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解三角形高考题


历届高考中的“解三角形”试题精选(自我测试)
一、选择题: (每小题 5 分,计 40 分) 1. (2008 北京文)已知△ABC 中,a= 2 ,b= 3 ,B=60°,那么角 A 等于( (A)135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.(2007 重庆理)在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =( A. 3 ? 3 B. 2 C.2 D. 3 ? 3 ) )

3.(2006 山东文、理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= (A)1 (B)2 (C) 3 —1 (D) 3

? ,a= 3 ,b=1,则 c=( 3

)

4.(2008 福建文)在中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a2 ? c2 ? b2 ? 3ac ,则角 B 的值为( A.



? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3


5. (2005 春招上海)在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C

(A)直角三角形. (B)等边三角形. (C)钝角三角形. (D)等腰直角三角形. 6.(2006 全国Ⅰ卷文、理) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? ( )

2 2 D. 4 3 7. (2005 北京春招文、理)在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是(
A. B. C. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 8. (2004 全国Ⅳ卷文、理)△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 A. 1 ? 3
2

1 4

3 4



B. 1? 3

C. 2 ?
2

3 ,那么 b=( ) 2 3 D. 2 ? 3
。 .

二.填空题: (每小题 5 分,计 30 分) 9.(2007 重庆文)在△ABC 中,AB=1, BC=2, B=60°,则 AC=

10. (2008 湖北文)在△ABC 中, b, 分别是角 A, C 所对的边, a, c B, 已知 a ? 3, b ? 3, c ? 30?, 则 A= 11.(2006 北京理)在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___ __. 12.(2007 北京文、理) 在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? ________. 3

13.(2008 湖北理)在△ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 . 14. (2005 上海理)在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=_______ 三.解答题: (15、16 小题每题 12 分,其余各题每题 14 分,计 80 分)
?
王新敞
奎屯 新疆

15.(2008 全国Ⅱ卷文) 在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值;

5 3 , cos B ? . 13 5 (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

16.(2007 山东文)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

7、(2008 海南、宁夏文)如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。
D C E

A

B

18.(2006全国Ⅱ卷文)在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? (1) BC ? ?

2 5 ,求 5 (2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。

19.(2007 全国Ⅰ理)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

20.(2003 全国文、理,广东)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的 东偏南 ? (cos ? ? 2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45 ? 方向移动,台风侵袭的范围为 10 圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? y O 海 岸 线 北 东 O

?
O

x

Q r(t ))

45?

P

历届高考中的“解三角形”试题精选(自我测试) 参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 40 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 B

4 A

5 B

6 B

7 B

8 B

二.填空题: (每小题 5 分,计 30 分) 9. 3 ; 10. 30° ; .11. __ 60 _.
O

12.

10 ; 2

13.

61 2

; 14.

15 3 4

王新敞
奎屯

新疆

三.解答题: (15、16 小题每题 12 分,其余各题每题 14 分,计 80 分)

5 12 3 4 ,得 sin A ? ,由 cos B ? ,得 sin B ? . 13 13 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? . 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3
15.解: (Ⅰ)由 cos A ? ?

? 16.解: (1)? tan C ? 3 7,
又? sin C ? cos C ? 1
2 2

sin C ?3 7 cos C
解得 cos C ? ?

1 . 8 1 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角. ? cos C ? . 8 5 1 5 ? ab ? 20 . (2)∵ CB ? CA ? ,即 abcosC= ,又 cosC= 2 8 2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. 又? a ? b ? 9 ?c ? 6 . ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .

? ? ? ? 17.解: (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD ,所以∠CBE ? 15 .

所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ?
? ?

(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 , AE 由正弦定理 ? ? ?
sin(45 ? 15 )
?

6? 2 . 4

D C E

2 . sin(90? ? 15? )

故 AE ?

2sin 30 cos15? ?

1 2? 2 ? 6? 2 6? 2 4

A

B

18.解: (1)由 cos C ?

2 5 5 得 sin C ? 5 5 2 3 10 sin A ? sin(180? ? 45? ? C ) ? (cos C ? sin C ) ? 2 10 AC 10 3 10 BC ? ? sin A ? ? ?3 2 由正弦定理知 sin B 2 10 2 AC 10 5 AB ? ? sin C ? ? ?2 1 AB1 ? (2) , B D? sin B 2 5 2 2

由余弦定理知 CD ?

BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC cos B ? 1 ? 18 ? 2 ? 1? 3 2 ?

2 ? 13 2
1 , 2

19.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

π . 6 ? ? ? ?? ? (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ?
由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ? ? ? ? 由 △ ABC 为锐角三角形知, 0 ? A ? , ? A ? ? ? . 2 2 6 ? ? 2? ? 5? ?A? ? 解得 ? A ? 所以 , 3 2 3 3 6 1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? 所以 sin ? A ? ? ? .由此有 ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?

20.解:设在 t 时刻台风中心位于点 Q,此时|OP|=300,|PQ|=20t, 台风侵袭范围的圆形区域半径为 r(t)=10t+60, 由 cos? ?

2 7 2 2 ,可知 sin ? ? 1 ? cos ? ? , 10 10
o o o

y O 海 岸 线

北 东 O

cos∠OPQ=cos(θ -45 )= cosθ cos45 + sinθ sin45 =

2 2 7 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5
2 2

?
O

x

在 △OPQ 中,由余弦定理,得

OQ

2

? OP ? PQ ? 2 OP ? PQ cos ?OPQ
2 2

= 300 ? (20t ) ? 2 ? 300 ? 20t ?
2

4 5
r(t ))

t = 400t ? 9600 ? 90000 若城市 O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即

Q

400t 2 ? 9600 ? 90000? (10t ? 60) 2 , t 2 整理,得 t ? 36t ? 288 ? 0 ,解得 12≤t≤24,
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.

45? P


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