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an的求法


数列 an 的求法
【知识要点】 1.利用递推关系式求数列通项的常用方法: 累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐项相减法) 倒数变换法、数学归纳法 2.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求 数列通项公式的最基本方法。 3.求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差 数列或等比数列。 4.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。

【方法分析】 一、累加法、累乘法 1.累加法(适用于: an?1 ? an ? f (n) )--------累加法是最基本的二个方法之一。 若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,则
a2 ? a1 ? f (1) a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)
n

两边分别相加得 an?1 ? a1 ? ? f (n)
k ?1

【例 1】已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

1

【变式练习】
* a a 1. 已知数列 ? n ? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N ) 写出数列 ? n ? 的通项公式.

【总结】已知 a1 ? a , an?1 ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、 指数函数、分式函数,求通项 a n . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; 基本公式法: 1 等差、等比数列的前 n 项和公式 ○ 1 2 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1?? 2n ? 1? ; C ○ 6
2 2 2

0 n

1 2 n ? Cn ? Cn ??? Cn ? 2n

③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 常见的裂项途径有:○ 1 若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则
1

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? an an?1 d ? an an?1 ?

a n ? a n ?1 ? (n ? 2) n(n ? 1) 比如:已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , ,求此数列的通项公式.

2、累乘法(适用于: an?1 ? f (n)an )--------累乘法是最基本的二个方法之二。
2



n an ?1 a a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) 两边分别相乘得, n ?1 ? a1 ? ? f (k ) an a1 a2 an a1 k ?1

【例 2】已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

二、待定系数法————适用于 an?1 ? qan ? f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数 集的一个函数。 1.形如 an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型 (1)若 c=1 时,数列{
(2)若 d=0 时,数列{

an

}为等差数列;

an

}为等比数列;

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构
造辅助数列来求. 待定系数法步骤: 1) 设

an?1 ? ? ? c(an ? ? ) ,得 an?1 ? can ? (c ? 1)? ,
d

a ? can ? d , 比较系数得 (c ? 1)? ? d ,得 ? ? c ? 1 , (c ? 0) ,故 a n ? c ? 1 ? c(a n ?1 ? c ? 1) 2) 与题设 n?1
3)
d ? ? d a1 ? ?a n ? ? c ? 1 ? ? c ? 1 为首项,以 数列变为 构成以

d

d

c 为公比的等比数列,
3



an ?

d d d d a n ? (a1 ? ) ? c n ?1 ? ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1. c ?1 c ?1 即:

【例 1】已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

a1 ? 2, a n ?1 ? a n ? , 2 2 求通项 a n 。 【变式练习】已知数列 {an } 中,

1

1

2.形如:

a n?1 ? p ? an ? q n

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即:

a n?1 ? an ? q n ,累加即可.
n

a ? p ? an ? q ,求通项方法有以下三种方向 ②若 p ? 1 时,即: n?1
两边同除以 p
n ?1

.目的是把所求数列构造成等差数列

a n ?1

即:

p

n ?1

?

an q
n

?

an p 1 p 1 bn ? n bn ?1 ? bn ? ? ( ) n ? ( )n p ,则 p q ,然后累加求通项. p q ,令

【例 2】已知数列

{an }

满足

an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

4

三、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有 Sn ,又有 an 分析: 把已知关系通过 a 的方法求解。
1 【例 1 】已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 S n ? ( an ? 1)(an ? 2) ,且 6
?S1 , n ? 1 转化为数列 ?? ?Sn ? Sn?1 , n ? 2

n

?an ? 或 Sn 的递推关系,然后采用相应

a2 , a4 , a9 成等比数列,求数列 {an } 的通项公式。

5

四、倒数变换法——适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 【例 1】已知数列 {an } 满足 an ?1 ?
2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

6


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