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福建省南安第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 理


南安一中 2015~2016 学年度下学期期末考 高二数学(理科)试卷
本试卷考试内容为:集合,常用逻辑用语,函数、导数及其应用、定积分与微积分基本定理,复数.分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分150分, 考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自 己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上

答题无效.按照题号在各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效. 3.答案使 用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚(选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号) . 4.保持答题纸纸面清洁,不破损.考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要 求的. ) (1)集合 A ? {x | x2 ? x ? 0}, B ? {x | log2 x ? 1} ,则 A ? B ? (A) ? 0,1? (B) ?1, 2 ? (C) ? 2, ??? (2)若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ,则 z ? (A)1 (B) 2 (C) i (D) - i (3)已知函数 f ( x) 的图象是连续不断的,且有如下对应值表: (D) ? 0,1? ? ? 2, ???

x
f ( x)

1

2

3

4

5

6

?36

?15

?3

10

?32

?52

则函数 f ( x) 在下列那些区间内一定存在零点? (A) (1,2)和(2,3) (B) (2,3)和(3,4) (C) (3,4)和(4,5) (D) (4,5)和(5,6) (4)若 a, b ? R ,且 a ? b ,则 (A) a ? b (B) lg ? a ? b? ? 0 (C) ? ? ? ? ?

?1? ? 2?

a

?1? ? 2?

b

(D) 2 ? 3
a

b

(5)命题“若 x ??1, ?? ? ,则有 x ? (A)0 (B)1
m2 ? 4 m ? 3

1 ? 2 成立”的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为 x
(C) 2 (D) 3

(6)若 f ? x ? ? ? m ? 1? x

是幂函数,则 (B) f ? x ? 在定义域上单调递增 (D) f ? x ? 是偶函数

(A) f ? x ? 在定义域上单调递减 (C) f ? x ? 是奇函数

2 2 (7)已知命题 p :若 x ? y ,则 x ? y ;命题 q:“ a ? 0 ”是“ f ? x ? ?

1 ? a 为奇函数”的充分必要 x

条件.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧ ? q ;④ ? p ∨q 中,真 命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
1

(8)设 f ( x) , g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? 2 x2 ? 1 , 则 f (1) ? g (1) ? (B) ?1 lg | x | (9)函数 y ? 的图象大致是 x (A) ?2 (C) 0 (D) 1

(10) 若 0 ? a ? b ? 1 , c ? 1 ,则 (A) a c ? b c (C) a logb c ? b loga c

(B) log a c ? logb c
c c (D) ab ? ba

(11)函数 y ? f ? x ? 的图象如图所示,则 f ( x ) 可能是

? 1 ? 2 ? ?x ? ? 1 ? 2 (D) x cos ? 2 ? ?x ? (12) 已 知 函 数 y ? f ? x ?? x ? R ? 的 导 函 数 为
(A) x sin ? (B) x cos ?

? 1 ? 2 ? ?x ? ? 1? 2 (C) x sin ? 2 ? ?x ?

f ? ? x ? . 若 f ? x? ? f? ? x ? ?2 3x, 且 当 x ? 0 时 ,
2 2 ,则不等式 f ? x ? ? f ? x ?1? ? 3x ? 3x ? 1的解集 f ? ? x? ? 3 x

(A) ? ??,

? ?

1? ? 2?

(B) ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

(C) ? ??,1?

(D) (1,??)

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (13)已知函数 y ? loga x ? a ? 0, a ? 1? 的图象过点 ? 8,3? ,则其反函数为 (14)函数 f ? x ? ? . .

2 x ? 1 在点 ? 0,1? 处的切线方程
3 2

( 15)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx(a, b ? R) 的图象如图所示, 它与 x 轴在原点相切, 且 x 轴与函数图象所围成的区域 (如图阴影部分) 的面积为 3 ,则 a 的值为_________.

? x 2 ? x, ?1 ? x ? 0 ? (16)已知函数 f ? x ? ? ? , ? ?ln ? x ? 1? . 0 ? x ? 4
若 g ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? 有 3 个不同的零点, 则实数 k 的取值范围是 .
2

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请 在指定区域内作答,否则该题计为零分. ) (17) (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 2bx 在 x ? 1 处有极小值 ?1 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

(18) (本小题满分 12 分)

2 (a ? R) 是奇函数. 2 ?1 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域及实数 a 的值;
已知函数 f ( x) ? a ?
x

(Ⅱ)若函数 g ? x ? 满足 g ? x ? 2? ? ? g ? x ? 且 x ? ? 0, 2? 时, g ? x ? ? f ? x ? ,求 g ? ?5? 的值.

(19) (本小 题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

(20) (本小题满分 12 分) 1? x 已知函数 f ? x ? ? ln . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? . (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ?

(21) (本小题满分 12 分)

x ? ex ? a ? 0? a (Ⅰ)求函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上的最大值;
已知函数 f ? x ? ?
3

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 有 2 个零点,求实数 a 的取值 范围.

(22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ?

a ?1 . a

(Ⅰ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 m ? n ? 0 ,求证: em?n ?1 ? ln(m ? 1) ? ln(n ? 1) .

4

南安一中 2015~2016 学年度下学期期末考 高二数学(理科)参考答案 一、选择题 1 C 2 A 3 C 4 C 5 B 6 C 7 D 8 A 9 D 10 D 11 A 12 B

二、填空题 (13) y ? 2x ; 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由已知得 f (1) ? 1 ? 3a ? 2b ? ?1 ,①????1 分 又 f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2b ,所以 f ?(1) ? 3 ? 6a ? 2b ? 0 , 由①②得 a ? (14) x ? y ? 1 ? 0 ; (15) ? 6 ; (16) ?

? ln 5 1 ? , ?. ? 5 e?

②????3 分

1 1 , b ? ? .????4 分 3 2 1 1 , b ? ? 时, f ? x ? 在 x ? 1 处有极小值 ?1 .????5 分 3 2
2

经检验知当 a ?

(Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,由此得 f ?( x) ? 3x ? 2x ?1 ? ?3x ?1?? x ?1? ,???6 分 当 x ? ? 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?

1 3

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,????8 分 3
1 3

故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ? ) 和 (1, ??) ;函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ,1) . ????10 分 (18)解:(Ⅰ)? 2 ? 1 ? 0 ,解得: x ? 0 ,????? 1 分
x

1 3

? 函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} .
f (? x) ? a ?
?x

?????2 分

2 2 , f ( x) ? a ? x , 2 ?1 2 ?1

因为函数 f ( x ) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,? a ? 整理得: 2a ? 2 , 解得: a ? 1. ?????6 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 1 ?

2 2 ? ?( a ? x ) , 2 ?1 2 ?1
?x

2 .?????7 分 2 ?1
x

? g ? x ? 4? ? g ? ?? x ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? g ? x ? 2 ? ? g ? x ? ,? g ? x ? 是周期为 4 的函数.?????9 分
5

2 ? ? ? g ? ?5? ? g ? 3? ? g ?1 ? 2 ? ? ? g ?1? ? ? f ?1? ? ? ?1 ? ? ? ?3 .?????12 分 ? 2 ?1 ?
1 ????2 分 x 当 a ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? 0, ?? ? ,无递增区间;????3 分
(19)解: (Ⅰ)函数的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? a ? 当 a ? 0 ,当 0 ? x ?

1 1 时 f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 时 f ? ? x ? ? 0 a a

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? ,递增区间为 ? , ?? ? .????5 分 a? ?a ?
ln x .????7 分 x

(Ⅱ)由 f ( x) ? 0 有 ax ? ln x ,因为 x ? 0 ,所以 ax ? ln x 等价于 a ? 令 k ( x) ?

ln x 1 ? ln x , k '( x) ? ,由 k '( x) ? 0 可得 x ? e .????8 分 x x2

(0, e) k '( x) k ( x)
大于 0 单调递增

(e,??)
小于 0 单调递减 ????10 分

1 1 ? a .即实数 a 的取值范围是 ( , ??) ????12 分 e e (20)解: (Ⅰ)函数定义域为 ? ?1,1? ????1 分
由上表可知 k ( x) ? k (e) ? 因为 f ? x ? ? ln

2 1? x ,所以 f ? ? x ? ? ????3 分 1? x 1 ? x2

则 f ? ? 0? ? 2, f ? 0? ? 0 ????4 分 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程为 2 x ? y ? 0 .????5 分
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? , (Ⅱ)要证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 即证不等式 f ? x ? ? 2 ? x ? ? ? 0 在(0,1)恒成立.????6 分 3? ?

? ? x3 ? x3 ? 设 F ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? x ? ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 2 ? x ? ? 3? 3? ? ?

则 F?? x? ?

2 x4 ,????9 分 1 ? x2

6

1? 时, F ? ? x ? ? 0 ,故 F ? x ? 在(0,1)上为增函数, 当 x ??0 ,
则 F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ????11 分
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? 成立.????12 分 因此对 x ? ? 0 , 3? ?

(21)解: f ? ? x ? ? 当 ln

1 1 ? e x ,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? ln ????1 分 a a

1 1 2 ? 2 ,即 0 ? a ? 2 , f ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递增,所以 f ? x ?max ? f ? 2 ? ? ? e 2 ; a e a 1 1 1 1? ? ? 1 ? ? 2 ,即 2 ? a ? , f ? x ? 在 ?1, ln ? 上单调递增,在 ? ln , 2 ? 上单调递减, a e e a? ? ? a ?

当 1 ? ln

所以 f ? x ?max ? f ? ln 当 ln

? ?

1? 1 1 1 ? ? ln ? ; a? a a a

1 1 1 ? 1 ,即 a ? , f ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减,所以 f ? x ?max ? f ?1? ? ? e .????6 分 e a a

x x ? e x ? 0 ,则 a ? x . e a x 问题转 化为 y ? a 与函数 g ? x ? ? x 有 2 个交点.????7 分 e 1? x 令 g ? ? x ? ? x ? 0 ,则 x ? 1 e
(Ⅱ)令 f ? x ? ? 当 x ? 1 时 g? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时 g? ? x ? ? 0 所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取得极大值也为最大值 g ?1? ?

1 ????9 分 e

且 x ? ??, g ? x ? ? 0 ; x ? ??, g ? x ? ? ?? ????11 分 故 a ? ? 0, ? 时, y ? a 与函数 g ? x ? ?

? ?

1? e?

x 有 2 个交点,即函数 f ? x ? 有 2 个零点.???12 分 ex
??1 分

(22)解: (Ⅰ)关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 有实数解 ,即 f ? x ?min ? 0 ∵ f ?( x ) ? 1 ?

1 x ? , ( x ? ?1) ,由 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0 x ?1 x ?1 a ?1 ∴ f ( x ) 在 (?1, 0] 递减,在 [0, ??) 递增, f ( x) min ? f (0) ? ?? 4 分 a a ?1 ? 0 得 0 ? a ? 1 , ∴ a 的取值范围为 (0,1] ?? 5 分 由 a
(Ⅱ)令 a ? 1 ,则 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0, ??) 递增, ∵ m ? n ? 0 , ∴ f (m) ? f (n) 即 m ? ln(m ? 1) ? n ? ln(n ? 1) ?? 7 分
7

∴ m ? n ? ln(m ? 1) ? ln(n ? 1) ,故要证原不等式,只要证: e

m?n

? 1 ? m ? n ?? 9 分

记 g ( x) ? e x ? x ? 1 , (x ? 0) , 则 g ?( x) ? e x ?1 ? 0 ?? 10 分 ∴ g ( x) 在 (0, ??) 递增, ∴ g ( x) ? g (0) ? 0 即 e ? 1 ? x ( x ? 0 )
x

令 x ? m ? n,则有: e

m?n

? 1 ? m ? n ,∴ em?n ?1 ? ln(m ? 1) ? ln(n ? 1) ?? 12 分

8


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