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甘肃省庆阳市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题


高二数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)
1.下列命题中正确的是 ( ) ①“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 不全为零”的否命题 ②“奇函数的图像关于原点对称”的逆命题 ③“若 m ? 0 ,则 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题 ④“矩形的对角线相等”的逆命题 A.①②③ B.②③④ C.①③④ 2. “x=1”

是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的 ( ) D.①④

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ? ? 3 .在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( ) 3 A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 2 4.已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 0 ,则( A. ?p : ?x ? R , 2 x ? 0 C. ?p : ?x ? R , 2 x ≤ 0 ) B. ?p : ?x ? R , 2 x ? 0 D. ?p : ?x ? R , 2 x ≤ 0
) D.2

5. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =(
A. ?6 B. ?4 C. ?2

6.椭圆 x 2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A.2 B.
1 2



C.

1 4

D.4

7.抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆
A.6 B.-6

x2 y2 ? ? 1 的左焦点重合,则 p 的值为( ) 25 16
C.-4 D.4

8.已知双曲线 C : 的方程为( ) A.

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1 )在 C 的渐近线上,则 C a 2 b2

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y 2 =1 20 80

B. f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 C. f ? x ? 是 R 上的增函数 D. f ? x ? 是 ? ??,1? 上的减函数, ?1, ?? ? 上的增函数 12、过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右焦点且与右支有两个交点的直线,其倾斜角范围是 A.
[0, ? )

? 3? B. ( , ) 4 4

? ? ? 3? C. ( , ) ? ( , ) 4 2 2 4

? ? D. (0, ) ? ( , ? ) 2 2

二、填空题(每小题 3 分,共 12 分)
13、已知椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则它的离心率是__________. 4

0 ?、F( 0) 14 、已知双曲线的焦点为 F1 ?? 4, ,离心率为 2 ,则双曲线的 方程是 2 4,

_________ 15 、曲线 y ? x 3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积 为 . 16. “ a ? b ? Z ”是“ x2 ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。 三、解答题 (17、18 题各 10 分,其余每题 8 分) 17、 (本小题满分 10 分)已知 p:方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的实数根,q:方 程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的范围.

18、 (本小题满分 10 分)已知椭圆

x2 y2 ? ?1 4 3

(1)过椭圆右焦点作垂直于 x 轴的直线 AB,交椭圆于 A,B 两点,F1 是椭圆的左焦 点,求三角形 AF1B 的周长;

x2 y2 (2)已知点 P 是椭圆 ? ? 1 上一点,且以点 P 及焦点 F1、F2 为顶点的三 角 4 3
形的面积等于 1,求点 P 坐标. 19、 (本小题满分 8 分) 过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F 作倾斜角为 600 的直线 l , 交双曲线于 A、B 两点, (1)求双曲线的离心率和渐近线; (2)求|AB|.

20、 (本小题满分 8 分) 已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截 得的弦长为 15 ,求抛物线的方程。 21、 (本小题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? e x ? x, (1) 求 f ( x ) 的单调区间; (2) 求 f ( x ) 在区间 [?1, 2] 上的最大值和最小值.
3 2 22、 (本小题满分 8 分)已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2 ? 处的

切线方程为 y ? ?3 x ? 1 . (1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有 极值,求 f ? x ? 的表达式; (2)函数 f ? x ? 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

文科数学参考答案 选择题 AABCA CBADD CB 填空题 13

3 2

14

x2 y2 ? ?1 4 12

15

2

16 必要不充分条件

简答题 17、命题 p: m ? 2 或 m ? ?2 命题 q: 1 ? m ? 3 m ? ?2 或 m ? 3 P 真 q 假时 1? m ? 2 P 假 q 真时 18、 (1)4

(2) ( ? 19、 (1) e ?

2 6 ,?1) 3

2

y ? ?x
(2)|AB=8 2 | 20.解:设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则 ?

? y 2 ? 2 px ? y ? 2x ?1

, 消去 y 得

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x

21 (1) f ( x) ? e ? 1
' x

f ( x) ? e x ? x 的单调区间是 (??,0), [0,??)
(2)? f ( x) 在【-1,0】上单点递减,在【0,2】上单点递增

? f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 ? f ( x) 的最大值 e 2 ? 2 , 最小值 1

22、f′(x)=-3x2+2ax+b, 因为函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为-3, 所以 f′(1)=-3+2a+b=-3, 分 又 f(1)=-1+a+b+c=-2 得 a+b+c=-1. 1

2分

2分

(1)函数 f(x)在 x=-2 时有极值, 所以 f′(-2)=-12-4a+b=0 解得 a=-2,b=4,c=-3 5分

所以 f(x)=-x3-2x2 +4x-3.

6分

(2)因为函数 f( x)在区间上单调递增,所以导函数 f′(x)=-3x2-bx+b 在区间上的值恒大于或等于零, 8分 则,得 b≥4,
所以实数 b 的取值范围为[4+∞)

10 分


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