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2014届高三数学辅导精讲精练69


2014 届高三数学辅导精讲精练 69
1.到两定点 A(0,0),B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 A.椭圆 C.线段 AB 答案 解析 C ∵|AB|=5,∴到 A、B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB. B.AB 所在的直线 D.无轨迹 ( )

2.若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则 P 的轨迹 方程为 A.y2=8x C.x2=8y 答案 解析 C 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y+4=0 的距离小 2, 因此 P 到 F(0,2) B.y2=-8x D.x2=-8y ( )

的距离与到直线 y+2=0 的距离相等,故 P 的轨迹是以 F 为焦点,y=-2 为准 线的抛物线,所以 P 的轨迹方程为 x2=8y.

3.在△ABC 中,已知 A(-1,0),C(1,0),且|BC|,|CA|,|AB|成等差数列,则 顶点 B 的轨迹方程是 x2 y2 A. 3 + 4 =1 x2 y2 C. 4 + 3 =1 答案 解析 D ∵|BC|,|CA|,|AB|成等差数列, x2 y2 B. 3 + 4 =1(x≠± 3) x2 y2 D. 4 + 3 =1(x≠± 2) ( )

∴|BC|+|BA|=2|CA|=4. ∴点 B 的轨迹是以 A,C 为焦点,半焦距 c=1,长轴长 2a=4 的椭圆,又 B x2 y2 是三角形的顶点, B、 三点不能共线, A、 C 故所求的轨迹方程为 4 + 3 =1, y≠0. 且 4.已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴 的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 B.椭圆 ( )

C.圆 答案 D

D.抛物线

解析

连接 MF,由中垂线性质知|MB|=|MF|,

即 M 到定点 F 的距离与它到直线 x=-1 距离相等. ∴点 M 的轨迹是抛物线. ∴D 正确. 5.设椭圆与双曲线有共同的焦点 F1(-1,0)、F2(1,0),且椭圆长轴是双曲线 实轴的 2 倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是 A.双曲线 C.两个圆 答案 解析 C ?|PF1|+|PF2|=4a, ? 得到|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|,所以是圆. ?|PF1|-|PF2|=2a, ( ) B.一个圆 D.两条抛物线 ( )

6.经过抛物线 y2=2px 焦点的弦的中点的轨迹是 A.抛物线 C.双曲线 答案 解析 A 点差法 kAB= 2p 2p y = =k = p化简得抛物线. y1+y2 2y MF x-2 B.椭圆 D.直线

7.长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x,y 轴上移动,动点 C(x,y)满足 → → AC=2CB,则动点 C 的轨迹方程________. 答案 解析 1 x2+4y2=1 → → 设 A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,又 C(x,y),则由AC=2CB,得(x

-a,y)=2(-x,b-y),

?a=3x, ? ?x-a=-2x, 即? 即? 3 ?y=2b-2y, ?b=2y, ?

1 代入 a2+b2=9,并整理,得 x2+4y2=1.

8. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与其交于 M、 两点, N 作平行四边形 MONP, 则点 P 的轨迹方程为________. 答案 解析 y2=4(x-2) → 设直线方程为 y=k(x-1),点 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),由OM

→ =NP,得(x1,y1)=(x-x2,y-y2). 得 x1+x2=x,y1+y2=y. ?y=k?x-1?, 2k2+4 由? 2 联立得 x=x1+x2= k2 . ?y =4x, 4k y=y1+y2= k2 ,消去参数 k,得 y2=4(x-2). 9.已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点 A 的轨迹方程为________. 答案 解析 (x-10)2+y2=36(y≠0) 方法一 x y 直接法.设 A(x,y),y≠0,则 D(2,2).

∴|CD|=

x y2 ?2-5?2+ 4 =3.

化简得(x-10)2+y2=36,由于 A、B、C 三点构成三角形,所以 A 不能落在 x 轴上,即 y≠0. 方法二

定义法.如右图,设 A(x,y),D 为 AB 的中点,过 A 作 AE∥CD 交 x 轴于 E.∵|CD|=3,∴|AE|=6,则 E(10,0),∴A 到 E 的距离为常数 6.∴A 的轨迹为以 E 为圆心,6 为半径的圆,即(x-10)2+y2=36,又 A、B、C 不共线,故 A 点纵 坐标 y≠0,故 A 点轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).

x2 y2 10.(2013· 衡水调研)已知抛物线 y2=nx(n<0)与双曲线 8 -m =1 有一个相同 的焦点,则动点(m,n)的轨迹方程是________. 答案 解析 n2=16(m+8)(n<0) n n 抛物线的焦点为(4,0),在双曲线中,8+m=c2=(4)2,n<0,即 n2

=16(m+8)(n<0). 11.

如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(-2,0),直角顶点 B(0,-2 2),顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程. 解析 (1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,

2 2 ∴kCB= 2 .∴BC:y= 2 x-2 2. (2)在上式中,令 y=0,得 C(4,0). ∴圆心 M(1,0). 又∵|AM|=3,∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵P(-1,0),M(1,0), ∵圆 N 过点 P(-1,0),∴PN 是该圆的半径. 又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴|MN|=3-|PN|,即 |MN|+|PN|=3. ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆. 3 ∴a=2,c=1,b= a2-c2= 4 4 ∴轨迹方程为9x2+5y2=1. 5 4.

12.已知动点 P(x,y)与两定点 M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)讨论轨迹 C 的形状. 解析 (1)由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零,所以 kPM·PN= k

y y · =λ, x+1 x-1 y2 整理得 x - λ =1(λ≠0,x≠± 1).
2

(2)①当 λ>0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点); ②当-1<λ<0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两 个端点); ③当 λ=-1 时, 轨迹 C 为以原点为圆心, 为半径的圆除去点(-1,0), 1 (1,0); ④当 λ<-1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两 个端点). 13.P,Q 是抛物线 C:y=x2 上两个动点,直线 l1,l2 分别是 C 在点 P,点 1? ? Q 处的切线,l1∩l2=M,直线 PQ 恒过定点?0,4?,求点 M 的轨迹方程. ? ? 解析 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有直线 MP 的方程 y-x2=2x1(x-x1), 1

2 直线 MQ 的直线方程 y-x2=2x2(x-x2).

?x1+x2 ? 交点坐标 M? ,x1x2?. ? 2 ? 直线 PQ 的方程为
2 2 2 x1-x2 y-x1= (x-x1), x1-x2

即 y=(x1+x2)x-x1x2. 1 所以 x1x2=-4. 1 所以,M 的轨迹方程为 y=-4. 14.已知 A、B 的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线 AM 与 BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积为-2. (1)求动点 M 的轨迹方程;

→ → (2)若过点 N(1,1)的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C、D 两点,且OC· =0,求 OD 直线 l 的方程. 解析 (1)设点 M 的坐标为(x,y),则依题意有:kAM·BM=-2,即 k y-0 y-0 · x+1 x-1

y2 =-2,化简得 x2+ 2 =1. y2 ∴动点 M 的轨迹方程为 x2+ 2 =1(x≠± 1). (2)依题意易知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),C(x1,y1),D(x2,y2),
2 2 ?2x +y -2=0, ? 则由 消去 y 得 2x2+[kx+(1-k)]2-2=0. ?y-1=k?x-1?,

化简得(2+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0. 2k?k-1? ?1-k?2-2 ∴x1+x2= ,x1x2= . 2+k2 2+k2 ∴y1y2=[kx1+(1-k)]· 2+(1-k)] [kx =k2x1x2+k(1-k)(x1+x2)+(1-k)2. → → ∵OC· =0, OD ∴x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(1-k)(x1+x2)+(1-k)2 ?k2+1??k2-2k-1? ?k-k2??2k2-2k? = + +(1-k)2 2+k2 2+k2 k2-6k+1 = =0. 2+k2 ∴k2-6k+1=0,解得 k=3± 2. 2 ∴直线 l 的方程为 y=(3+2 2)x-2-2 2或 y=(3-2 2)x+2 2-2.

1.(2010· 重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直 线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A.直线 C.抛物线 B.椭圆 D.双曲线 ( )

答案 解析

D

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立如图所示的空间直角坐标系,易知直线 AD 与 D1C1 是异面垂直的两条直线,过直线 AD 与 D1C1 平行的平面是面 ABCD, 设在平面 ABCD 内动点 M(x,y)满足到直线 AD 与 D1C1 的距离相等,作 MM1⊥ AD 于 M1,MN⊥CD 于 N,NP⊥D1C1 于 P,连接 MP,易知 MN⊥平面 CDD1C1, MP⊥D1C,则有|MM1|=|MP|,|y|2=x2+a2(其中 a 是异面直线 AD 与 D1C1 间的距 离),即有 y2-x2=a2,因此动点 M 的轨迹是双曲线. 2.方程 x2+xy+x=0 表示的曲线是 A.一个点 C.两条直线 答案 解析 C 方程变为 x(x+y+1)=0,∴x=0 或 x+y+1=0. B.一条直线 D.一个点和一条直线 ( )

故方程表示直线 x=0 或直线 x+y+1=0. 3.设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角 顶点作等腰 Rt△OPQ,则动点 Q 的轨迹 A.圆 C.抛物线 B.两条平行线 D.双曲线 ( )

答案 解析

B 设 Q(x,y),P(1,y0),

由几何性质有 Rt△QMO∽Rt△ONP, ∴|QM|=|ON|,|y|=1.

∴动点 Q 的轨迹为两条平行线. 故 B 正确. x2 y2 4.F1、F2 为椭圆 4 + 3 =1 的左右两焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 的外角平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是 A.直线 C.椭圆 答案 B B.圆 D.双曲线 ( )

解析

如图,由椭圆定义知

|AF1|+|AF2|=|AF2|+|AM|=2a=|F2M|. 又 D 为 F1M 的中点,O 为 F1F2 中点, 1 ∴|OD|= |F2M|=a. 2 ∴点 D 的轨迹是圆. π 5.自圆外一点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线 PM 和 PN,若∠MPN=2,则 动点 P 的轨迹方程是 A.x2+y2=4 x2 2 C. 4 +y =1 答案 解析 B 由题意, OMPN 构成正方形, 得 |OP|= 2, P 的轨迹为一半径为 2 点 B.x2+y2=2 x2 2 D. 2 +y =1 ( )

的圆,圆心在原点.

6. (2013· 东北四校联考)以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为 x2+y2=4 和 x2+y2=1,过原点 O 的射线交大圆于点 P,交小圆于点 Q,作 PM⊥x 轴于 → → → → M.若PN=λPM,QN· =0,求点 N 的轨迹方程. PM 解析 → → → → 设 P(2cosα, 2sinα), Q(cosα, sinα), 由PN=λPM知 N 在 PM 上, 由QN· PM

?x=2cosα, x2 =0 知 QN⊥PM,∴N(2cosα,sinα),即? ∴ 4 +y2=1(x≠0). ?y=sinα, 7. (2013· 深圳模拟)已知点 F 是椭圆 x2 +y2=1(a>0)的右焦点, M(m,0), 点 1+a2

→ → → → → N(0, n)分别是 x 轴, 轴上的动点, y 且满足MN· =0.若点 P 满足OM=2ON+PO. NF (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹 C 交于 A、B 两点,直线 OA、OB 与 →→ 直线 x=-a 分别交于点 S、T(O 为坐标原点),试判断FS· 是否为定值?若是, FT 求出这个定值;若不是,请说明理由. 解析 -n). → → → ∵MN=(-m,n),∴由MN· =0,得 n2+am=0. NF → → → 设点 P 的坐标为(x,y),由OM=2ON+PO, 有(m,0)=2(0,n)+(-x,-y), ?m=-x, ? 则? y ?n=2, ? 为 y2=4ax. y2 y2 1 2 (2)设直线 AB 的方程为 x=ty+a,A(4a,y1),B(4a,y2), 4a 4a 则 lOA:y= y x,lOB:y= y x.
1 2

→ x2 2 (1)∵椭圆 2+y =1(a>0)的右焦点 F 的坐标为(a,0),∴NF=(a, 1+a

将其代入 n2+am=0,得 y2=4ax,即点 P 的轨迹 C 的方程

? 4a ?y= x, y1 由? ?x=-a, ?

4a2 4a2 得 S(-a,- y ),同理得 T(-a,- y ).
1 2

→ → → 4a2 → 4a2 16a4 ∴FS=(-2a,- y ),FT=(-2a,- y ),则FS· =4a2+ y y .② FT
1 2 1 2

?x=ty+a, 由? 2 得 y2-4aty-4a2=0,∴y1y2=-4a2. ?y =4ax, →→ 16a4 2 则FS· =4a + FT =4a2-4a2=0. ?-4a2? →→ 因此FS· 的值是定值,且定值为 0. FT 8.已知定点 A(0,-1),点 B 在圆 F:x2+(y-1)2=16 上运动,F 为圆心, 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; 若曲线 Q: 2-2ax+y2+a2=1 被轨迹 E 包围 x 着,求实数 a 的最小值; (2)已知 M(-2,0),N(2,0),动点 G 在圆 F 内,且满足|MG|· |NG|=|OG|2(O 为 → → 坐标原点),求MG· 的取值范围. NG 解析 (1)由题意得|PA|=|PB|.

∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2. ∴动点 P 的轨迹 E 是以 A,F 为焦点的椭圆. y2 x2 设该椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 则 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3. y2 x2 ∴动点 P 的轨迹 E 的方程为 4 + 3 =1. ∵x2-2ax+y2+a2=1 即为(x-a)2+y2=1, ∴曲线 Q 是圆心为(a,0),半径为 1 的圆. ∵轨迹 E 为焦点在 y 轴上的椭圆,其左,右顶点分别为(- 3,0),( 3,0), 且曲线 Q 被轨迹 E 包围着, ∴- 3+1≤a≤ 3-1. ∴a 的最小值为- 3+1. (2)设 G(x,y),由|MG|· |NG|=|OG|2,得

?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2, 化简得 x2-y2=2,即 x2=y2+2. → → ∴MG· =(x+2,y)· NG (x-2,y)=x2+y2-4=2(y2-1). ∵点 G 在圆 F:x2+(y-1)2=16 内,∴x2+(y-1)2<16. ∴y2+2+(y-1)2<16, 14+3 3 即 2(y2-y)<13,解得 0≤y2< , 2 则-2≤2(y2-1)<12+3 3, → → ∴MG· 的取值范围为[-2,12+3 3). NG


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