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2007年全国高考文科数学试卷及答案-全国1


2007 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页, 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ卷
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 .答题前, 证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, .每小题选出答案后, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 小题, 在每小题给出的四个选项中, . 符合题目要求的. 符合题目要求的. 参考公式: 参考公式: 球的表面积公式 如果事件 A,B 互斥,那么

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V=

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p )n ? k (n = 0,2, ,n) 1, L
一、选择题

其中 R 表示球的半径

(1)设 S = x 2 x + 1 > 0 , T = x 3 x ? 5 < 0 ,则 S I T = ( A. ? B. ? x x < ? ?

{

}

{

}



? ?

1? 2?

C. ? x x >

? ?

5? ? 3?

D. ? x ?

? ?

1 5? <x< ? 2 3?

(2) α 是第四象限角, cos α = A.

5 13

B. ?

5 13

12 , sin α = ( ) 13 5 5 C. D. ? 12 12
) D.平行且反向 )

(3)已知向量 a = ( ?5, , b = (6, ,则 a 与 b ( 6) 5) A.垂直 B.不垂直也不平行

C.平行且同向

(4)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 ( ?4, , (4, ,则双曲线方程为( 0) 0)

A.

x2 y 2 ? =1 4 12

B.

x2 y 2 ? =1 12 4

C.

x2 y 2 ? =1 10 6

D.

x2 y 2 ? =1 6 10

(5)甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则 不同的选修方案共有( ) A. 36 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 192 种 (6)下面给出四个点中,位于 ? B. ( ?2, 0)

? x + y ? 1 < 0, 表示的平面区域内的点是( ?x ? y +1 > 0
C. (0, 2) ? D. (2, 0)



A. (0, 2)

(7)如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB ,则异面直线 A1 B 与 AD1 所成角 的余弦值为( )

D1

1 A. 5

2 B. 5

3 C. 5

4 D. 5

C1 B1

A1

D A B

C

2 (8)设 a > 1 ,函数 f ( x ) = log a x 在区间 [ a,a ] 上的最大值与最小值之差为
( ) B. 2 C. 2 2 D. 4

1 ,则 a = 2

A. 2

(9) f ( x ) , g ( x ) 是定义在 R 上的函数, h( x ) = f ( x ) + g ( x ) ,则“ f ( x ) , g ( x ) 均为偶 函数”是“ h( x ) 为偶函数”的( A.充要条件 C.必要而不充分的条件 )

B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 )

(10)函数 y = 2 cos 2 x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ?

? π π? ? 4 4?

B. ? 0, ?

? ?

π? 2?

C. ? , ?

? π 3π ? ?4 4 ?

D. ? ,π ?

?π ?2

? ?

(11)曲线 y =

1 3 ? 4? x + x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3? 2 9
C.



A.

1 9

B.

1 3

D.

2 3

(12)抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是( A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8 )

第 Ⅱ卷
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 .答题前, 写清楚,然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 条形码. 写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, . 在试题卷上作答无效. 在试题卷上作答无效. 3.本卷共 10 题,共 90 分. 填空题: 小题, 把答案填在横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. (13)从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取 20 袋,测得各袋的质量分别为(单位:g ) : 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g~ 501.5g 之间的概率约为_____. (14)函数 y = f ( x) 的图像与函数 y = log 3 x

( x > 0) 的图像关于直线 y = x 对称,则

f ( x) = ____________.
(15)正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S,A,B,C,D 都在同一 个球面上,则该球的体积为_________. (16)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为 ______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a = 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a = 3 3 , c = 5 ,求 b. (18) (本小题满分 12 分) 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用 一次性付款的概率是 0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元; 若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元. (Ⅰ)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率. (19) (本小题满分 12 分) 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , 侧 面 SBC ⊥ 底 面 ABCD , 已 知 S ∠ABC = 45° , AB = 2 , BC = 2 2 , SA = SB = 3 . (Ⅰ)证明: SA ⊥ BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小. D C A B

(20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = 2 x + 3ax + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ∈ [0, ,都有 f ( x ) < c 成立,求 c 的取值范围. 3]
2

(21) (本小题满分 12 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 21 ,

a5 + b3 = 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

(22) (本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 3 2

的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ⊥ BD ,垂足为 P. (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值.

x0 2 y0 2 + < 1; 3 2

2007 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题(必修+ 文科数学试题(必修+选修 1)参考答案 )

一、选择题 1.D 2.B 10.D 11.A 二、填空题 13. 0.25 三、解答题 17.解:

3.A 4.A 12.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.B

14. 3x ( x ∈ R )

15.

4π 3

16.

1 3

(Ⅰ)由 a = 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B = 由 △ ABC 为锐角三角形得 B =
2

1 , 2

π . 6
2 2

(Ⅱ)根据余弦定理,得 b = a + c ? 2ac cos B = 27 + 25 ? 45 = 7 . 所以, b = 18.解: “ ,则 A 表示事件: 3 位顾客 “ (Ⅰ)记 A 表示事件: 3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款” 中无人采用一次性付款” .

7.

P ( A) = (1 ? 0.6) 2 = 0.064 , P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ? 0.064 = 0.936 .
“ . (Ⅱ)记 B 表示事件: 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元”

B0 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款” . B1 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中恰有 1 位采用分期付款” .
则 B = B0 + B1 .
1 P ( B0 ) = 0.63 = 0.216 , P ( B1 ) = C3 × 0.6 2 × 0.4 = 0.432 .

P ( B ) = P ( B0 + B1 ) = P ( B0 ) + P ( B1 ) = 0.216 + 0.432 = 0.648 .
19.解法一: (1)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 底面 ABCD . 因为 SA = SB ,所以 AO = BO , 又 ∠ABC = 45 ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,
o

由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC , 依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD = BC = 2 2 , E C A

S

O

B

SA = 3 ,
D

SD = AD + SA = 11 .
2 2

又 AO = AB sin 45 =
o

2 ,作 DE ⊥ BC ,垂足为 E ,

则 DE ⊥ 平面 SBC ,连结 SE . ∠ESD 为直线 SD 与平面 SBC 所成的角.

sin ∠ESD =

ED AO 2 22 = = = SD SD 11 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 arcsin

22 . 11

解法二: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平面 ABCD . 因为 SA = SB ,所以 AO = BO . 又 ∠ABC = 45 , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB .
o

如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz , 因为 AO = BO =

2 AB = 2 , 2

z
S

SO = SB 2 ? BO 2 = 1 ,
又 BC = 2 2 ,所以 A( 2, 0) , 0, C D A B

O

x

B (0,2, , C (0, 2, . 0) ? 0) uur S (0,1) , SA = ( 2, ? 1) , 0, 0,

y

uur uuu r uuu r CB = (0, 2, , SA CB = 0 ,所以 SA ⊥ BC . 2 0)
(Ⅱ) SD = SA + AD = SA ? CB = ( 2, 2 2, 1) , OA = ( 2, 0) . ? ? 0,

uuu r

uur uuur

uur uuu r

uuu r

uuu uuu r r uuu r OA 与 SD 的夹角记为 α , SD 与平面 ABC 所成的角记为 β ,因为 OA 为平面 SBC 的法向
量,所以 α 与 β 互余.

uuu r OA cos α = uuu r OA

uuu r SD 22 22 , sin β = , uuu = r 11 11 SD
22 . 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 arcsin 20.解: (Ⅰ) f ′( x ) = 6 x 2 + 6ax + 3b ,

因为函数 f ( x ) 在 x = 1 及 x = 2 取得极值,则有 f ′(1) = 0 , f ′(2) = 0 .

即?

?6 + 6a + 3b = 0, ?24 + 12a + 3b = 0.

解得 a = ?3 , b = 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) = 2 x ? 9 x + 12 x + 8c ,
3 2

f ′( x) = 6 x 2 ? 18 x + 12 = 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ∈ (0, 时, f ′( x ) > 0 ; 1) 当 x ∈ (1, 时, f ′( x ) < 0 ; 2) 当 x ∈ (2, 时, f ′( x ) > 0 . 3) 所以,当 x = 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) = 5 + 8c ,又 f (0) = 8c , f (3) = 9 + 8c . 则当 x ∈ [ 0, 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) = 9 + 8c . 3] 因为对于任意的 x ∈ [ 0, ,有 f ( x ) < c 2 恒成立, 3] 所以 解得

9 + 8c < c 2 ,

c < ?1 或 c > 9 ,

因此 c 的取值范围为 ( ?∞, 1) U (9, ∞ ) . ? + 21.解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则依题意有 q > 0 且 ? 解得 d = 2 , q = 2 . 所以 an = 1 + ( n ? 1) d = 2n ? 1 ,

?1 + 2d + q 4 = 21, ? 2 ?1 + 4d + q = 13, ?

bn = q n ?1 = 2n ?1 .

(Ⅱ)

an 2 n ? 1 = n ?1 . bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 + 2 + L + n ? 2 + n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n = 2 + 3 + + L + n ?3 + n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n = 2 + 2 + + 2 + L + n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 Sn = 1 + 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 = 2 + 2 × ?1 + + 2 + L + n ? 2 ? ? n ?1 2 ? 2 ? 2 2

1 n ?1 2n ? 1 = 2 + 2 × 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n + 3 = 6 ? n ?1 . 2 1?
22.证明 (Ⅰ)椭圆的半焦距 c =

y A

3? 2 =1,
P B F1 O F2

D

由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1 F2 为直径的圆上, 故 x + y = 1,
2 0 2 0 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 1 所以, + ≤ + = < 1. 3 2 2 2 2

x
C

(Ⅱ) (ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 k ≠ 0 时, BD 的方程为 y = k ( x + 1) ,代入椭圆方程

x2 y 2 + = 1 ,并化简得 (3k 2 + 2) x 2 + 6k 2 x + 3k 2 ? 6 = 0 . 3 2
设 B ( x1,y1 ) , D ( x2,y2 ) ,则

x1 + x2 = ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 = 2 , 3k 2 + 2 3k + 2
2

BD = 1 + k

x1 ? x2 = (1 + k ) ?( x2 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? = ? ?
2

4 3(k 2 + 1) ; 3k 2 + 2

因为 AC 与 BC 相交于点 p ,且 AC 的斜率为 ?

1 . k

? 1 ? 4 3 ? 2 + 1? 2 k ? ? = 4 3(k + 1) . 所以, AC = 1 2k 2 + 3 3× 2 + 2 k
四边形 ABCD 的面积

1 24(k 2 + 1) 2 24(k 2 + 1) 2 96 S = BD AC = ≥ = . 2 2 2 2 (3k + 2)(2k + 3) ? (3k 2 + 2) + (2k 2 + 3) ? 25 ? ? 2 ? ?
当 k = 1 时,上式取等号.
2

(ⅱ)当 BD 的斜率 k = 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S = 4 . 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为

96 . 25


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