方程为 9x2+y2=1(x≠0). ………………………9 分

(Ⅲ)易知 l 的斜率存在,设方程为 y = kx + 设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1 + x2 =
∴ x2 x1 = ( x1 + x2 ) 2 4 x1 x2 =

1 3 . 联立 9x2+y2=1,有 (9 + k 2 ) x 2 + kx = 0. 4 2

k 3 , x1 x2 = . 9 + k2 4(9 + k 2 )

4k 2 + 27 4t 9 2 . 令 t = k + 9 ,则 x2 x1 = 且 t ≥ 9. 2 2 (9 + k ) t2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 ∴ SOPQ = × x2 x1 = 9 × 2 + 4 × = 9( ) 2 + ,∵ t ≥ 9,∴ 0 < ≤ . 2 2 4 t t 4 t 9 9 t 9
所以当 =

1 t

1 3 ,即 t = 9, 也即 k = 0 时, OPQ 面积取最大值,最大值为 .…… 14 分 12 9

本卷第 10 页 (共 10 页) _________________________________________________________

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