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函数解析式求法


函数解析式的求法
和抽象函数

函数解析式的一般求法 与抽象函数
[回顾与总结]函数表示法的三种方法是什么?最常用

的方法是什么?
答:函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三种。 解析式法是最常用的表示方法。
?1( x ? 0) [过程]例1,已知f(x)= ?0( x ? 0) ?

>
[内容提要]函数解析式一般如何求呢?

f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) 求g(x)= x

(x>0)的解析式

分析:f(x)是分类定义的,相应的f(x-1)与f(x-2)也 是分类定义的

?1( x ? 2 ? 0 ? x ? 2) ?1( x ? 1 ? 0 ? x ? 1) ? f(x-2)= 解:f(x-1)= ? ?0( x ? 2 ? 0 ? x ? 2) ?0( x ? 1 ? 0 ? x ? 1) ?0?0 ? x ? 0(1 ? x ? 0) ? 说明:这一方法,根据f(x)的定 ?1 ? 0 1 g(x)= ? x ? x (1 ? x ? 2) 义而直接求g(x)的解析式,称 ? ? 1 ? 1 ? 2 ( x ? 2) 直接法 ? x ? x

练习: 已知函数f(x)=4x2+3,g(x)=x+1, 求f[g(x)]
例2、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式
解:[方法一]f(x+1)= 4[(x+1)-1]2 +8[(x+1)-1] +7

=4[(x+1)2-2(x+1)+1]+8(x+1)-8+7
=4(x+1)2+3 ∴f(x)=4x2+3

说明:该题因为左边自变量为x+1,右边也变成含有它的 式子,这一方法称拼凑法,拼凑的技巧是“先写后算”, 即先写上要拼凑的结果x+1,再看多算了什么,进行加、 减、乘、除四则运算,以保持式子的值相等。

例2、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式
解:[方法二]令x+1=t 则x=t-1

f(t)=4(t-1)2 +8(t-1) +7 =4t2-8t+4+8t-8+7 =4t2+3 ∴f(x)=4x2+3

说明:这一方法是将x+1看作一个变量t,称代换法或换元法, 这也是已知f[g(x)]的解析式求f(x)解析式的一种方法。

) ? x ? 2 x ,求f(x) 练习:若 f ( x ? 1

例3,已知f(x)是x的一次函数,且 f[f(x)]=4x-1,求f(x)
解:设f(x)=ax+b(a≠0),则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1有

? a2 ? 4 ? ? a ? 21 或 ?a ? ?2 ? 解得 ?b ? ? ? ab ? b ? ? 1 ? ? ? b ?1 3 ?
∴f(x)=2x-1/3或f(x)=-2x+1 之一

说明:象这样已知f(x)的结构形式时,可以先 设成其结构式(如:一次函数设为ax+b,二次函 数设为ax2+bx+c,其中a≠0),在根据条件求出 相应的系数,代回到原设的式子中,而得出解 析式,这一方法称待定系数法。

1 例4,对一切非零实数x,f(x)+2f( )=3x,求f(x) x 1 解:由f(x)+2f( x )=3x

① ②

1 2 由①②消去f( x )得f(x)= -x(x≠0) x

1 1 1 以 x 代替x得 f( x )+2f(x)=3 x

说明:当发现“f”作用下,仅有x及另外一个与x有 关的式子时,可以用该式代替x,得到另一个关系式, 消去其他即可得到f(x)的解析式,这一方法与解方程 组方法类似,称消去法。

练习、已知f(x)满足f(0)=1,对任意实数x,y有f(xy)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x)的解析式
[方法一]令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)故f(x)=x2+x+1; [方法二]令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1), 从而f(-y)=1-y(-y+1),f(x)=x2+x+1

说明:这一解法是对x、y取一定值而求出的, 也称赋值法,解时要分析已知与结论之间的 差异进行赋值,这是求抽象函数解析式的常 用方法

总之,求f(x)解析式的常用方法有

1,直接法
2,待定系数法:已知f(x)的结构形式时

3,拼凑或换元法:已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式时

4,代入消元法:当 “f”作用下,仅有x及另外一个与x 有关的式子时,可以用该式代替 x ,得到另一个关系式, 消去其他,解出f(x) (有时用差异分析的赋值法) 作业:教材P32----3,4,10,13[补充习题]


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