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高中数学 (3.3.1 几何概型)教案 新人教A版必修3




题:3.3.1

几何概型

教学目标: 1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念; 掌握几何概型的 概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 (面积或体积 ) ,学会应用数学知识来解决 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积 )

问题

,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. 2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型 与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率 计算,培养学生从有限向无限探究的意识. 教学重点: 理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率. 教学难点: 等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 教学方法: 讲授法 课时安排: 1 课时 教学过程: 一、导入新课: 1、复习古典概型的两个基本特点: (1)所有的基本事件只有有限个; (2)每个基本事 件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢? 2、 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试 验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子 ,石子可能落在方格中的任何一 点??这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型. 二、新课讲授: 提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率? (2)试验 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大? 试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金 色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少? (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动:学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引 导学生比较概括. 讨论结果:(1)硬币落地后会出现四种结果:分别记作(正,正) 、 (正,反) 、 (反,正) 、 (反, 反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=1/4.两次
3.3.1 几何概型第 页 1

出现相同面的概率为

1 1 1 ? ? . 4 4 2

(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点. 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为 122 cm 的大圆内的任意一点. 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然 不能用古典概型的方法求解.

考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分,于 是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 于是事件 A 发生的概率 P(A)=

1 , 3

1 . 3

第 二 个 问 题 , 如 右 图 , 记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B, 由 于 中 靶 心 随 机 地 落 在 面 积 为

1 1 2 2 2 2 ×π ×122 cm 的大圆内,而当中靶点落在面积为 ×π ×12.2 cm 的黄心内时,事件 B 4 4 1 ? ? ? 12.2 2 发生,于是事件 B 发生的概率 P(B)= 4 =0.01. 1 2 ? ? ? 122 4

(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正) 、 (正,反) 、 (反,正) 、 (反,反)是等可能的,绳子从 每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点,也是等 可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而 剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的 ;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无 限的. (4)几何概型. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、 平面图形、 立体图形等.用这种方法处 理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型. 几何概型的基本特点: a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; b.每个基本事件出现的可能性相等. (5)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 (面积或体积 ) . 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积 )
3.3.1 几何概型第 页 2

(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的 ;区别是古典概型的基 本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也 不同. 三、例题讲解: 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获 胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率. 活动:学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断. 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典 概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率 可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.

点评: 本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于 10 分钟的概率.

分析:见教材 136 页 解: (略) 变式训练 1、 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的 概率(假定车到来后每人都能上). 解: 可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为 a,则某人到站的一切可 能时刻为 Ω =(a,a+5),记 Ag={等车时间少于 3 分钟},则他到站的时刻只能为 g=(a+2,a+5)中 的任一时刻,故 P(Ag)=

g的长度 3 ? . ?的长度 5

点评:通过实例初步体会几何概型的意义. 2、 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的,而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率. 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=0.004.
3.3.1 几何概型第 页 3

答:钻到油层面的概率是 0.004. 四、课堂小结: 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型 ,使用几何概型的概率计算公式时,一定要 注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例. 五、课后作业: 课本习题 3.3A 组 1、2、3. 板书设计 3.3.1 几何概型 1、几何概型的概念 2、几何概型的基本特点

课后反思:

3.3.1 几何概型第



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