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必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系


必修 2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.已知直线 m ∥平面 ? ,直线 n 在平面 ? 内,则 m 与 n 的关系 A.平行 B.相交 C.平行或异面 D.相交或异面 2.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,与对角线 A1C 异面的棱的条数为 A.3 B.4 C.6 D.8 3.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB , CD

在原正方体中的位置关系是 A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成 60° 4.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,二面角 C1 ? AB ? C 的大小为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
C A

D B

5.用 a, b, c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下列命题:D ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ③若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b 其中正确的命题是 A. ①② B.②③ C. ③④ D. ①④ ②若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ④若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b

6.若三棱锥 P ? ABC 的三条侧 棱与底面 ABC 所成的角都相等,则点 P 在底面 上的射影一 定是△ ABC 的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 7. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,下列四种说法错误的是 A. A1C ? BD C. A1C 与 AB 成 45 角 B. D1C1 ? BC D. A1C1 与 B1C 成 60 角
A A1 D1 C1 B1

D

C B

8.给定下列命题: ①若一直线垂直于一个平面,则此直线垂直于平面内的所有直线 ②若一直线平行于一个平面,则此直线平行于平面内的无数直线 ③若一直线与一个平面不垂直,则此直线与平面内的直线不垂直 ④若一直线与一个平面不平行,则此直线与平面内的直线不平行 其中错误命题个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

9.如图,若长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AA1 ? 4 ,
A1

D1 B1

C1

则异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值为

5 6 C. 6 D. 5 6 D C 10.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下面四个命题: A B ① ? ∥? ? l ? m ② ? ? ? ?l ∥m ③ l ∥m ? ? ? ? ④ l ? m ? ? ∥? 其中正确的两个命题是 A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③ 11.设 a , b 为两条不同直线, ?,? 为两个不同平面,下列四个命题中,正确的命题是 A. 若 a ,b 与 ? 所成的角相等, 则 a ∥b B. 若 a ∥?,b ∥ ? ,? ∥ ? , 则 a ∥b C. 若 a ? ?,b ? ?,a ∥b , 则? ∥ ? D. 若 a ? ?,b ? ? ,? ? ? , 则a ? b
A. 5 B.

P .则下列 12.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,过 A 点作面 A 1BD 的垂线,垂足为
命题 ① P 是△ A 1BD 的重心 ② AP 垂直于直线 CD1 ③ AP 的延长线必通过点 C1
A1 D1 C1 B A D

P

C

④ AP 与面 AA1D1D 所成角为 45 其中正确的命题是 A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④

B1

二、填空题
13.已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC ? BD ,则平行四边形 ABCD 一定 是 . .

14. 正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 15.如图 BC 是 Rt △ ABC 的斜边,过 A 作△ ABC 所在平面的垂线 PA ,连 PB 、 PC ,过 A 作 AD ? BC 于 D ,连 PD ,那么图中 直角三角形的个数是 .
P

A D B

C

16.长方体 ABCD ? A 若 AB1 与底面 ABCD 成 60 角, 1B 1C1D 1 的底面是边长为 1 的正方形, 则二面角 C ? B1 D1 ? C1 的平面角的正切值为 .

三、解答题
E 、 F 为棱 AD 、 AB 的中点. 17、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)求证: EF ∥平面 CB1D1 ; (2)求证:平面 CAAC 1 1 ⊥平面 CB 1D 1.
A1 D1 C1 B1

D E A F B

C

18. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ∥ CD ,CD ? 2 AB ,AB ? 平面 PAD ,E 为 PC 的中点. (1)求证: BE ∥平面 PAD ; (2) AD ? PB ,求证: PA ? 平面 ABCD . B
E A

C

P

D

19. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形,AB ∥ CD ,AC ? BD , 垂足为 H , PH 是四棱锥的高. (1)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (2)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60° ,求四棱锥 P ? ABCD 的体积.
P

D H A

C

B

20.如图所示,正方形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相互垂直, G 是 AF 的中点. (1)求证: ED ? AC ; (2)若直线 BE 与平面 ABCD 成 45 角, 求异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值.
F E

G D A B C

21. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 平面 ABCD ,PD ? DC ? BC ? 1,AB ? 2 ,AB ∥ DC , ?BCD ? 90 . (1)求证: PC ? BC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

P

D

C

A

B

22 .在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90 , ?BAC ? ?CAD ? 60 , PA ⊥平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2AB ? 2 . (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V; P (2)若 F 为 PC 的中点,求证 PC ⊥平面 AEF ; (3)求证 CE ∥平面 PAB .

F A B C

E

D

必修 2 第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案
一、选择题
CCDBD ACCAD DB

二、填空题
13.菱形 14.

2 3

15.8

16. 6

三、解答题
17. (1)证明:连结 BD . 在正方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又
D1 C1 B1

E 、 F 为棱 AD 、 AB 的中点,

A1

? EF // BD .
D

? EF // B1D1 .
A

E F B

C

又 B1 D1 ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

? EF ∥平面 CB1D1 .
(2) 在正方体 AC1 中, AA1 ⊥平面 A1B1C1D1 ,而 B1 D1 ? 平面 A1B1C1D1 ,

? AA1 ⊥ B1D1 .
又 在正方形 A1B1C1D1 中, AC 1 1⊥B 1D 1,

? B1D1 ⊥平面 CAAC 1 1.


B1 D1 ? 平面 CB1D1 ,

? 平面 CAAC 1 1 ⊥平面 CB 1D 1.
18. 证明: (1)取 PD 中点 F,连结 EF,AF. 因为 E 是 PC 的中点,F 是 PD 的中点, 所以 EF∥CD,且 CD=2EF. 又因为 AB∥CD,CD=2 AB, ∥ AB,即四边形 ABEF 是平行四边形. 所以 EF ? P 因此 BE∥AF.又 AF ? 平面 PAD,BE ? 平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (2)因为 AB ? 平面 PAD, PA ,AD ? 平面 PAD,
B E A C

F

D

所以 AB ? AD, AB ? PA. 因为 AD ? PB, AB PB ? B , 所以 AD ? 平面 PAB . 又 PA ? 平面 PAB ,所以 AD ? PA. 因为 AB

AD ? A ,故 PA ? 平面 ABCD .

19.解: (1)因为 PH 是四棱锥 P ? ABCD 的高. 所以 AC ? PH ,又 AC ? BD , PH , BD 都在平面 PBD 内, 且 PH BD = H . 所以 AC ? 平面 PBD ,又 AC ? 平面 PAC . 故平面 PAC ? 平面 PBD . (2)因为 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD , AB = 所以 HA ? HB ?

6.

3.

因为 ?APB ? ?ADB ? 60 , 所以 PA ? PB ?

6 , HD ? HC ? 1.

可得 PH ? 3 . 等腰梯形 ABCD 的面积为 S ? ? AC ? BD ? 2 ? 3 .

1 2

所以四棱锥的体积为 V ?

1 3? 2 3 ×( 2 + 3 )× 3 = . 3 3

20. (1)证明:在矩形 ADEF 中, ED ? AD , ∵ 平面 ADEF ? 平面 ABCD , 又平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD . ∴ ED ? 平面ABCD ,又 AC ? 平面 ABCD . ∴ ED ? AC . (2)连接 BD 交 AC 于点 O . 由(1)知: ED ? 平面ABCD . ∴ ? EBD 是直线 BE 与平面 ABCD 所成的角,即 ? EBD ? 45? . 设 AB ? a, 则DE ? BD ?
G D A F

E

M

C O B

2a ,

取 DE中点M ,连接 AM , CM . ∵ G 是 AF 的中点, ∴ AM // GE . ∴ ?MAC 是异面直线 GE 与 AC 所成角或其补角.

∵ AM ? CM ? ∴ MO ? AC . 在 Rt△ AOM 中

a2 ? (

2 2 6 a) ? a , O是AC 的中点. 2 2

2 a AO 3 2 ∴ cos ?MAO ? . ? ? AM 3 6 a 2
∴ 异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值为

3 . 3

21. (1)因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由 ?BCD ? 90 ,得 BC ? CD .又 PD

DC ? D , PD ? 平面 PDC ,

DC ? 平面 PDC ,所以 BC ? 平面 PDC .
因为 PC ? 平面 PDC ,所以 PC ? BC . (2)连结 AC ,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h . 因为 AB ∥ DC , ?BCD ? 90 ,所以 ?ABC ? 90 . 从而由 AB ? 2 , BC ? 1 ,得△ ABC 的面积 S ?ABC ? 1 . 由 PD ? 平面 ABCD ,及 PD ? 1 ,得三棱锥 P ? ABC 的体积

P

D

C

1 1 V ? S ?ABC ? PD ? . 3 3 A 因为 PD ? 平面 ABCD ,DC ? 平面 ABCD , 所以 PD ? DC ,
又 PD ? DC ? 1 ,所以 PC ? 2 . 由 PC ? BC , BC ? 1 ,得△ PBC 的面积 S?PBC ?

B

2 . 2

所以三棱锥 A ? PBC 的体积 V ?

1 1 2 2 S?PBC ? h ? ? ?h ? h. 3 3 2 6



2 1 h ? ,得 h ? 6 3

2.

因此点 A 到平面 PBC 的距离为 2 .

22.解: (1)在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60° ,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° , ∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=

1 1 AB ? BC ? AC ? CD 2 2

1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3. 2 2 2 1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3 (2)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. (3)证法一: 取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA. ∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. ∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC, ∴EC∥平面 PAB. 证法二: 延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60° ,AC⊥CD, ∴C 为 ND 的中点. ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN. ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB, ∴EC∥平面 PAB.
P

E F A B C M D

P

E F A B C D

N


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