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对数函数图像及其性质教案


对数函数图像及其性质
一、教学目标:
1、通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数 函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; 2、画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3、通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对 数函数的性质,培养学生数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法。 教学重点: 对数函数的概念及其图像和性质 教学难点: 对数函数的定义以及对数函数图像及性质的运用 X∈(1,+∞) ,f(x)<0; 当 0<a<1 时, X∈(0,1) , 难点突破 X∈(1,+∞) ,f(x)>0; 当 a>1 时, X∈(0,1) , f(x)<0; f(x)>0;

二、教学手段:
采用黑板板书,运用多媒体辅助教学

三、教学过程:
(一)新课对数函数的引入:
x a>0且a ? 1) 1、通过回忆前一章所学指数函数,回想 y=a( 的性质特点,画出

1 x 的图像,并以这两个函数为例,说明指数函数的性质: y=2x、y=( ) 2
?当0<a<1时,y在定义域R单调递减; x y=a( a>0且a ? 1) ? ?当a>1时,y在定义域R单调递增;
x a>0且a ? 1) 且指数函数 y=a( 恒过定点 (0 , 1) , 其函数在定义域内恒为单调函数。

2、提出问题: 反函数存在的条件 ? 函数必为单调函数 故此:指数函数在其定义域内存在反函数。
x a>0且a ? 1) 例 1:求 y=a( 的反函数

解: y=a x

反解x x、y互换 ??? ? x=log y ???? ? y=log x
a a

(a>0 且 a≠1,x>0)

x a>0且a ? 1) ∴指数函数 y=a( 的反函数为 y=logax

(二)讲授新课: 1、对数函数的图像及性质 (1)定义:一般地,当 a>0 且 a ? 1 时,函数 y=㏒ ax 被称为对数函数,自 变量为 x,函数定义域 x ? ; (0, +?) (2)用列表法作出函数图像: y=㏒ ax 与 y=a x (令 a=2) 即:y=㏒ ax 与 y=2 x X Y … … -3 1/8
y=2 x

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

… …

Y X

?
8 6

? y=?
8 6 4

此表可知只需将左侧 x,y 互换位置,即可得 y=㏒ ax 中 x,y 的关系。

4

2

y = 2x
2

y = log(x)
15
5 10 15

A
15 10 5

10

5

5

10

15

2
2

4
4

6
6

8

8

?
y=2 x

?
y=logax

(3)探究:通过讨论指数函数性质,研究对数函数: 研究方法:图像研究法 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性、数值变化性质、 对称点。 如下图可知:

当取 a=2 时, ①定义域为 x ? (0, +?) ②值域为:y ? R ③特殊点恒过(1,0) ④单调性:当 a>1 时,图像上升,对数 y=㏒ ax 单调递增 当 0<a<1 时,图像下降,对数 y=㏒ ax 单调递减 ⑤奇偶数:函数 y=㏒ ax 非奇非偶(不关于原点,也不关于 y 轴对称) ⑥数值变化性质: Ⅰ:当 0<a<1 时,有: x ? ,y>0. (0,1) ,y<0 x? (1,+?) Ⅱ: 当 a>1 时,有: x ? ,y<0. (0,1) ,y>0 x? (1,+?) ⑦对称性: 函数 y=㏒ ax 当 0<a<1 与 a>1 的两个函数图像关于 x 轴对称 2、归纳、整理对数函数的性质: y=㏒ ax(a>0 且 a≠1,x>0) y=㏒ ax

0<a<1

a>1

8

6

8

4

6

2

4

图像

2

15

10

5

5

10

15

y = log(x)
15 10 5 5 10 15

2

2

4

4

6
6

8
8

定义域 值域 特殊点 单调性 奇偶性

x ? R+ Y?R 恒过(1,0) 单调递减 非奇非偶 ,y>0; x? (0,1) ,y<0 x? (1,+?)

x ? R+ Y?R 恒过(1,0) 单调递增 非奇非偶 ,y<0. x? (0,1) ,y>0 x? (1,+?)

数值变化性质

对称性

关于 x 轴对称

3、教学例题: 例 1:求下列函数定义域 y=㏒ a (x-1)2 y=㏒ ax+3 ( a>0 且 a≠1) 例 2:比较两组数的大小 ①㏒ 23 和㏒ 23.5 (运用单调性) 1/3 1/4 ②㏒ 0.2 和㏒ 3 (运用数值变化性质) (三)课堂练习: 1、求函数定义域: y=㏒ 0.2(-x+8) ; 2、比较正数 m,n 的大小: ㏒ 3m < ㏒ 3n; (四)课堂小结: 本堂课通过对数函数图像的观察,与指数函数进行对比分析,研究学习了对 数函数的定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性、数值变化等基本性质,希望 在以后的学习中能够充分灵活运用这些知识进行解题,从而提升自己的学习能 力。 (五)作业: 1、课本 P87A 组中 6(2) 、 (4) 、 (5) B 组中 4


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