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2012届高考考前一个月理数解答题训练(六)[1]


解答题训练(六)限时 60 分钟
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 18. (本小题满分 14 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin

( x ? ? )sin ? , 求函数 y ? 3 f (

?
2

2π ? 上的取 值范围. ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? ?0, ? ? 3?

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N ,有 n, an , Sn 成等差数列.
*

(1)记数列 bn ? an ? 1(n ? N* ) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Tn ,求满足

T ?n?2 1 1 ? n ? 的所有 n 的值. 17 T2 n ? 2n ? 2 7

20. (本小题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90° , 平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上 P

1 的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= 3 . 2
(1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC, 试确定 t 的值. Q C B D M

A

第 -1- 页 共 8 页

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆的短半轴 2 a b 2

长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B , P 为椭圆上一点,且满足 ,当 PA ? PB < OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点) 围.

2 5 时,求实数 t 的取值范 3

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

0 (1)当 x ? [0,3] 时,求 f ( x ) 的值域; 0

2x 1 3 , g ( x) ? ax ? a 2 x(a ? 0) . 2 x ?1 3
2

9 1 (2)对于任意 x1 ? [0,3], 总存在 x 2 ? 0 [0,3], 使f ( x1 ) ? 6 g ( x 2 ) 成立,求实数 a 的取值 5 范围. 1 4

第 -2- 页 共 8 页

解答题训练(六)参答
18. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) , 所以 sin ? ?

1 3 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? . 2 3 2

?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ?
(2)

3 3 3 .---------6 分 ? ?? 2 3 6

f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x , x ? R .

? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 6

?

?

0? x? ??

2? 4? ? ? 7? ,? 0 ? 2 x ? ,?? ? 2 x ? ? . 3 3 6 6 6

1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 . 2 6 6

故函数 y ?

? ? 2π ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围是 [?2,1] . ---14 分 2 ? 3?

19. (本小题满分 14 分) 证明: (1) S n ? 2an ? n ,

S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) .

? an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 2an ? 1,
bn?1 an?1 ? 1 2an ? 2 ? ? ? 2. bn an ? 1 an ? 1
又由 S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1 .

所以数列 ?bn ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.………………… 7 分 解: (2) bn ? an ? 1 ? 2n , an ? 2n ? 1.

Tn ? 2n?1 ? n ? 2 ,

T ?n?2 ?1? 1 1 ? n ?? ? ? . 17 T2 n ? 2n ? 2 ? 2 ? 7
所以 n 的值为 3,4.…………………………………………………… 14 分

n

第 -3- 页 共 8 页

20. (本小题满分 15 分) (证法一) (1)∵ AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵ BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. (证法二)AD // BC,BC= …………………………………………………………7 分

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
∴∠AQB=90° . ∵PA=PD, ∴PQ⊥AD.

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90°

∵PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.…………………………………7 分 (2)∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ; z P M D Q A x N B y C

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) ,

B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) , 则 PM ? ( x, y, z ? 3) ,

MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) .
∵PM ? tMC ,

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

第 -4- 页 共 8 页

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? . 1 ? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t
在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵ 二面角 M-BQ-C 为 30° ,

t 3t 3 , , ). 1? t 1? t 1? t

c o s 3? 0 ?

n?m n m

?

t 3 ? 0 ? t2

?

3 . 2

∴ t ? 3 .…………………………………………………………………………15 分

21. (本小题满分 15 分) 解: (1)由题意知 e ?
2

c 2 ? , a 2
即 a ? 2b .
2 2

c2 a 2 ? b2 1 ? . 所以 e ? 2 ? a a2 2
又因为 b ?

2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1. 1?1
x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………5 分 2

故椭圆 C 的方程为

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
x1 ? x2 ?

1 . 2

……………………7 分

8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , . ……………………………………8 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵ OA ? OB ? t OP ,

第 -5- 页 共 8 页

∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ?

x1 ? x2 8k 2 , ? t t (1 ? 2k 2 )

y?

y1 ? y2 1 ?4k . ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上, ∴

(8k 2 )2 (?4k )2 ?2 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t (1 ? 2k 2 )2

∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) .

∵ PA ? PB <
2

2 5 2 5 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? , 3 3
2

∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ?
2

20 . 9

64k 4 8k 2 ? 2 20 ∴ (1 ? k )[ . ?4 ]? (1 ? 2k 2 )2 1 ? 2k 2 9
∴ (4k ?1)(14k ? 13) ? 0 ,
2 2

∴ k2 ?

1 . ……………………12 分 4



1 1 ? k2 ? . 4 2
∴t ?
2

∵ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ,

16k 2 8 ? 8? . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

∴ ?2 ? t ? ?

2 6 2 6 ?t ? 2. 或 3 3

源:学*科*网]

∴实数 t 取值范围为 (?2,?

2 6 2 6 )?( ,2) .……………………15 分 3 3

(注意:可设直线方程为 m y ? x ? 2 ,但需要讨论 m ? 0 或 m ? 0 两种情况)

22. (本小题满分 14 分)

2 ? 2x 2 2(1 ? x)(1 ? x) 解: (1) f ?( x) ? 2 ? 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1) 2

x
f ?( x)

0

(0,1) +

1 0 1

(1,3) —

3

f ( x)

0

3 5

第 -6- 页 共 8 页

?函数f ( x)的值域为 [0,1] . …………………………4 分
(2)设 x ? [0,3] 时,函数 y ?

1 g ( x) 的值域为 A, 6

? 对于任意x1 ? [0,3] ,
总存在 x 2 ? [0,3], 使f ( x1 ) ?

1 g ( x2 ) . 6

?[0,1] ? A .

? g ?( x) ? ax2 ? a 2 ? a( x 2 ? a) .
(ⅰ)当 a ? 0时, x ? (0,3) 时,

g ?( x) ? 0,函数g ( x)在(0,3) 上单调递减,
? g (3) ? g ( x) ? g (0) . ? g (0) ? 0 .

?不满足[0,1] ? A .…………………………8 分
(ⅱ)当 a ? 0 时,

g ?( x) ? a( x ? a )(x ? a ),
令 g ?( x) ? 0, . ? x1 ? a或x2 ? ? a (舍去) ①当 0 ?

a ? 3,即0 ? a ? 9 时,列表如下:
0

x
g ?( x )
g ( x)

(0, a )


a
0

( a ,3)
+

3

0

?

2 2 a a 3

9a ? 3a 2

? g (0) ? 0, g ( a ) ? 0, 若 [0,1] ? A ,


1 1 g (3) ? (9a ? 3a 2 ) ? 1. 6 6

?1 ? a ? 2 . ……………………………… 11 分
②当 a ? 3,即a ? 9 时, x ? (0,3) 时,
第 -7- 页 共 8 页

g ?( x) ? 0, 函数 g ( x)在(0,3) 上单调递减. ? g (3) ? g ( x) ? g (0) . ? g (0) ? 0,

?不满足[0,1] ? A .……………………13 分
综上,实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .…………………………14 分

第 -8- 页 共 8 页


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