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2017届湖北省枣阳市七中高三上学期开学考试 数学(理科)


湖北省枣阳市第七中学 2017 届高三上学期开学考试数学(理 科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 A.30°

l : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的倾斜角为

B.45° C.60° D.90° ) B. 60 π C. 60 15π

2 .在三棱锥 A ? BCD 中,△ ABC 与△ BCD 都是边长为 6 的正三角形,平面 ABC ⊥平面 BCD,则该三棱锥的外接球的体积为( A. 5 15π D. 20 15π 3.焦点为 ?0,6? ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24 x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2



B. ) B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

4.cos 300°=( A.-

? ?

? ?

C. -

? ?

D.

? ?

?y ? x ? 5.设变量 x,y 满足: ? x ? 3 y ? 4, 则z=|x-3y|的最大值为( ? x ? ?2 ?
A.8 B.3 C.



13 4

D.

9 2

1 1 1 ? 2 2 2 2 6.已知 a = ln ,b=sin ,c= ,则 a, b,c 的大小关系为
A. a < b < c B. a <c <b C. b <a<c D. b <c < a ) 7.如果输入 n ? 2 ,那么执行下图中算法的结果是(

第一步,输入n, 第二步,n ? n ? 1, 第三步,n ? n ? 2, 第四步,输出n.
A.输出 3 B.输出 4 C.输出 5 D.程序出错,输不出任何结果 8.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平均 数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有 A. a ? b ? c C. c ? a ? b 9.在区间 ? ? (A) B. b ? c ? a D. c ? b ? a )

1 1 ? ? ?? , ? 上随机取一个 x , sin x 的值介于 ? 与 之间的概率为( 2 2 ? 2 2?
(B)

1 3

2

?

(C)

1 2

(D)

2 3
) . D.两条射线 )

1 ? ?x ? t ? 10.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线

* 11.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? N ) ,则下列结论正确的是(

A.数列是 {an } 等比数列 C.数列是 {an } 等差数列

???,an 是等比数列 B.数列 a2,a3, ???,an 是等差数列 D.数列 a2,a3,


12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. ? ?

3 3

B. 2? ?

3 3

C. 2? ? 3

D. ? ?

3 ? 6

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)

m, n ? , ?
m ??? m ??? a ?? ? m ? n? ? ? m // n n ? ? ? ? ?? ? ? ?? m ?? ? ? m // n n ?? ? a ? ?? n ??? ?

? // ? ?

14.对函数 y ? f ( x)( x1 ? x ? x2 ) ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是图象上的两端点. O 为坐 标原点,且点 N 满足 ON ? ? OA? (1 ? ? ) OB .点 M ( x, y ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且
? ? ?

x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 ( ? 为 实 数 ) , 则 称 MN 的 最 大 值 为 函 数 的 “ 高 度 ” , 则 函 数

? ? ? 9? ? f ( x) ? 2 cos( 2 x ? ) 在区间 ? , ? 上的“高度”为 4 ?8 8 ?
9 个的概率为 16.给出下列命题: .



15.一名篮球运动员投篮命中率为 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不少于

①若 a,b,c 分别是方程 x + log3x = 3,x + log4x = 3 和 x + log3x = 1 的解,则 a>

b>c; ②定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(3 + x)+ f(1 - x)= 2,则 f(2010)= 2010; ③方程 2sinθ = cosθ 在 [0,2π )上有 2 个根; ④已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,若 S7>S5,则 S9>S3; 其中真命题的序号是 三、解答题(70 分) 17.(本题 12 分)已知 f ( x) ? x x ? a 为定义在 R 上的偶函数, a 为实常数,
2

求 a 的值; 若已知 g ( x) 为定义在 R 上的奇函数,判断并证明函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的奇偶性。 18 .( 本 题 12 分 )、 已 知 锐 角 ?A B C 中 , 三 个 内 角 为 A、B、C , 向 量

p ? ?2 ? 2 sin A, cos A ? sin A? , q ? ?sin A ? cos A,1 ? sin A? , p ‖ q ,求 ? A 的大小.
19. (本题 12 分)已知等式 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? n3
2 3 n?1

? 3n (na ? b) ? c 对一切正

整数 n 都成立,那么 a,b,c 的值为多少? 20. (本题 12 分) (本题满分 12 分) 命题

p

2 2 :对任意实数 x ,都有 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立,命题 q :方程 x ? 2 x ? m ? 0 有

实根,若

p?q

为假,

p?q

为真,求实数 m 的取值范围.
2 x

21. (本题 12 分) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2ax ? 2)e . (Ⅰ)函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 2 x ? y ? b ? 0 ,求 a、b 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若曲线 y ? f ( x) 上存在三条斜率为 k 的切线,求实数 k 的取值范围. 22. (本题 10 分)已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性,并说明理由; ( 3 )求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 在以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形.

1 ? x2 1 ? x2 ? a . 1 ? x2 1 ? x2

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存 5 ? ? 5

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由直线方程可知斜率 k ? 1 ? tan ? ? 1?? ? 考点:直线倾斜角和斜率 2.D 【解析】取 BC 的中点为 M,E、F 分别是正三角形 ABC 和正三角形 BCD 的中心,O 是该三棱 锥外接球的球心,连接 AM、DM、OF、OE、OM、OB,则 E、F 分别在 AM、DM 上,OF⊥平面 BCD,OE⊥平面 ABC,OM⊥BC,AM⊥BC,DM⊥BC,所以∠AMD 为二面角 A—BC—D 的平面角, 因 为 平 面 ABC⊥ 平 面 BCD , 所 以 AM⊥DM , 又 AM=DM= 3 3 , 所 以

?
4

1 EM ? FM = AM = 3 ,所以四边形 OEMF 为正方形,所以 OM= 6 ,在直角三角形 OMB 3
2 2 中,球半径 OB= OM ? BM = ( 6 ) ? 3 = 15 ,所以外接球的体积为
2 2

4π( 15)3 = 3

20 15π ,故选 D.

【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的体积计算,考查空间想象能力、运算求解 能力、逻辑推理能力,是难题. 3.B 【解析】 试 题 分 析 :

x2 1 ? y2 ? 1 的 渐 近 线 为 y ? ? x ,所以所求双曲线中有 2 2

b 1 ? ? c ? 6, c 2 ? a 2 ? b2 a 2
所以 a ? 12, b ? 24 ,双曲线方程为
2 2

y 2 x2 ? ?1 12 24

考点:双曲线方程及性质 4.B

【解析】解:因为 cos 300°= cos (360°- 60°)= cos 60°= 5.A

? ?

【解析】分析:先根据约束条件画出可行域,设 z=|x-3y|,再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=x-3y 过可行域内的点 A 时,从而得到 z=|x-3y|的最大值即可. 解答:解:依题意,画出可行域(如图示),

则 当 直 z=|x-3y|

对 线 ,

于 经 取

目 过 到 A

标 ( 最

函 -2 大 , 值

数 2 ,

z=x-3y ) 时 Zmax=8

, , .

故选:A. 6.A 【解析】 试题分析: a ? ln 故 a ? b ? c. 考点:不等式 点评:当两个数的大小不能直接比较时,有时可以引入第三个变量,再间接进行比较.属基 础题. 7.C 【解析】 试题分析:
? 1 1 1 2 1 ? 0 , 0 ? b ? sin ? , c ? 2 2 ? ? , 2 2 2 2 2 1

第一步,输入n ? 2,第二步,n ? 3,第三步,n ? 5,第四步,输出n ? 5.
选 C. 考点:流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图 的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、 循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 8.D

【解析】 试题分析:由数据可知众数 c=17,中位数 b=15,平均数 a=14.7,故选 D. 考点:平均数 中位数 众数的概念. 9.A 【解析】 试 题 分 析 : 在 区 间 ??

? ? ?? , 上随机取一个 x ,试验结果构成的长度为 ? ,当 ? 2 2? ? 1 1 ? ? ? ?? x ? ? ? , ? , sin x 的值介于 ? 与 之间,长度为 ,有几何概型的概率计算公式当 2 2 3 ? 6 6?

?
1 P? 3 ? . ? 3
考点:几何概型的概率计算公式. 10.D 【解析】

1 ? 1 1 ?x ? t ? 试题分析:因为, ? t (t为参数) , t ? 0, x ? t ? ? 2 或 t ? 0, x ? t ? ? ?2 , t t ? ?y ? 2 1 ? ?x ? t ? 所以,参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是两条射线,选 D. ? ?y ? 2
考点:曲线的参数方程 11.B 【解析】当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ,则 an?1 ? an ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 3an ,即 an?1 ? 4an ;而

a1 ? 1, a2 ? 3 ,所以从第二项起,成等比数列;故选 B.
考点: an 与 Sn 的关系. 12.A 【解析】 试题分析:由该几何体的三视图知:该几何体下面是个圆柱,上面是个三棱锥,其体积为

1 1 3 V ? ? ?12 ?1 ? ? 3 ? ?1? 2 ? ? ? 3 2 3 故选 A
考点:几何体的三视图;几何体的体积. 13.③ 【解析】

14. 4 【解析】 试 题 分 析 :

ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ? ? OA ? OB ? OB

?

?

,







ON ? OB ? ? OA ? OB , 化 简 为 BN ? ? BA , 说 明 A, B, N 三 点 共 线 , 而
?? ? ?9 ? f ? ? ? f ? ? ? ? 2 使函数取得最大值, ?8? ?8 ?
所以点 N 在 y ? 2 上,又因为 x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 ( ? 为实数) ,所以 M , N 的横坐标相 同, 所以当 M 在函数图像的最低点时,此时 MN 最大,最大值是 4. 考点:1.余弦函数的定义域和值域;2.新定义. 【思路点睛】本题以新定义为载体,考察了向量的性质与余弦函数的性质,属于中档题 型,本题的关键是审题清楚,对知识之间的简单综合要活学活用,根据条件得到 M , N 两 点的横坐标相同,并且根据条件得到 A, B, N 三点共线,根据端点的函数值得到点 N 在

?

?

y ? 2 上,所以最终考察的就是余弦函数的最大值与函数的最小值之间的差值.
15.0.02620201 【解析】
9 , 0.6? ,所以 P?? ? 9? ? C10 ?? ? ? 试题分析:设 ? ~ B?10

? 3? ?5?

9

1 ? 3? ? ? ? =0.02620201 5 ?5?

10

考点:二项分布的概率 16. .③④ 【解析】略 17.(1)? f ( x) 为偶函数

? f (?a) ? f (a)
即 a 2a ? 0, ? a ? 0
2

(2)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 则 h(? x) ? f (? x) ? g (? x)

? f ( x) ? ? ? g ( x) ? ? ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? h( x )

? h( x) 为奇函数.

【解析】略

18.解: p ? ?2 ? 2 sin A, cos A ? sin A? , q ? ?sin A ? cos A,1 ? sin A? 又 p ‖q

?? 2 ? 2sin A??1 ? sin A? ? ? cos A ? sin A??sin A ? cos A? ? 0
---------------4 分

---

4 sin 2 A ? 3 ? 0
----------------6 分

---

? 又 ? A 为锐角,则 sin A ?
??A ? 60?
---------10 分 【解析】略 19. , , . 【解析】

3 2
----------

1 1 1 2 4 4

试题分析:由等式对一切正整数 n 都成立,

2, 3 ,得 不妨分别令 n ? 1,

1 ? ?a ? 2 ?1 ? 3(a ? b) ? c ? 1 ? ? 2 ,解得 ?b ? . ?1 ? 2 ? 3 ? 3 (2a ? b) ? c 4 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 32 ? 33 (3a ? b) ? c ? 1 ? ?c ? 4 ?
所以所求的 a,b,c 的值分别为 , , . 考点:本题主要考查演绎推理的意义及应用。 点 评 : 演 绎 推 理 是 由 一 般 到 特 殊 的 推 理 。 本 题 因 为 等 式

1 1 1 2 4 4

1? 2 ? ?3 ? 2 3? 3 ?
n ? 1, 2, 3 成立。
20. m ? 0 或 1 ? m ? 4

3 ? ? 4 ?n 3

n?

?1

n

na 3 ? b ?3 c对 ( 一 切 正)整 数 n 都 成 立 , 所 以 对

【解析】解:对 于命题 p ,由条件可得 m ? 0 或 ?

?m ? 0
2 ? ? ? m ? 4m ? 0

?m ? 0 ? m ? 0或 ? ? 0 ? m ? 4 ;----------------4 分 ?0 ? m ? 4
对于命题 q ,由条件可得 ? ? 4 ? 4m ? 0 ? m ? 1 .---------------------6 分

? p ? q 为假, p ? q 为真,∴ p与q 一真一假.------------------------8 分

若 p 真 q 假时,则可得 ?

?0 ? m ? 4 ?1? m ? 4; ? m ?1

若 p 假 q 真时,则可得 ?

? m ? 0或m ? 4 ? m?0. m ? 1 ?

综上可得, m 的取值范围是 m ? 0 或 1 ? m ? 4 .-----------------------12 分 21. (Ⅰ) a ? 2, b ? ?2 ; (Ⅱ) e
2 a ?2

(2 ? 2a) ? k ? e?2 (2a ? 2) .

【解析】 试题分析:第一问应用切点在曲线上,求得 b ? ?2 ,对函数求导,利用导数的几何意义, 得出 f '(0) ? ?2 ,从而求得 a ? 2 ,第二问曲线 y ? f ( x) 上存在三条斜率为 k 的切线,等 价于其导数等于 k 有三个解,结合函数图像的走向,从而确定出其范围应该介于极小值和 极大值之间即可. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? ( x ? 2ax ? 2)e , f (0) ? 2e ? 2 , 2 ? b ? 0 ,得 b ? ?2 ,
2 x 0

f ? ( x) ? ( x 2 ? 2ax ? 2 ? 2 x ? 2a)e x ? [ x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2 ? 2a]e x , f ? (0) ? [ x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2 ? 2a]e x ? 2 ? 2a ? ?2 ,求得 a ? 2 ,
∴ a ? 2 , b ? ?2 ; (Ⅱ) f ( x) ? [ x ? (2 ? 2a ) x ? 2 ? 2a ]e ,
2 x ?

令 h( x) ? f ( x) ,依题知存在 k 使 h( x) ? k 有三个不同的实数根,

?

h? ( x) ? ( x 2 ? 2ax ? 2 ? 2 x ? 2a ? 2 x ? 2a ? 4)e x ? [ x 2 ? (4 ? 2a) x ? 4 ? 4a]e x ,
令 h ( x) ? [ x ? (4 ? 2a ) x ? 4 ? 4a ]e ? 0 ,求得 x1 ? ?2, x2 ? 2a ? 2 ,
2 x ?

由 a ? 0 知 x1 ? x2 ,

则 f ( x) 在 (??, ?2) , (2a ? 2, ??) 上单调递增, 在 (?2, 2a ? 2) 上单调递减, 当 x ??? 时, f ( x) ? 0 ,当 x ??? 时, f ( x) ? ?? ,
?

?

?

∴ f ( x) 的极大值为 f (?2) ? e (2a ? 2) ,

?

?

?2

f ? ( x) 的极小值为 f ? (2a ? 2) ? e2a?2 (2 ? 2a) ,
所以此时 e
2 a ?2

(2 ? 2a) ? k ? e ?2 (2a ? 2) .

考点:导数的几何意义,方程解的个数,导数的应用. 22. (1)2; (2)递增; (3) . 【解析】 试题分析:(1)研究函数问题,一般先研究函数的性质,如奇偶性,单调性,周期性等等, 如本题中函数 f ( x ) 是偶函数,因此其最小值我们只要在 x ? 0 时求得即可; (2) a ? 1 时, f ( x ) 可化简为 f ( x) ? ,下面我们只要按照单调性的定义就可证明在 [0,1) 上 1 ? x4 函数是单调递增的,当然在 (?1, 0] 上是递减的; (3)处理此问题,首先通过换元法把问题

2

a 1 y ? t ? , t ?[ ,1] 1 ? x2 t 3 ,问题变为求实数 a 的范 简化,设 t ? ,则函数 f ( x ) 变为 1 ? x2
a y?t? 1 t , 我 们 知道 , 它在 围 , 使得 在区 间 [ ,1] 上 , 恒有 2 ymin ? ymax . 对于 函数 3 1 (0, a ] 上递减,在 [ a , ??) 上递增,故我们要讨论它在区间 [ ,1] 上的最大(小)值, 3
就必须分类讨论,分类标准显然是 要讨论最

a?

1 1 1 , ? a ? 1 , a ? 1 ,在 ? a ? 1 时还 3 3 3

1 5 1 ? a ? 大值在区间 [ ,1] 的哪个端点取得,也即共分成四类. 15 3 3 试题解析:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数.
(1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

2分

x ? 0 时 f ? x? ?

1 ? x2 1 ? x2 ? 最小值为 2. 1 ? x2 1 ? x2

4分

(2) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ??0,1? 时,

f ? x ? 递增;

x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? 递减;

6分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ??0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
所以 x ??0,1? 时,

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

?0

f ? x ? 递增;

10 分

a 1 ? y ? t ? ( ? t ? 1) ? 2 5 2 5? 1 ? x2 1 t 3 , (3) t ? ,? x ? ? ? ? ,? t ? [ ,1] , 5 5 3 1 ? x2 ? ?
1 [ ,1] 从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 3 上,
恒有 2 ymin ? ymax . ①当 0 ? a ? 11 分

1 a 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3

1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? , 3 15
从而 ②当

1 1 ?a? ; 15 9

12 分

1 1 a 1 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3

1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3
由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ③当

1 1 ?a? ; 9 3

13 分

1 a 1 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3

1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3

1 7?4 3 7?4 3 ?a? ,从而 ? a ? 1 ; 3 9 9 a 1 ④当 a ? 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递减, t 3
由 2 ymin ? ymax 得

14 分

1 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 3
由 2 ymin ? ymax 得 a ? 综上,

5 5 ,从而 1 ? a ? ; 3 3
16 分

15 分

1 5 ?a? . 15 3

考点: (1)函数的最值; (2)函数的单调性的证明; (3)分类讨论与函数的最值.


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