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江门市2013年普通高中高三调研测试文科数学试题


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试卷类型:A

江门市 2013 年普通高中高三调研测试


1 3

学(文科)试



本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) .

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
⒈已知全集 U ? ?0 , 1 , 2 , 3, 4 ? ,集合 A ? ?1 , 2 , 3 ? , B ? ?2 , 4 ? ,则 ( C U A ) ? B ? A. ? 2 ? A. 1 ⒊已知双曲线
x a
2 2

B. ? 4 ? B. ? 1
? y b
2 2

C. ?1 , 2 , 3, 4 ? C. 2

D. ?1 , 3 ? D. ? 2

⒉若 ( 2 ? i )( b ? i ) 是实数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ?

? 1 的两个焦点分别为 F 1 、 F 2 ,双曲线与坐标轴的两个交点分别

为 A 、 B ,若 | F 1 F 2 | ? A.
5 3

5 3
5 4

| AB | ,则双曲线的离心率 e ?

B.

C.

4 3

D.

8 3

⒋如图 1,将一个正三棱柱截去一个三棱锥,得到几何体
BC ? DEF ,则该几何体的正视图(或称主视图)是

A.

B.

C.
?
2

D. ;

⒌设命题 p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 命题 q :函数 y ? 2 ?
x

1 2
x

是偶函数.则下列判断正确的是 C. p ? q 为真 D. p ? q 为真

A. p 为真

B. ? q 为真

⒍从等腰直角 ? ABC 的斜边 AB 上任取一点 P ,则 ? APC 为锐角三角形的概率是

A. 1

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

⒎经过圆 x ? 2 x ? y
2

2

? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是

A. x ? 2 y ? 1 ? 0

B. x ? 2 y ? 2 ? 0

C. x ? 2 y ? 1 ? 0

D. x ? 2 y ? 2 ? 0

⒏在一组样本数据 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,?, ( x n , y n ) ( n ? 2 , x 1 , x 2 ,?, x n 互不 相等)的散点图中,若所有样本点 ( x i , y i ) ( i ? 1 , 2 ,?, n )都在直线 y ? 上,则这组样本数据的样本相关系数为 A. ? 1 B. 0 C.
1 2

1 2

x ?1

D. 1

⒐如图 2,平行四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 是
AE 的中点,若 AB
? a , AD ? b ,则 AF

?

A.

1 2

a ?

1 4

b

B.

1 4

a ?

1 2

b

C.

1 2

a ?

1 4

b

D.

1 4

a ?

1 2

b

⒑若直线 y ? ax 与曲线 y ? ln x 相切,则常数 a ? A. e B. 1 C. e
?1

D. e

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
⒒设 f ( n ) 是定义在数集 N ? 上的函数,若对 ? n 1 ,n 2 ? N ? , f ( n 1 ? n 2 ) ? f ( n 1 ) f ( n 2 ) , 则 f ( n ) ? a ,a 为常数。 类似地, 若对 ? n 1 ,n 2 ? N ? ,f ( n 1 ? n 2 ) ? f ( n 1 ) ? f ( n 2 ) ,
n

则有



⒓据《法制晚报》报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人,图 3 是对这 28800 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图, 从左到右各直方块表示的人数依次记为 A 1 、 A 2 、??、 A 8 (例如 A 2 表示血液酒精浓 度在 30~40 mg/100 ml 的人数) ,图 4 是对图 3 中血 液酒精浓度在某一范围内的人数进行统计的程序框图。 这个程序框图输出的 s ? ________. 开始 输入 A 1 , A 2 , ? , A 8
s ? 0, i ?1

i ? i ? 1
i ? 6?



s ? s ? Ai

否 输出 s
图3

结束

图4

⒔已知 O ( 0 , 0 ) 、 A ( 3 , 4 ) 、 B ( 2 , 5 ) , M ( x , y ) 为 ? OAB 内(含三角形的三边与顶点) 的动点,则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值是 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
⒕(坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系 Oxy 的坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2 ? ) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,正六边形
ABCDEF

的顶点都在 C 上,且 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 依逆时针次序排列。若点
?
3 ) ,则点 B 的直角坐标为

A 的极坐标为 ( 2 ,


A E B

⒖(几何证明选讲选做题)如图 5, EF 是梯形 ABCD 的中位线, 记梯形 ABFE 的面积为 S 1 ,梯形 CDEF 的面积为 S 2 ,若
AB CD ? 1 2

F
C

,则

AB EF

?



S1 S2

?



D

图5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( ? 1 , sin x ) , n ? ( ? 2 , cos x ) ,函数 f ( x ) ? 2 m ? n . ⑴求函数 f ( x ) 在区间 [ 0 ,
?
2 ] 上的最大值;

⑵若 ? ABC 的角 A 、 B 所对的边分别为 a 、 b , f (
a ? b ? 11 ,求 a 的值.

A 2

) ?

24 5

, f(

B 2

?

?
4

) ?

64 13



⒘(本小题满分 14 分) 如图 6,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长是 1 的正方形,
ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点.

侧 棱 PD ⊥ 平 面
P

⑴求证: MN // 平面 PAD ; ⑵记 MN ? x , V ( x ) 表示四棱锥 P ? ABCD 的体积,
N

D

C

A

M

B

图6

求 V ( x ) 的表达式(不必讨论 x 的取值范围) .

⒙(本小题满分 14 分) 某班几位同学组成研究性学习小组,从[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次日 常生活中是否具有环保意识的调查.若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族” ,否 则称为“非环保族” 。得到如下统计表: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) 环保族人数 120 195 100
a

占本组的频率 0.6
p

本组占样本的频率 0.2
q

0.5 0.4 0.3 0.3

0.2 0.15 0.1 0.05

30 15

⑴求 q 、 n 、 p 、 a 的值; ⑵从年龄段在[40,50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外环保活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40,45)的概率. ⒚(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点为 F 1 ( ? 1 , 0 ) 、 F 2 (1 , 0 ) ,点 P ( ? 1 , ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )与椭圆 C 相交于点 M 、 N ,当 ? OMN ( O 是坐 标原点)的面积取得最大值时,求 p 的值.
2

2 2

) 在椭圆上.

⒛(本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 中 a 1 ? 1 , a n ? 1 ?
an 2an ? 1

(n ? N ) .

?

⑴求证:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ?an ?
1005 2012

? ⑵设 b n ? a n ? a n ? 1 ( n ? N ) ,数列 ?b n ? 的前 n 项和为 S n ,求满足 S n ?

的最

小正整数 n . 21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
1 2 a ( x ? 1)
2

? ln x ,其中 a ? R .

⑴若 x ? 2 是 f ( x ) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 ? x ? 0 , f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

文科数学评分参考
一、选择题: BDACD BADAC

二、填空题:
⒒ f ( n ) ? an , a 为常数(说明: f ( n ) ? an ”4 分, a 为常数”1 分) “ “ ; ⒓ 24480 ; ⒔ 1 ; ⒕ ( ? 1 ,
3 ) (说明:对 1 个坐标给 3 分) ;



2 3

(2 分) (3 分) , .
7

5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗解:⑴依题意, f ( x ) ? 2 ( 2 ? sin x cos x ) ??2 分, ? 4 ? sin 2 x ??3 分,
x?[0,

?
2

] ,则 2 x ? [ 0 , ? ] , sin 2 x ? [ 0 , 1 ] ??4 分,

所以,函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , ⑵由 f ( 由f(
B 2 A 2 ? ) ? 24 5

?
2

] 上的最大值为 5 ??5 分

得 sin A ?
64 13

4 5

??6 分,
?
2 ) ? 12 13

?
4

) ?

得 sin( B ?

??7 分,从而 cos B ?

12 13

??8 分,

因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 由正弦定理得
a b ? sin A sin B ? 52 25

5 13

??9 分,
a a ? b ? 52 77

??11 分,所以

,a ?

52 7

??12 分.

⒘证明与求解:⑴取 CD 的中点 E ,连接 ME 、 NE ,则 ME // AD , NE // PD ??2 分, 因为 ME ? NE ? E ,所以平面 MNE // 平面 PAD ??4 分,
MN ? 平面 MNE ,所以 MN // 平面 PAD ??6 分.

⑵ NE // PD , PD ⊥平面 ABCD ,所以 NE ⊥平面 ABCD ??8 分,
ME ? 平面 ABCD , NE ? ME ??9 分,
MN
2

? ME

2

? NE

2

,所以 NE ?

MN

2

? ME

2

?

x

2

? 1 ??10 分,

由⑴知 PD ? 2 NE ? 2 x 2 ? 1 ??11 分, 所以 V ( x ) ?
1 3 Sh ? 1 3 ? S
ABCD

? PD ??13 分, ?

2 3

x

2

? 1 ??14 分.

⒙解:⑴第二组的频率为: q ? 1 ? ( 0 . 2 ? 0 . 2 ? 0 . 15 ? 0 . 1 ? 0 . 05 ) ? 0 . 3 ??2 分, 第一组的人数为
120 0 .6 ? 200 ,第一组的频率为 0.2,所以 n ? 195 300 200 0 .2 ? 0 . 65 ??6 分, ? 1000 ??4 分,

第二组人数为 1000 ? q ? 300 ,所以 p ?

第四组人数 1000 ? 0 . 15 ? 150 ,所以 a ? 150 ? 0 . 4 ? 60 ??8 分, ⑵[40,45)年龄段“环保族”与[45,50)年龄段“环保族”人数比值为 60︰30=2︰1, 采用分层抽样法从中抽取 6 人,[40,45)年龄段有 4 人,[45,50)年龄段有 2 人??9 分; 设[40,45)年龄段的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)年龄段的 2 人为 m、n,则选取 2 人 作为领队的有(a,b) 、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) 、(b,n)、(c,d)、(c,m)、 (c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n),共 15 种??11 分;其中恰有 1 人年龄在[45,50)的有(a,m)、 (a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n),共 8 种??13 分; 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)的概率为
8 15
2 2 2 2

??14 分.

⒚解:⑴依题意,设椭圆 C 的方程为
2 a ? | PF 1 | ? | PF
2

x a

?

y b

? 1 ??1 分,

| ??2 分, ? 2

2 ,所以 a ?

2 ??3 分,

c ? 1 ,所以 b ?

a

2

?c

2

? 1 ??4 分,椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1 ??5 分

2

⑵根据椭圆和抛物线的对称性,设 M ( x 0 , y 0 ) 、 N ( x 0 , ? y 0 ) ( x 0 , y 0 ? 0 )??6 分, ? OMN 的面积 S ?
1 2 x 0 ? ( 2 y 0 ) ? x 0 y 0 ??7 分,
2

x0 M ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上, 2

? y0

2

? 1, 所以 1 ?

x0 2

2

? y0

2

? 2

x0 2

2

? y0

2

?

2 x0 y0 ,

等号当且仅当
2

x0 2

? y 0 时成立??9 分,

?x 2 0 ?x0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? ? 2 解? ( x 0 , y 0 ? 0 )得 ? 2 ??10 分, ? x0 ? y ? y0 ? 0 2 ? ? 2 ?
M ( x 0 , y 0 ) 即 M (1 ,

2 2

) 在抛物线 y

2

? 2 px 上,所以 (

2 2

)

2

? 2 p ? 1 ??11 分,

解得 p ?

1 4

??12 分.

⒛证明与求解:⑴由 a 1 ? 1 与 a n ? 1 ?
1 a n ?1 ? 2an ? 1 an
?

an 2an ? 1

得 a n ? 0 ??1 分,

? 2 ?
1 a n ?1

1 an
?

??3 分,
1 an

所以 ? n ? N , ⑵由⑴得
1 an ? 1 a1

? 1 ? ? 2 为常数, ? ? 为等差数列??5 分 ?an ?

? 2 ( n ? 1 ) ? 2 n ? 1 ??7 分

b n ? a n ? a n ?1 ?

1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 )

?

1 2

(

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

) ??8 分

所 以 S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 分, ?
1 2 (1 ? 1 2n ? 1 ) ??10 分, ?

1 2

(1 ?
n

1 3

)?

1 1 1 1 1 1 ( ? )?? ? ( ? ) ??9 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

2n ? 1

??11 分,
1005 2 ? 502 1 2

由Sn ?

1005 2012



n 2n ? 1

?

1005 2012

得n ?

??13 分,

所以满足 S n ?

1005 2012

的最小正整数 n ? 503 ??14 分.

21 解:⑴ f ( x ) ? 1 ? a ( x ? 1 ) ?
/

1 x

??2 分,
/

因为 x ? 2 是 f ( x ) 的极值点,所以 f ( 2 ) ? 0 ??3 分, 解1 ? a ( 2 ? 1) ?
1 2 ? 0 得a ? 1 2
1 2

??4 分,
2

⑵(方法一)依题意 x ? ??5 分。
x ? 1 时, a ( x ? 1 )
2

a ( x ? 1)

? ln x ? 1 , a ( x ? 1 )

2

? 2 ( x ? 1 ? ln x ) , x ? 0

? 2 ( x ? 1 ? ln x ) 恒成立??6 分
2

x ? 0 且 x ? 1 时,由 a ( x ? 1 )

? 2 ( x ? 1 ? ln x ) 得 a ?

2 ( x ? 1)
2

( x ? 1 ? ln x ) ?8 分

设 g ( x ) ? x ? 1 ? ln x , x ? 0 , g ( x ) ? 1 ?
/
/

1 x

??9 分,当 0 ? x ? 1 时 g ( x ) ? 0 ,
/

当 x ? 1 时 g ( x ) ? 0 ??10 分,所以 ? x ? 0 , g ( x ) ? g (1 ) ? 0 ??12 分 所以,当 x ? 0 且 x ? 1 时,
2 ( x ? 1)
2

( x ? 1 ? ln x ) ? 0 ,从而 a ? 0 ??13 分,

综上所述, a 的取值范围为 ( ?? , 0 ] ??14 分. (方法二)由⑴ f ( x ) ? 1 ? a ( x ? 1 ) ?
/
/

1 x

?

x ?1 x

(1 ? ax ) ??5 分,
/

若 a ? 0 , 1 ? ax ? 0 , f ( x ) ? 0 得 x ? 1 ??7 分, 则 由 且当 0 ? x ? 1 时 f ( x ) ? 0 , 当 x ? 1 时 f ( x ) ? 0 ??8 分,所以 ? x ? 0 , f ( x ) ? f (1 ) ? 1 ??10 分
/

若 a ? 0 ,由 f ( x ) ? 0 得 x ? 1 或 x ?
/ /

1 a

??11 分,取 m ? max ?1 ,
?

?

1? 1 ? 为1 与 两 a? a

数的较大者,则当 x ? m 时 f ( x ) ? 0 ??12 分,从而 f ( x ) 在 ( m , ? ? ) 单调减少,
f (x) ? x ? 1 2 a ( x ? 1)
2

? ln x 无最小值, f ( x ) ? 1 不恒成立??13 分。 2 a ( ? 3 ) ??11

(说明一:本段解答如举反例亦可,评分如下:若 a ? 0 ,取 x 0 ? 3 ? 分,f ( x 0 ) ? 3 ?
2 a ? 1 2 a (3 ? 2 a ? 1)
2

? ln( 3 ?

2 a

) ? ? 1 ? 2 a ? ln( 3 ?

2 a

) ? 0 ? 1 ,f ( x ) ? 1

不恒成立??13 分。说明二:若只讨论一个特例,例如 a ? 1 ,给 1 分) 综上所述, a 的取值范围为 ( ?? , 0 ] ??14 分.


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