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2.3 等差数列的前n项和 课件(人教A版必修5)


复习回顾
1.等差数列的概念 an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) 2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 3.等差数列的中项公式 2A=a+b

观察: 高斯上小学时,有一次数学老 师给同学 们出了一道 题:计算从1到100的自然数之和。那 个老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间, 所以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知, 他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师, 我做完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上 写着5050,老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓 励他,老师买了一本数学书送给他。 思考:现在如果要你算,你能否用简便的 方法来算出它的值呢?

1.计算:1 ? 2 ? 3 ? ?? 99 ? 100
100 +99+98+ …+2 +1 100 ? (1 ? 100 ) 1 ? 2 ? 3 ? ........? 99 ? 100 ? ? 5050 2

2. 1 ?

2

?

3

? ... ? (n ? 1) ? n

n+(n-1) + (n-2) +…+ 2 +1 n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? .......? (n ? 1) ? n ? 2
思考:对于任意的等差数列都可以求和吗

公式的推导 设等差数列{an}的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] ∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

=n(a1+an)

n个

此种求 和法称 为倒序 相加法

n( a1 ? an ) ? Sn ? ......( 1) 2
思考:若已知a1及公差d,结果会怎样呢?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d ......(2) 2

2.3 等差数列的前n项和

新知初探·思维启动
等差数列的前n项和公式
已知 量 求和 公式 首项、末项与项 数 首项、公差与项数

n? a1+an? n? n-1?d na1+ 2 2 Sn=___________ Sn=_____________

想一想
n?n-1? 在公式 Sn=na1+ d 中,Sn 一定是关于 2 n 的二次函数吗?

提示:不一定,d=0时不是.

做一做

根据下列各题中的条件, 求相应的等差数
列{an}的前n项和Sn:

(1)a1=5,an=95,n=10;
(2)a1=100,d=-2,n=50. 答案:(1)500 (2)2550

典题例证·技法归纳
题型探究 题型一
例1

等差数列前n项和的有关计算

(1)求等差数列-2,1,4,?的前 n 项和; 3 1 (2)已知等差数列{an},满足 a1= ,d=- , 2 2 Sn=-15,求 n 及 a12.

【解】 (1)因 a1=-2,a2=1,∴d=3, n?n-1? 1 ∴Sn=-2n+ ×3= n(3n-7). 2 2

3 n?n-1? 1 (2)∵Sn=n·+ (- )=-15, 2 2 2 整理,得 n2-7n-60=0, 解之,得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 a12= +(12-1)×(- )=-4. 2 2

变式训练
1.(1)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n 项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n; (2) 在等差数列 {an} 中,已知 a2 + a5 = 19 , S5 =40,求a10.
11=a1+2?n-1? ? ? 解:(1)由题设可得? , n?a1+11? ? ?35= 2

? ? ?a1=-1 ?a1=3 解得? 或? . ?n=7 ? ? ?n=5

2a1+5d=19 ? ? (2)由题设可得? , 5?5-1? ? ?5a1+ 2 d=40
? ? ?2a1+5d=19 ?a1=2 即? ,解得? , ?a1+2d=8 ? ? ?d=3

故 a10=2+3×(10-1)=29.

题型二
例2

等差数列前n项和的性质

在等差数列{an}中:

(1)若a4+a17=20,求S20; (2)若S4=1,S8=4,求S20.
【解】 (1)由等差数列的性质知:a1+ a20= a4+a17=20, 20 20 20 ∴ S20 = (a1 + a20) = (a4 + a17) = ×20 = 2 2 2 200.

(2)S4=1,S8-S4=3,
而 S4 , S8 - S4 , S12 - S8 , S16 - S12 , S20 - S16

成等差数列,
即1,3,5,7,9,成等差数列,

∴a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.
∴S20=1+3+5+7+9=25.

变式训练
2.等差数列{an}的前m项和为Sm=30,前 3m项和为S3m=90,求其前2m项的和.
解:∵数列{an}是等差数列, ∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 3Sm+S3m 3×30+90 即 S2m= = =60. 3 3

题型三

等差数列前n项和的最值

例3 (本题满分12分)数列{an}是等差数列, a1=30,d=-0.6. (1)从第几项开始有an<0; (2)求此数列的前n项和的最大值. 【思路点拨】 (1)由通项公式表示出an,然

后求n的取值范围.

(2)利用求和公式表示出关于n的关系式.

【解】 (1)∵a1=30,d=-0.6, ∴an=30-0.6(n-1)=-0.6n+30.6. 30.6 令-0.6n+30.6≤0,则 n≥ =51. 0.6 由于 n∈N*,故当 n>51 时,an<0, 即从第 52 项起以后各项均小于 0. n? n-1? (2)法一:Sn=30n+ ×(-0.6) 2 =-0.3n2+30.3n 2 303 303 n- ?2+ =-0.3? . ? 6 ? 120 10 分

2分 4分 6分

303 当 n 取接近于 的自然数, 6 即 n=51 或 50 时,Sn 达到最大值 Smax=765. 12 分 法二:∵d=-0.6<0,a1=30>0, 由(1)知 a51=0,a52<0, ∴S1<S2<?<S50≤S51, 且 S51>S52>S53>?. 9分 51+50 ∴ (Sn)max = S50 = S51 = 30×51 + ×( - 2 0.6)=765. 12 分

【名师点评】 求等差数列的前 n 项和为 Sn d 的最值有两种方法:(1)运用配方法,将 Sn= 2 d? 2 ? n +?a1-2?n 配方. 转化为求二次函数的最值 问题,借助函数的单调性来解决. (2)根据项的正负来定. 若 a1>0,d<0,则数列的所有正数项之和最 大; 若 a1<0,d>0,则数列的所有负数项之和最 小.

变式训练
3.设等差数列 {an}的前 n项和为 Sn.若 a1=-

11, a4 + a6 =- 6,则当 Sn 取最小值时, n等
于( )

A.6
C.8

B.7
D.9

解析:选 A.设公差为 d, 则 a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6, 解 得 d=2, n?n-1? 所以 Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n- 2 6)2-36. 所以当 n=6 时,Sn 取最小值.

题型四

已知Sn求an

2 1 已知数列 { a } 的前 n 项和 S = n + n, 例4 n n 2

求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列 吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

【解】

根据 Sn = a1 + a2 +?+ an 与 Sn - 1 =

a1+a2+?+an-1(n≥2),可知当n≥2时,

an=Sn-Sn-1

1 1 2 1 =n + n-[(n-1) + (n-1)]=2n- .① 2 2 2
2

1 3 当 n=1 时, a1=S1=1 + ×1= 也满足①式, 2 2
2

1 所以数列{an}的通项公式为 an=2n- . 2 3 由此可知,数列{an}是一个首项为 ,公差为 2 2 的等差数列.

【名师点评】 (1)数列{an}的前 n 项和 Sn=a1 +a2+?+an 与 an 之间具有如下关系:
? ? n=1? ?S1 an=? . ?Sn-Sn- 1 ?n≥2? ?

(2)已知数列的前 n 项和 Sn,求 an,要分三步 进行: 第一步: 令 n=1 求 a1; 第二步: 令 n≥2, 求 an=Sn-Sn-1;第三步:验证 a1 与 an 的关 系,来确定 an.

备选例题
1.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 ?Sn ? n 项和, 已知 S7=7, S15=75, Tn 为数列? ?的 ?n? 前 n 项和,求 Tn.
解:设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1 1 + n(n-1)d,又 S7=7,S15=75, 2 ? ? ?7a1+21d=7, ?a1+3d=1, ∴? 即? ?15a1+105d=75, ?a1+7d=5, ? ?

? ?a1=-2, ∴? ? ?d=1.

Sn 1 1 5 ∴ =a1+ (n-1)d= n- , n 2 2 2 Sn+1 Sn 1 5 1 5 1 ∴ - = (n+1)- - n+ = , 2 2 2 2 n+1 n 2 ?Sn ? ∴数列? ?是等差数列,其首项为-2,公差 ?n? 1 为 , 2 1 2 9 ∴Tn= n - n. 4 4

2.已知等差数列 {an} 的项数n为奇数,其中
S奇=44,S偶=33,求项数n. 解:∵项数n为奇数, ∴中间项a中=S奇-S偶=44-33=11. 又 Sn = S 奇 + S 偶 = 44 + 33 = 77 , Sn = na 中 =

11n,
∴11n=77,n=7.

3.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求

前n项和Sn的最大值. 解:法一:由 S17=S9, 17?17-1? 9?9-1? 得 25×17+ d=25×9+ d, 2 2 解得 d=-2, n? n-1? ∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169. 2 由二次函数性质得,当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

法二:先求出 d=-2(同法一).
? ?an=25-2?n-1?≥0, ∵ a1 = 25 > 0 ,由 ? 得 ? ?an+ 1=25-2n<0,

? ? 1 ?n>122,

1 n≤13 , 2

1 1 即 12 <n≤13 . 2 2 ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

4.设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且对 于任意 n∈N*,an 与 1 的等差中项等于 Sn, 求数列{an}的通项公式.
an+1 解:由题意知, Sn= ,得: 2 ?an+1?2 Sn= , 4 ∴a1=S1=1.

1 又∵an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+1)2-(an+1)2] 4 ∴(an+1-1)2-(an+1)2=0. 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0, ∵an>0,∴an+1-an=2, ∴{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴an=2n-1.

课堂小结 1.等差数列前n项和公式

n(a1 ? an ) Sn ? 2
2. Sn 与 an

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证用的是倒序相加法

3. 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道 其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素 .既 a1、an、Sn、n、d五知三可求其二

第二章





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