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甘肃省民乐一中2014-2015学年高二第二学期第一次月考数学(理)试题


民乐一中 2014-2015 学年第二学期高二年级第一次月考 数学 试卷(理科)
命题人: 黄海英 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数

1 ? 2i 的共轭复数为 ( 3 ? 4i
?
B.

)

?
A.

1 2

? i 5 5 ,

1 2 ? i 5 5 ,

1 2 ? i C. 5 5

1 2 ? i D. 5 5

f ?( x0 ) ? 2 , 则 lim k ?0 2.若

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? 2k
1 C. 2

(

)

A.2

B.1

D. 无法确定

3.在 100 件产品中,有 3 件是次品,现从中任意抽取 5 件,其中至少有 2 件次品的取法种数 为( ) A.
2 3 C3 C97

B.

2 3 3 2 C3 C97 + C3 C97

C.

5 4 C100 - C1 3C97

D.

5 5 C100 - C97

4.在数学归纳法的递推性证明中由假设 n ? k 时成立,推导 n ? k ? 1 时成立时

f ( n) ? 1 ?

1 1 1 ? ??? n 2 3 2 ? 1 增加的项数是(
B. 2 ? 1
k

) D. 2
k

A.1

C. 2 ? 1
k

5.5 个人排成一排,其中甲与乙不相邻,而丙与丁必须相邻,则不同的排法种数为( A.72 B.48 C.24 D.60

)

1? ? ?x? ? x ? 展开式中的常数项为( 6. ?
(A)第 5 项 7. 设 (B)第 6 项

10

) (C)第 5 项或第 6 项 (D)不存在 ,则

?1 ? x ? x

2

? x3

?

4

? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a12 x12
C. ? 1 D.1

a0 ?

(

)

A.256

B.0

8.假设洗小水壶需一分钟,烧开水需 15 分钟,洗茶杯需 3 分钟,取放茶叶需 2 分钟,泡茶 需 1 分钟则上述“喝茶问题”中至少需多少分钟才可以喝上茶? ( ) A . 16 B. 17 C. 18 D. 19

( 9.定积分 ?
0

1

2 x ? x 2 ? x)dx

等于(



? ?2
A 10.

4



? ?1 2



? ?1 4



? ?1 2


在(1 ? x)5 ? (1 ? x)6 ? (1 ? x)7 ? (1 ? x)8 的展开式中,含 x 3 的项的系数(
B. 121
2

A. 74

C. -74

D. -121

1 11.在曲线 y ? x ?x ? 0? 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 12 ,则这
个切线方程是. ( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-1 D.y=2x+1

3 2 12. 已知函数 f (x ) ? x ? px ? qx 的图像与 x 轴切于点(1,0) ,则 f ( x ) 的极值为( )

4 A.极大值为 27 ,极小值为 0 4 C.极小值为 27 ,极大值为 0 ?
13. 若 (a ? 2i)i 14.

4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 D. 极大值为 27 ,极小值为 0 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? b ? i, ,其中 a 、 b ? R , i 是虚数单位,则 a 2 ? b 2 ? ____

?

0

?1

(x2+2 x+1)dx=_________________
n

1 ? (n ? N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式 15. 二项式 ? ?2 x ? 4 ? x? ? 有理项的项数是 。 16、如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两 个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂 色方法共有__________种(用数字作答) .

三、解答题: (17 题 10 分,18~22 每题 12 分,共 70 分) 17. (10 分)如图,阴影部分区域是由函数

y ? cos x 图象,

直线 y ? 1, x ? ? 围成,求这阴影部分区域面积。

y
y=1 x=?

x

f?x? = cos?x?
第 17 题图

n 3 18.(12 分) 已知 ( x ? x ) 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数) .
3 4 n 2 (2)求 (1 ? x) ? (1 ? x) ? ?? (1 ? x) 展开式中 x 项的系数.

2 19. (12 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) .

3 ?(?1) ? 0 f y ? f ( x ) (1) 若 ,求函数 在[- 2 ,1]上的极大值和极小值;
(2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围.

20. 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数? (3)能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数?

21. (12 分)数列

?an ? 满足 S n ? 2n ? a( n n ? N *) 。

(Ⅰ)计算

a1,a2,a3,a4 ; an ,并用数学归纳法证明。
f ( x) ? ax x ? b 在 x ? 1 处取得极值 2.
2

(Ⅱ)猜想通项公式

22. (12 分)已知函数

⑴ 求函数 f ( x) 的解析式; ⑵ 若函数 f ( x) 在区间 (m, 2m ? 1) 上是单调函数,求实数 m 的取值范围;

高二数学理科试卷答案
一,选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. B 2. B 3. B 4. D 5. C 6. B 7. D 8. B 9. A 10. D 11. C A 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 5 14. 1/3 15. 3 16.630 三.简答题(17 题 10 分,18---22 题每小题 12 分,共 70 分) 17. 解法一:所求图形面积为 12.

?

?

0

(1 ? cos x)dx ----------(5 分)

? ( x ? sin x) -----------------(9 分) 0

?

? ? ------------------------------(10 分) 解法二:所求面积是以长为 ? ,宽为了 2 的矩形的面积的一半,所以所求的面积 为? .
0 2 18 解: (1) Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 ? 512 ? 29

∴ n ? 1 ? 9 , n ? 10
r r Tr ?1 ? C10 ( x )10 ? r (?3 x ) r ? (?1) r C10 x 10 ? r r ? 2 3 r ? (?1) r C10 x 5? r 6

( r =0, 1, ?,10 )

r ∵ 5 ? ? Z,∴ r ? 0 ,6 6
0 5 6 4 有理项为 T1 ? C10 x ? x5 , T7 ? C10 x ? 210x4 ?????????? 6 分 r r ?1 r r ?1 r r (2)∵ Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ,∴ Cn ?1 ? Cn 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x 2 项的系数为 C3 ? C4 ? ? ? C10 ? (C4 ? C3 ) ? (C5 ? C4 ) ? ? ? (C11 ? C10 ) 3 3 ? C11 ? C3 ? 164 ????????12 分.

19. .解:(Ⅰ)∵ f ?(?1) ? 0 ,∴ 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 .
2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) .

1 3

? 2分

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 3 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 3

? 4分

3 1 1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (? , ? 1) , (? , 1) ;单调减区间为 (?1, ? ). 2 3 3 1 1 50 f ( x) 在 x ? ?1 取得极大值为 f (?1) ? 2 ; f ( x) 在 x ? ? 取得极小值为 f (? ) ? . 3 3 27
8分 (Ⅱ) ∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 . ∵函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?( x) ? 0 有实数解. ? 10 分 ∴ D ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ a 2 ? 3 ,即 a ? ? 3 或 a ? 因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? 3 ] ? [ 3, ? ?) .

?

3.
? 12 分

20. :(1)符合要求的四位偶数可分为三类:
3 第一类:0 在个位时有 A5 个;

1 第二类:2 在个位时,首位从 1,3,4,5 中选定 1 个(有 A4 种),十位和百位从余下的数字中

2 1 2 · A4 选(有 A4 种) ,于是有 A4 个;

1 2 · A4 第三类:4 在个位时,与第二类同理,也有 A4 个.

3 1 2 1 2 ? A4 · A4 ? A4 · A4 ? 156 个. 由分类加法计数原理知,共有四位偶数: A5

(2)符合要求的五位数中 5 的倍数的数可分为两类:个位数上的数字是 0 的五位数有 A54 个;
1 3 1 3 · A4 · A4 ? 216 个位数上的数字是 5 的五位数有 A4 个.故满足条件的五位数的个数共有 A54 ? A4

个. (3)符合要求的比 1325 大的四位数可分为三类:
1 3 第一类:形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共 A4 个; · A5

1 2 第二类:形如 14□□,15□□,共有 A2 个; · A4

1 1 第三类:形如 134□,135□,共有 A2 个; · A3

由分类加法计数原理知,无重复数字且比 1325 大的四位数共有:
1 3 1 2 1 1 A4 · A5 ? A2 · A4 ? A2 · A3 ? 270 个.

3 7 15 ,a 2 ? ,a3 ? ,a 4 ? ???????4 分 21.解: (Ⅰ) a1 ? 1 2 4 8 n 2 ?1 (Ⅱ)猜想 a n ? n ?1 ,???????6 分 2
证明: ① 当 n=1 时,a1=1 猜想显然成立;?????????7 分 ② 假设当 n=k (n ? 1且n ? N*) )时,猜想成立,

2k ? 1 , S k ? a1 ? a 2 ? ... ? a k ? 2k ? a k , 2 k ?1 那么, n ? k ? 1 , 时,ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? 2(k ? 1) ? ak ?1 ? (2k ? ak)
即 ak ?

2k ? 1 k ?1 2 ? ak 2 k ?1 ? 1 2 ? a k ?1 ? ? ? , 2 2 2k ?当n ? k ? 1时猜想成立; ?????????11 分 * 综合①②,当 n ? N 时猜想成立。?????????12 分 4x 22.(1) f ( x) ? 2 (2) ? km ? 0或m ? 1 x ?1 a=4, b=1 2?

(1)∵ f ( x) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) a(? x 2 ? b) ? ( x 2 ? b) 2 ( x 2 ? b) 2

2分

且 f(x)在 x=1 处取得极值 2

? a(b ? 1) ?0 ?f ' (1) ? 0 ? ? (b ? 1) 2 ∴? 即? f ( 1 ) ? 2 ? ? a ?2 ? ?b ? 1
(2)∵ f ' ( x) ?

∴a=4, b=1 即 f ( x) ?

4x x ?1
2

6分

? 4( x ? 1)(x ? 1) 且x ? R ( x 2 ? 1) 2

∴由 f ' ( x) ? 0 得-1<x<1 8分

∴f(x)在【-1,1】上单调递增,在(-∞,1)与(1,+∞)单调递减 ①当 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,则有

? m ? ?1 ? ?2 m ? 1 ? 1 ?2 m ? 1 ? m ?

∴-1<m≤0

②当 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减,则有

?2m ? 1 ? ?1 ? ?2m ? 1 ? m

?m ? 1 ∴? ?2m ? 1 ? m

即 m≥1 12 分

∴综上知,-1<m≤0 或 m≥1


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