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北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(理科)


北京市重点中学 2014-2015 学年高二下学期期中数学试 卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的.) 1.已知复数 z 满足:zi=2+i(i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A.2i B.﹣2i C .2 D.﹣2 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解:由 zi=2+i,得 ,

∴z 的虚部是﹣2. 故选:D. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2.图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书,第二层有 5 本不同的语文书,第三 层有 8 本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( )种不同的取法. A.120 B.16 C.64 D.39 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题;排列组合. 分析:利用分类加法原理,即可得出结论. 解答: 解:由于书架上有 3+5+8=16 本书,则从中任取一本书,共有 16 种不同的取法. 故选 B. 点评:本题先确定拿哪种类型的书,考查分类计数原理的应用,考查两种原理的区别.

3.已知曲线 y= A.3

﹣3lnx+1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( B.2 C .1 D.

)

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析:求出函数的定义域和导数,利用导数是切线的斜率进行求解即可. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) , 则函数的导数 f′(x)= ﹣ ,

由 f′(x)= ﹣ = , 即 x ﹣x﹣6=0, 解得 x=3 或 x=﹣2(舍) , 故切点的横坐标为 3, 故选:A. 点评:本题主要考查导数的几何意义的应用,求函数的导数,解导数方程即可,注意定义域 的限制.
2

4.由直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( A.2ln2 B.2ln2﹣1 C. ln2 D.

)

考点:定积分. 专题:导数的综合应用. 分析: 利用定积分的几何意义, 首先利用定积分表示出图形的面积, 求出原函数, 计算即可. 解答: 解:由题意,直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影 部分,

面积为

=lny

=ln2﹣ln =2ln2;

故选 A. 点评:本题考查定积分的运用,利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积,考查了学生的计 算能力,属于基础题. 5.以下说法正确的是( ) A.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 考点:分析法和综合法. 专题:证明题.

分析:利用综合法证题思路(执因索果)与分析法的证题思路(执果索因)及充分条件与必 要条件的概念即可得到答案. 解答: 解:设已知条件为 P,所证结论为 Q, 综合法的证题思路为执因索果,即 P?Q1?Q2?…?Qn?Q, ∴在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件,故 A 错误,B 正 确; 分析法的证题思路是执果索因,即 Q?Qn?…?Q2?Q1?P 显然,在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件,故 C 错误; 在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的充分条件. 故选 B. 点评:本题考查分析法与综合法的应用,考查充分条件与必要条件的概念,属于中档题. 6.设函数 f(x)=xlnx,则 f(x)的极小值点为( A.x=e B.x=ln2 C.x=e
2

) D.x=

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数 f(x)的极小值 点. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数,可得 f′(x)=1+lnx 令 f′(x)=1+lnx=0,可得 x= ∴0<x< 时,f′(x)<0,x> 时,f′(x)>0 ∴x= 时,函数取得极小值, 故选:D. 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极小值点,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 7.已知 2 ×1=2,2 ×1×3=3×4,2 ×1×3×5=4×5×6,…,以此类推,第 5 个等式为( 4 5 A.2 ×1×3×5×7=5×6×7×8 B.2 ×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9 4 5 C.2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D.2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
1 2 3

)

考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:根据已知可以得出规律,即可得出结论. 1 2 3 解答: 解:∵2 ×1=2,2 ×1×3=3×4,2 ×1×3×5=4×5×6,…, 5 ∴第 5 个等式为 2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 故选:D 点评:此题主要考查了数字变化规律,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并 应用发现的规律解决问题.对于等式,要注意分别发现:等式的左边和右边的规律.

8.在复平面内,复数 3﹣4i,i(2+i)对应的点分别为 A、B,则线段 AB 的中点 C 对应的 复数为( ) A.﹣2+2i B.2﹣2i C.﹣1+i D.1﹣i 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的乘法运算化简 i(2+i) ,求出 A,B 的坐标,利用中点坐标公式求 得 C 的坐标,则答案可求. 解答: 解:∵i(2+i)=﹣1+2i, ∴复数 3﹣4i,i(2+i)对应的点分别为 A、B 的坐标分别为:A(3,﹣4) ,B(﹣1,2) . ∴线段 AB 的中点 C 的坐标为(1,﹣1) . 则线段 AB 的中点 C 对应的复数为 1﹣i. 故选:D. 点评:本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,考查了复数代数形式的乘法运算,是基 础题.
2

9. 已知函数 f (x) = x +cosx,f′ (x)是函数 f (x) 的导函数, 则 f′(x) 的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:由于 f(x)=x+cosx,得 f′(x)= x﹣sinx,由奇函数的定义得函数 f′(x)为奇函数, 其图象关于原点对称,排除 BD,取 x= 只有 A 适合. 解答: 解:由于 f(x)=x+cosx, ∴f′(x)= x﹣sinx, ∴f′(﹣x)=﹣f′(x) ,故 f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD, 又当 x= 时,f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除 C,只有 A 适合, 代入 f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除 C,

故选:A.

点评: 本题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能 力,同时考查导数的计算,属于中档题. 10.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f′(x) ,f′(x)在区间(a,b)上的导函 数为 f″(x) ,若在区间(a,b)上 f″(x)>0,则称函数 f(x)在区间(a,b)上为“凹函 数”,已知 f(x)= 为( ) ) B.[ ,5] C. (﹣∞,﹣3) D. (﹣∞,5] x﹣
5

mx ﹣2x 在区间(1,3)上为“凹函数”,则实数 m 的取值范围

4

2

A. (﹣∞,

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:本题根据二阶导数的定义及函数特征,研究原函数的二阶导数,求出 m 的取值范围, 得到本题结论. 解答: 解:∵f(x)=
4 3

x﹣

5

mx ﹣2x ,

4

2

∴f′(x)= x ﹣ mx ﹣4x, ∴f″(x)=x ﹣mx ﹣4. ∵f(x)= x﹣
5 3 2

mx ﹣2x 在区间(1,3)上为“凹函数”,

4

2

∴f″(x)>0. 3 2 ∴x ﹣mx ﹣4>0,x∈(1,3) . ∴ ∵ ∴ , 在(1,3)上单调递增, 在(1,3)上满足: >1﹣4=﹣3.

∴m≤﹣3. 故答案为:C. 点评:本题考查了二阶导数和恒成立问题,本题难度不大,属于基础题. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.) 11.函数 f(x)=x +ax﹣2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是[﹣3,+∞) . 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题. 分析:求出 f′(x) ,因为要求函数的增区间,所以令 f′(x)大于 0,然后讨论 a 的正负分别 求出 x 的范围,根据函数在区间(1,+∞)上是增函数列出关于 a 的不等式,求出 a 的范围 即可. 解答: 解:f′(x)=3x +a,令 f′(x)=3x +a>0 即 x >﹣ ,
2 2 2 3

当 a≥0,x∈R;当 a<0 时,解得 x>

,或 x<﹣ ≤1,



因为函数在区间(1,+∞)内是增函数,所以

解得 a≥﹣3,所以实数 a 的取值范围是[﹣3,+∞) 故答案为:[﹣3,+∞) 点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系, 即当导函数大于 0 时原函 数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减. 会利用不等式解集的端点大小列出不等式 求字母的取值范围,是一道综合题.

12.设集合 A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程 10 个.

+

=1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆有

考点:椭圆的标准方程. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据 a<b,对 A 中元素进行分析可得到答案. 解答: 解:焦点位于 y 轴上的椭圆则,a<b, 当 b=2 时,a=1; 当 b=3 时,a=1,2; 当 b=4 时,a=1,2,3; 当 b=5 时,a=1,2,3,4; 共 10 个 故答案为:10 点评:本题主要考查椭圆的标准形式,此题的关键是根据条件得出 a<b.属基础题.

13.设

,则





考点:微积分基本定理. 专题:计算题. 分析:运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可. 解答: 解:

=

+

=﹣cosx

+x

=

. .

故答案为:

点评:本题主要考查了定积分,运用微积分基本定理计算定积分.属于基础题. 14.已知复数 z=x+yi(x,y∈R,x≠0)且|z﹣2|=

,则 的范围为



考点:复数求模. 专题:计算题. 分析:利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出. 解答: 解:∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|, ∴ ∴(x﹣2) +y =3. 设 ,则 y=kx.
2 2 2 2





联立

,化为(1+k )x ﹣4x+1=0.

∵直线 y=kx 与圆有公共点, ∴△=16﹣4(1+k )≥0,解得 ∴则 的范围为 .
2



故答案为 . 点评: 熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、 直线与圆有公共点的充要条件是解题的关 键. 15.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按 2 2 2 图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O﹣LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧 面面积,S4 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .

考点:类比推理. 专题:计算题;推理和证明. 分析:从平面图形到空间图形,同时模型不变. 解答: 解:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想: 故答案为: . .

点评:本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力.解题的关键是掌握好类比 推理的定义. 16.对定义在区间 D 上的函数 f(x)和 g(x) ,如果对任意 x∈D,都有|f(x)﹣g(x)|≤1 成立,那么称函数 f(x)在区间 D 上可被 G(X)替代,D 称为“替代区间”.给出以下命题: ①f(x)=x +1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x)=x ②f(x)=x 可被 g(x)=1﹣
2 2 2

替代;

替代的一个“替代区间”为[ , ];

③f(x)=lnx 在区间[1,e]可被 g(x)=x﹣b 替代,则 e﹣2≤b≤2; ④f(x)=lg(ax +x) (x∈D1) ,g(x)=sinx(x∈D2) ,则存在实数 a(a≠0) ,使得 f(x)在 区间 D1∩D2 上被 g(x)替代; 其中真命题的有①②③. 考点:函数的值域. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:命题①直接由替代的定义得出为真命题;命题②|f(x)﹣g(x)|= 据导数判断函数 x+ 在区间 ,根

上的最值,从而可说明|f(x)﹣g(x)|<1,从而

可判断该命题正确;命题③,根据替代的定义,|f(x)﹣g(x)|≤1 在[1,e]上恒成立,根 据导数判断函数 lnx﹣x+b 在[1,e]上的单调性,根据单调性即可求出函数 lnx﹣x+b 的值域, 该值域应为区间[﹣1,1]的子集,从而可得出 b 的取值范围,从而判断该命题的正误;命题 ④可先找出一个 D1∩D2 区间,可以在此区间找到一个 x 使对任意 a|f(x)﹣g(x)|>1, 从而便可判断出该命题错误,这样便可最后找出所有的真命题. 解答: 解:①∵|f(x)﹣g(x)|= <1; f(x)可被 g(x)替代; ∴该命题为真命题; ②|f(x)﹣g(x)|= ;

设 h(x)=

,h′(x)= 时,h′(x)<0,x∈(

; ]时,h′(x)>0;

∴ ∴

是 h(x)的最小值,又 h( )= ,h( )= ;

∴|f(x)﹣g(x)|<1; ∴f(x)可被 g(x)替代的一个替代区间为[ ];

∴该命题是真命题; ③由题意知:|f(x)﹣g(x)|=|lnx﹣x+b|≤1 在 x∈[1,e]上恒成立; 设 h(x)=lnx﹣x+b,则 h′(x)= ∵x∈[1,e]; ∴h′(x)≤0; ∴h(x)在[1,e]上单调递减; h(1)=b﹣1,h(e)=1﹣e+b; 1﹣e+b≤h(x)≤b﹣1; 又﹣1≤h(x)≤1; ∴ ; ;

∴e﹣2≤b≤2; ∴该命题为真命题; ④1)若 a>0,解 ax +x>0 得,x
2

,或 x>0;

可取 D1=(0,+∞) ,D2=R; ∴D1∩D2=(0,+∞) ; 2 可取 x=π,则|f(x)﹣g(x)|=aπ +π>1; ∴不存在实数 a(a>0) ,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代; 2)若 a<0,解 ax +x>0 得,x<0,或 x
2



∴可取 D1=(﹣∞,0) ,D2=R; ∴D1∩D2=(﹣∞,0) ; 2 取 x=﹣π,则|f(﹣π)﹣g(﹣π)|=|aπ ﹣π|>1; ∴不存在实数 a(a<0) ,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代; 综上得,不存在实数 a(a≠0) ,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代; ∴该命题为假命题; ∴真命题的有:①②③. 故答案为:①②③. 点评:考查对替代定义的理解,根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方 法,以及根据对数的真数大于 0 求函数定义域的方法,解一元二次不等式,在说明 f(x) 不能被 g(x)替代的举反例即可.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 f(x)=x +ax +2,x=2 是 f(x)的一个极值点,求: (1)实数 a 的值; (2)f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值和最小值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析: (1)由 x=﹣2 是 f(x)的一个极值点,得 f′(2)=0,解出可得; (2)由(1)可求 f(x) ,f'(x) ,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2.当 x 变化时 f′(x) ,f(x) 的变化情况列成表格,由极值、端点处函数值可得函数的最值; 解答: 解: (1)∵f(x)在 x=2 处有极值,∴f′(2)=0. ∵f′(x)=3x +2ax,∴3×4+4a=0,∴a=﹣3. 经检验 a=﹣3 时 x=2 是 f(x)的一个极值点, 故 a=﹣3; 3 2 2 (2)由(1)知 a=﹣3,∴f(x)=x ﹣3x +2,f′(x)=3x ﹣6x. 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2.当 x 变化时 f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x ﹣1 (﹣1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ﹣2 ?↑ 2 ?↓ ﹣2 ↑? 2 从上表可知 f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值是 2,最小值是﹣2. 点评:本题考查利用导数研究函数的极值、最值,属中档题,正确理解导数与函数的关系是 解题关键.
2 2 2 2 3 2

18.已知 a,b,c 均为实数,且 a=x ﹣2y+ c 中至少有一个大于 0.

,b=y ﹣2z+

,c=z ﹣2x+

,求证:a,b,

考点:反证法与放缩法. 专题:证明题. 分析:用反证法,假设 a,b,c 都小于或等于 0,推出 a+b+c 的值大于 0,出现矛盾,从而 得到假设不正确,命题得证. 2 2 解答: 解:反证法:假设 a,b,c 都小于或等于 0,则有 a+b+c=(x﹣1) +(y﹣1) + 2 (z﹣1) +π﹣3≤0, 而该式显然大于 0,矛盾,故假设不正确,故 a,b,c 中至少有一个大于 0. 点评:本题考查用反证法证明数学命题,推出矛盾,是解题的关键和难点. 19.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 F(x)=f(x)﹣ 在[1,2]上有且仅有一个零点,求 a 的取值范围.
x

考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题:导数的综合应用.

分析: (1)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,得到函数的单调区间; (2)分离参数得 ,令 (x∈[1,2]) ,通过求导得

到函数 g(x)的单调性,从而求出 g(x)的最大值、最小值,进而求出 a 的范围. x 解答: 解: (1)f′(x)=e ﹣a, 当 a≤0 时,f′(x)≥0,则 f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增, 当 a>0 时,f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,f(x)在(lna,+∞)上单调递增. (2)由 ,得 ,



(x∈[1,2]) ,

则 令 ,h′(x)=x(e ﹣1) ,
x

当 1≤x≤2 时,h′(x)>0,∴h(x)在[1,2]上单调递增, ∴ ,g′(x)>0,∴g(x)在[1,2]上单调递增,

∴ , ∴当

在[1,2]上的最小值为

,最大值为

时,函数

在[1,2]上有且仅有一个

零点. 点评:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用, (2)中分离出 a,求出相关 函数的单调性是解答本题的关键,本题是一道中档题.

20.已知数列{an}的各项均为正整数,对于任意 n∈N ,都有 2+ 立,且 a2=4. (1)求 a1,a3 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并给出证明.

*



<2+



考点:数学归纳法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)直接利用已知条件,通过 n=1,直接求 a1,n=2,求解 a3 的值;

(2)通过数列的前 3 项,猜想数列{an}的通项公式,然后利用数学归纳法的证明步骤证明 猜想即可.

解答: 解: (1)因为

,a2=4

当 n=1 时,由 解得 当 n=2 时,由 解得 8<a3<10,所以 a3=9. … (2)由 a1=1,a2=4,a3=9,猜想: 下面用数学归纳法证明. 1°当 n=1,2,3 时,由(1)知 2°假设 n=k(k≥3)成立,则 由条件得 , …

,即有 .因为 a1 为正整数,故 a1=1. … ,



均成立.…



所以

,…

所以



因为 k≥3,







,所以 也成立.
*



即 n=k+1 时,

由 1°,2°知,对任意 n∈N ,

. …

点评:本题考查递推数列的应用,数学归纳法的应用,考查分析问题解决问题的能力.


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