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新课标 人教A版 2.3等差数列前n项和


2.3 等差数列的前 n 项和

(一)教学目标 1. 知识与技能:通过实例, 理解等差数列前 n 项和 Sn 的概念; 探索并掌握等差数列前 n 项和 Sn 的公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的第 k 项与倒数 第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律; 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单 的问题,进行等差数列求和公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、 表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3.情感态度与价值观:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 (二)教学重、难点 重点:探索并掌握等差数列的前 n 项和 Sn 公式;学会用公式解决一些实际问题; 难点:等差数列前 n 项和公式推导思路的获得,灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简 单的有关问题 (三)学法与教学用具 学法:讲练结合 教学用具:投影仪,多媒体课件 (四)教学设想 [旧课复习] 1. 数列 {an } 是等差数列的条件: an?1 ? an ? 常数d 2. 等差数列 {an } 的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 3. 等差数列的性质: m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq [创设情景] 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏 伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝 石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层,奢靡之程度, 可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗?(图见课件) 问题 1:对于这个问题,早在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子” 的高斯就曾经上演了迅速求出这一结果的一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问 题:1+2+3+??+100=?当时,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案.你知道高斯是怎样算出来的吗? 学生回答:(1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,?,n,?前 100 项的和的问题。

今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和 Sn 。
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[探索研究] 问题 2:我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发?思考:1+2+? +n=?(让学生积极讨论) 教师提示:由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ ? +(n+1)+(n+1) 可知 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

(n ? 1) ? n 2

上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里? 高斯的算法很巧妙,他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和是 相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前 n 项和的。 [等差数列求和公式的教学] 一 般 地 , 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。 我们用两种方法表示 S n :

S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ① S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ? 1)d ], ②
由①+②,得

( 2Sn ? a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) ?????????? ? ?????????? ? ?
n个

? n(a1 ? an )
由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ? 把 an ? a1 ? (n ?1)d 代入 S n ?

n(a1 ? a n ) 2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 中,就可以得到 Sn ? na1 ? 2 2

引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项 与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前 n 项 和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于 n 的“二次函数” ,可以与二次函数进行比较。 这两个公式的共同点都是知道 a 1 和 n,不同点是第一个公式还需知道 a n ,而第二个公式是要 知道 d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。(知三求一)

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[公式运用] 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 S: ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8; ⑵ a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 21.5 答案:(1)-88;(2)198 [例题分析] 例 1.2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成 不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年 内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? ⑴、先阅读题目; ⑵、引导学生提取有用的信息,构造等差数列模型; ⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解:根据题意,从 2001-2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万 元.所以,可以建立一个等差数列 {an } ,表示从 2001 年起各年投入的资金,其中

a1 ? 500 ,

d=50.

那么,到 2010 年(n=10) ,投入的资金总额为

Sn ? 10 ? 500 ?

10 ? 10 ? 1 ( ) ? 50 ? 7250 (万元) 2

答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.

例 2.已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 引导学生分析得到: 等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的方 程。若要确定其前 n 项求和公式,则要确定 a1和d 的关系式,从而求得。 分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一次 方程,由此可以求得 a1 与 d,从而得到所求前 n 项和的公式. 解:由题意知 将它们代入公式

S10 ? 310,
S n ? na1 ?

S20 ? 1220 ,

(n ? 1 n ) d, 2

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得到

10a1 ? 45d ? 310, 20a1 ? 190d ? 1220

解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1 =4,d=6, 所以 Sn ? 4n ? 另解: 得

(n ? 1 n ) ? 6 ? 3n 2 ? n 2 a ?a S10 ? 1 n ? 10 ? 310 2

a1 ? a10 ? 62;
S20 ? a1 ? a20 ? 20 ? 1220 2



所以 ②-①,得 所以 代入①得: 所以有

a1 ? a20 ? 122;
10d ? 60 , d ?6



a1 ? 4
Sn ? a1n ? (n ? 1 n ) d ? 3n 2 ? n 2

例题评述:此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通过 解方程,得出其余的未知量. [随堂练习] 1.(2004.全国文)等差数列的前 n 项和记为 Sn .已知 a10 ? 30, a20 ? 50 : (1)求通项 an ; (2)令 Sn ? 242 ,求 n. 答案: (1) an ? 2n ? 10 ; (2) n ? 11 2.求集合 m m ? 7n, n ? N * , 且m ? 100 的元素个数,并求这些元素的和。 解:由 m=100,得 n ? 100 ? 14 2 7 7 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个,所以集合 m 中的元素共有 14 个,从小到大可列为: 7,7×2,7×3,7×4,?7×14 即:7,14,21,28,?98 这个数列是等差数列,记为 ?a n ?, 其中 a1 ? 7, a14 ? 98 ? S14 ?

?

?

14 ? (7 ? 98) ? 735 2

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解由 m=100,得 n ? 100 ? 14 2 7 7 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个,所以集合 m 中的元素共有 14 个,从小到大可列为: 7,7×2,7×3,7×4,?7×14 即:7,14,21,28,?98 这个数列是等差数列,记为 ?a n ?, 其中 a1 ? 7, a14 ? 98 ? S14 ?

14 ? (7 ? 98) ? 735 2

答:集合 m 中共有 14 个元素,它们和等于 735 [课堂小结] 1. 等差数列前 n 项和 S n 公式的推导( “倒序相加法”; ) 2. 等差数列前 n 项和 S n 公式的记忆与应用:

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d 和 Sn ? na1 ? 2 2

(五)作业 课本 46 页 A 组第 2、3 题 思考:课本 46 页 B 组第 2 题

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