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高一数学必修1期中复习


黄老师

集合结构图
集合
集合含义与表示

集合间关系

集合基本运算

练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x= -1 。

2 } 2.已知集合 M = { 集合 = = { N y y x - 1, 1, 2 , , x∈M }

则 M∩ N是( B )

A

{ 1, 2, 4}

B{1 }

C{1,2}



3.满足{1,2} ? A ? {1,2,3,4}的集合A的个数 ? 3 有 个

设集合 A = { x | -1≤ x < 2 },B = { x | x < a },若 A∩B ≠Φ,则
a 的取值范围是 A,a<2 A B,a>-2 C,a>-1 D,-1<a≤2

B

?1 ? ?-

B

? 2

B

?

由图看出 a >-1

思考:1、改A = [-1,2 ) 2、改 A = { x | x 2 -x -2 ≤ 0 }

4、改 A∩B =Φ a ≤- 1 5、改 A∩B =A a ≥2

3、改 A = { x |
A

x ?1 ≤0} x?2

6、改 B = { x | 1 <x <a }
当 a ≤1 时 B = Φ,不满足题意

? -1

? ? a? 1 2

B

当 a >1 时,B = ( 1 , a ),满足题意 故 a>1

已知集合A = { a | 二次方程 x 2 -2x + a = 0 有实根,a ∈R }, B = { a | 二次方程 ax 2 -x + 2 = 0 无实根,a ∈R },求 A∩B,A∪B。 解:由 x 2 -2x + a = 0 有实根 ∴ △≥0

即 4 -4a ≥ 0

?

a≤1

∴ A=(- ∞,1]

由 ax 2 -x + 2 = 0 无实根

∴ △<0

即 1-8a < 0

? a ?

1 8

?B = (

1 ,? ?) 8

? 1
8
故 A∩B = (

?
1
A∪ B = R

1 ,1] 8

函数概念及性质结构图 函数概念及性质
函数概念与表示

单调性与最值

奇偶性

x+2, (x≤-1)

1、已知函数f (x)=

x2, (-1<x<2)
2x, ( x≥2 )

若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 B. 1或 2 A. 1 3 C. 1, ? 3 , 2 D. 3

问题探究

2、 国内跨省市之间邮寄信函,每封
信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 ? m ? 20 20 ? m ? 40 40 ? m ? 60 60 ? m ? 80 80 ? m ? 100 邮资(M)/元

0.80

1.60

2.40

3.20

4.00

请画出图像,并写出函数的解析式.

解 邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
M/元
4.0

3.2
2.4

。 。

函数解析式为 0.8, 1.60, 0<m ≤ 20 20<m ≤ 40 40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100

1.6

。 。
O 20

f(x)=

2.40, 3.20, 4.00,

。 0.8
40 60 80 100

m/g

如何用x与 f(x)来描述上升的图象? 在给定区间上任取 x1 , x2 ,
y

y = f (x)
f (x1 )

x1 ? x2
f (x 2 )
x2
x

f(x1 ) ? f(x2 )

O

x1

函数f (x)在给定区间上 为增函数。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象? y 在给定区间上任取 x1 , x2 , y = f (x)

x1 ? x2
f (x1 )
O

f(x1 ) ? f(x2 )

f (x 2 )

x1

x2

x

函数f (x)在给定区间上 为减函数。

记住下列重要结论. 1. f ( x)与 ? f ( x)增减性相反 .
1 2. f ( x)恒为正或恒为负时,函数f ( x)与 增减性相反. f ( x)

3.函数f ( x)与f ( x) ? k增减性相同 .
4.当k ? 0, f ( x)与kf ( x)的增减性相同 , k ? 0时, f ( x)与kf ( x)增减性相反 .

5.在公共区间内 , 增函数 ? 增函数 = 增函数, 增函数 ? 减函数 = 增函数.

例1:判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并证明你的结论。 减函数
证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 y
-1 1
O

1 f ( x2 ) = x2 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ? x1 x2

1 f ( x1 ) = , x1

f(x)在定义域 上是减函数吗? 1

? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0

x2 ? x1 = x1 x2

-1

x

1 ?函数 f ( x) = 在(0, ? ?)上是减函数 . x

?

例2:证明函数f(x)=x2+1在区间(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并给予证明。
解: 函数f(x)=x2+1在 (0,+∞)上是增函数.
下面给予证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2

y

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)
2 2

2

2

1
O 1

x

= x1 ? x2 = ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 ? x2 ? 0 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? ? ?f ( x ) ? f ( x ) 1 2

∴函数f(x)=x2+1在(0,+∞)上是增函数.

练习
若二次函数 f ( x) = ? x2 ? ax ? 4在区间 ? ??,1 上单调递 增,求a的取值范围。
y y

?

o1

x

o 1

x

a 解:二次函数 f ( x) = ? x ? ax ? 4 的对称轴为 x = ? , 2 a 由图象可知只要 x = ? ? 1 ,即 a ? ?2 即可. 2
2

已知函数 y = | x 2 -x |,
( 1 ) 作出函数的草图;( 2 ) 写出函数的单调区间。

? x2 ? x y=? 2 ?? x ? x

x ?x?0 x2 ? x ? 0
2

y

1 2 1 ? ? (x ? 2) ? 4 =? 1 1 ?? ( x ? )2 ? 2 4 ?

x ? 0或x ? 1 0? x?1

o

1 1 2

x

由图知:此函数的单调递增区间为 [0,

1 ], [1,? ?) 2

单调递减区间为

( ? ?,0], [

1 ,1] 2

4 | x ?1| 函数y = ( ) 的单调区间是 ____ . 5 解 : 设u =| x ? 1 |, 作图可知u =| x ? 1 | 在?? ?,1? 内单调递减, 4 在?1,???内单调递增 ,又 ?1 5 4 | x ?1| ? y = ( ) 的单调递减为?1, ?? ?区间 5 单调递增区间为? ??,1?
y 1 O 1 x

函数

?1? 2 y =? ? 解 设: u = x ? 2x 则: ? 2?

?1? y =? ? ?2?

x2 ?2 x

的单调区间,并证明.
u

对任意的

1 ? x1 ? x2
u

有 u1 ? u2

?1? 又∵ y = ? ? 是减函数 ? 2?

? y1 ? y2

?1? ∴ y =? ? ?2?

x2 ?2 x

在 [1,??) 是减函数

?1? 同理 y = ? ? ?2?

x2 ?2 x

在 (??,1] 是增函数

设函数 f ( x ) 在 (-∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 上是奇函数,又 f ( x ) 在

( 0 , + ∞ ) 上是减函数,并且 f ( x ) <0,指出 F ( x ) =
(-∞ , 0 ) 上的增减性?并证明。

1 f ( x)



解:设 -∞ < x 1 < x 2 < 0

则 0 < - x 2 < - x 1< + ∞
∴ f (- x 1 ) < f (- x 2 )

∵ f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数

又 ∵ f ( x ) 在 (-∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 上是奇函数

∴ -f ( x 1 ) <- f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
又F ( x 1 ) - F ( x 2 ) =
1 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )

∵ f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上有 f ( x ) < 0 且 -∞ < x 1 < x 2 < 0 ∴ f ( x 1 ) = - f (- x 1 ) > 0 , f ( x 2 ) = - f (- x 2 ) > 0 又 ∵ f ( x 1) > f ( x 2 ) 即 F( x1 ) < F( x2 ) ∴ F ( x 1 ) - F ( x 2 ) <0

故 F ( x ) 在(-∞ , 0 ) 上是增函数

1 y= x
?
O

y = x2 ? 2

O

?

关于原点对称 奇函数

关于y轴对称 偶函数

函数奇偶性的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x, 都有:
(1)f(-x)= - f(x),则称 y =f(x)为奇函数 (2)f(-x)= f(x),则称 y =f(x)为偶函数

注:1、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。
判断下列函数的奇偶性

(1) y = x 2 ( ?2 ? x ? 3) (2) y = ( x ? 1) 1? x (3) y = lg 1? x (4) y = ln( (5) y = x 2 ? 1 ? x) 1 ? x2 x2 ?1 ? 1? x 1? x

定义域不对称的函数无奇偶性,既不是奇函数也不是偶函数。

注:2、定义域对称的零函数,既是奇函数也是偶函数
判断下列函数的奇偶性

1 (1) y = x ? ? 1 x ( 2) y = x 0 ? 1 (3) y = ( x ? 1) 0 ? 1 ( 4) y = 2
定义域对称的非零常数函数仅是偶函数, 而零函数既是奇函数又是偶函数

例 函数y=mx +(n+2)x-1是 定义在[m,m -6]上的偶函数,则 该函数的值域是:___________;
2

2

已知 f ( x ) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x,求当 x < 0 时, f ( x ) 的解析式,并画出此函数 f ( x ) 的图象。 解:∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f (- x ) = - f ( x ) y

即 f ( x ) = - f (- x )
∵当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x ∴ 当 x < 0 时, f ( x ) = -f (- x ) = -[ (-x ) 2 -2(-x ) ] = -( x 2 + 2x ) o x

? x2 ? 2x 故y = ? 2 ? x ? 2x ?

x?0 x?0

? ( x ? 1) 2 ? 1 =? 2 ? ? ( x ? 1) ? 1

x?0 x?0

已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x -3,作出下列函数的图象: 1)y = f ( x ) y 2) y = f ( | x | ) y 3)y = | f ( x ) | y
4

-1
-3

-1
1

-1
1

o

x

-3

o

x

-3

o

1

x

-4

-4

-4

?( x ? 1) 2 ? 4 2) y = ? 2 ?( x ? 1) ? 4

x?0 x?0

? ( x ? 1) 2 ? 4 3) y = ? 2 ? ( x ? 1 ) ?4 ?

x ? ?3或x ? 1 ?3? x?1

例、设函数 f ( x) = x2 ? 4x ?1, x ??t , t ? 1? ,求 f ( x ) 的最小值

g (t ) 的解析式.
解: 因为 f ( x) = x2 ? 4x ?1 = ( x ? 2)2 ? 3, x ??t, t ?1? , 所以 f ( x ) 的 对称轴为: x = 2 .
t ? 2 ? t ?1 , ⑴当 2 ? [t , t ? 1] 时, 即 1 ? t ? 2 时, 此时 g (t ) = f (2) = ?3 ;
⑵当 t ? 1 ? 2 时,即 t ? 1 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 上是减函数,此时

g (t ) = f (t ? 1) = t 2 ? 2t ? 2 ;
⑶当 t ? 2 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 上是增函数,

?t 2 ? 2t ? 2, t ? (??,1), ? 2 t ? ?1, 2? , 此时 g (t ) = f (t ) = t ? 4t ? 1 .综上所述, g (t ) = ??3, ?2 ?t ? 4t ? 1, t ? (2, ??).

设f(x)定义域为[0,1],则f(2x+1)的定义域 1 [ ? , 0] 为 。
2

函数f(x)为定义在R上的奇函数,在(0,+∞)上单 调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集 为 (-3,0) ∪(3, +∞) 。 提示:可以描绘 大致图形如右

-3

3

基本初等函数
基本初等函数
指数函数

对数函数

幂函数

指数函数与对数函数

函数

y = ax ( a>0 且 a≠1 )
a>1 0<a<1
y 1 x 0 x

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y

0<a<1
y


1

y

1 o 1



x

o

x

0

定义域

R
(0, ??)
(0, 1) 在R上是减函数

定义域 值域
定点

(0, ??)

单调性 相同



值域
定点

R
(1, 0)



在R上是增函数

在( 0 , + ∞ )上是 在( 0 , + ∞ )上是 增函数 减函数

指数函数与对数函数

如图是指数函数(1) y = a x , (2) y = b x , (3) y = c x ,

(4) y = d x的图象, 则a, b, c, d 与1的大小关系是( B ) . A.a ? b ? 1 ? c ? d B.b ? a ? 1 ? d ? c D.a ? b ? 1 ? d ? c. C.1 ? a ? b ? d
(1) (2) y (3) (4)

O

X

指数函数与对数函数

若图象C1,C2,C3,C4对应 y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则( D ) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<d<c<1<b<a D.0<c<d<1<a<b
y

C1 C2
o 1 C3 C4 x

已知函数f ( x)的定义域为 ? 0, 4?, 则f (log 1 x)的定义域为【1/16,1)
2

x 求函数y = log 2 (2 ? x ? 4)的值域. 4

[?1, 0]

指数函数与对数函数

求函数y = 3

2 x ?1

1 ? 的定义域 9

? 1 ? ? 所求函数的定义域为 ? ,?? ? ? ? 2 ?

求函数y = a ? 1的定义域(其中a ? 0, 且a ? 1).
x

指数函数与对数函数

2x ? 1 求函数y = x (a ? 0且a ? 1)的值域. 2 ?1 x

2 ?1 2 解法一 :由y = x = 1? x 2 ?1 2 ?1 x x 又 ? 2 ? 0,? 2 ? 1 ? 1,? 0 ?

2 2 ?0 ? x ? 2, 即 ? 2 ? ? x ? 0 ? y ? (?1,1) 2 ?1 2 ?1 解法二 :
2x ? 1 ? y = x ,? 2 x ( y ? 1) = ?1 ? y 2 ?1

1 ?1 x 2 ?1

??1 ? y ? 1

?所求函数的值域为 (?1,1)

指数函数与对数函数

求函数y = 0.5
2

1?2 x? x2

的定义域和值域.
2

解 : 函数的定义域为 R.
?1 ? 2x ? x = ?( x ?1) ? 2 ? 2

而y = 0.5 在R上是减函数 .
u

y = 0.5

1? 2 x ? x 2

?1 ? ? 值域为 ? , ?? ? . ?4 ?

1 ? 0.5 = 4
2

指数函数与对数函数

1 x2 ? 2 x 讨论函数f ( x) = ( ) 的单调性, 并求值域. 3

?u = x ? 2x = ( x ?1) ?1, 在?? ?,1?上是减函数 1 u f (u ) = ( ) 在其定义域内是减函数 . 3 ? f ( x)在?? ?,1? 内为增函数 .
2 2

1 u 解 : 函数f ( x)的定义域为 R. 令u = x ? 2 x, 则f (u ) = ( ) 3
2

1 u 又f (u ) = ( ) 在其定义域内为减函数 . 3

? f ( x)在?1,???上是减函数 .

指数函数与对数函数

1 又 ? x ? 2 x = ( x ? 1) ? 1 ? ?1,0 ? ? 1 3 1 2 1 0 ? ( )x ? 2x ? ( ) ?1 = 3 3 3
2 2

?0,3?. ?函数值域为

指数函数与对数函数

1 x 2 ?3 x ? 2 求函数y = ( ) 的增区间. 3
1 2 1 3? ? 解 : 令u = x ? 3x ? 2, u = ( x ? ) ? , u对x的减区间? ??, ? 3 4 2? ?
2

1 u 又函数y = ( ) 在定义域内是减函数. 3 3? ? ?函数的增区间为 ? ? ?, ? 2? ?

y

y=x3 y=x2

y

y=x-1

y=x-2
1

1

y=x1/2
1

0

X

a>0

y=x

?

0

1

X

a<0

(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在(0,+∞)上是增函 数。

(1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数。 (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

试写出函数 f ( x ) = x 的定义域,并指出其奇 偶性.
解 : f ( x) = 1

2 ? 3

{x x ? 0}; ?此函数的定义域为
x
f ( ? x) = 1
3

2 3

=

1

3

x

2

( ? x) 2

=

1
3

x2

= f ( x)

故此函数为偶函数 .

函数与方程
?函数在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0

×

?函数在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则在区间
(a,b)上有零点

例:关于 x 的方程 x 2 -( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号,则实数 k 的取值 ( -∞ , 0 ) 范围是 ____________________ 解: 令 f ( x ) = x 2 -( k + 1 )x + 2k
?( k ? 1) 2 ? 8k ? 0 ? ??0 ?? 由图可知 : ? x x ? 0 2k ? 0 ? 1 2 ? ? k ? 6k ? 1 ? 0 ?? k?0 ?
2

y

o

x

? ? k ? 6 ? 35 或k ? 6 ? 35 ?? 2 2 ? k?0 ?

由图可知: f ( 0 ) < 0

?k?0

?k?0

例:已知方程(m-1)x2+mx-1=0至少 有一个正根,求实数m的范围.
解: 若m-1=0,方程为x-1=0,x=1符合条件. 若m-1≠0,设f(x)=(m-1)x2+mx-1.

∵ f(0)=-1≠0, ∴ 方程f(x)=0无零根.
如方程有异号两实根,则x1x2=<0,m>1. 如方程有两个正实根,则:
Δ=m2+4(m-1)≥0, m≥-2+
?1 >0, m ?1 m x1+x2=- >0, m ?1

2或 2m≤-2-

,2 2

x1 x2 =

m<1,

0<m<1.

由此得,实数m的范围是m≥ 2 2 -2. ∴ 2 2-2≤m<1.

函数模型及其应用
求解数学应用问题的思路和方法,我们可以用 示意图表示为:
实际问题 答 还原 说明 抽象 概括 数学模型 数学模型 推 理 演 算 数学模型的解

实际问题的解

例1.某工厂今年1、、 2 3月分别生产某产品1万件, 以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模 拟产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可 选y = a ? b ? c(其中a, b, c为常数)或二次函数.
x

1.2万件, 1.3万件,为了估测以后每个月的产量,

已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问,用 以上哪个函数为模拟函数较好,并说明理由.

解 : 设f1 ( x) = a ? b ? c,f 2 ( x) = Ax ? Bx ? C
x 2

根据题意,得:
?10000 = ab ? c ? 2 ?12000 = ab ? c ?13000 = ab3 ? c ?
解之得

? A ? B ? C = 10000 ? ?4 A ? 2 B ? C = 12000 ?9 A ? 3B ? C = 13000 ?

? a = ?8 0 0 0 ? 1 b = ? 2 ?c = 1 4 0 0 0 ?

? A = ?500 ? ? B = 3500 ?C = 7000 ?

? f1 ( x) = ?8000 ? ( ) ? 14000,
1 x 2

f 2 ( x) = ?500 x ? 3500 x ? 7000
2

1 当x = 4时,f1 (4) = ?8000 ? ? 14000 = 13500 16 f 2 (4) = ?500 ?16 ? 3500 ? 4 ? 7000 = 13000
而4月份产量是13700件,与 f1 (4)较为接近. ? 选取y = ab x ? c
x 即:y = ?8000( 1 ) ? 14000作为模拟函数较好. 2


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