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高二1班复习题


必修二复习题一 选择题 1、下列命题为真命题的是( ) A. 平行于同一平面的两条直线平行; B.与某一平面成等角的两条直线平行; C. 垂直于同一平面的两条直线平行; D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是: ( ) A. 如果 α ⊥β ,那么 α 内一定存在直线平行于平面 β ; B. 如果 α ⊥β ,那么 α 内所有直线都垂直于平面 β ; C. 如

果平面 α 不垂直平面 β ,那么 α 内一定不存在直线垂直于平面 β ; D. 如果 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ . 3、右图的正方体 ABCD-A’B’C’D’ 中,异面直线 AA’与 BC 所成的角是( A. 300 B.450 C. 600 4、右图的正方体 ABCD- A’B’C’D’中, 二面角 D’-AB-D 的大小是( ) 0 0 0 A. 30 B.45 C. 60

) D. 900

D’ A’ C C’ B’

D. 900

D

5、直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b, ) A则( B A.a=2,b=5; B.a=2,b= ? 5 ; C.a= ? 2 ,b=5; D.a= ? 2 ,b= ? 5 . 6、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是( ) A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为 a,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是: ( ) ?a ?a A. ; B. ; C. 2?a ; D. 3?a . 3 2 9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为 16cm2,高为 4cm,现将它熔化后铸成一个 正方体的铜块(不计损耗) ,那么铸成的铜块的棱长是( ) 4 A. 2cm; B. cm ; C.4cm; D.8cm。 3 10、圆 x2+y2-4x-2y-5=0 的圆心坐标是: ( ) A.(-2,-1); B.(2,1); C.(2,-1); D.(1,-2). 11、直线 3x+4y-13=0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的位置关系是: ( A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定. )

12、圆 C1: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 与圆 C2: ( x ? 2) 2 是( ) A、外离 B 相交 C 内切 D 外切

? ( y ? 5) ? 16 的位置关系
2

1

二、填空题 13、底面直径和高都是 4cm 的圆柱的侧面积为 14、两平行直线 x ? 3 y ? 4 ? 0与2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的距离是 15、下图的三视图表示的几何体是 16、若直线 x ? y ? 1与直线(m ? 3) x ? my ? 8 ? 0 平行,则 m ?

cm2。 。



17、如图,在侧棱和底面垂直的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底面 ABCD 满足条件 条件即可。 ) A1 B1 C1 主视图 左视图 A B 俯视图 第 15 题图 三、解答题(共 44 分) 18、 (6 分)已知点 A(-4,-5) ,B(6,-1) ,求以线段 AB 为直径的圆的方程。 第C 17 题图 D1 时,有 AC ? B1 D1 (写出你认为正确的一种

D

19、 (6 分)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长。

2

20、 (10 分)如图,在边长为 a 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60? , PC ? 面ABCD ,E,F 是 PA 和 AB 的中点。 (1)求证: EF||平面 PBC ; (2)求 E 到平面 PBC 的距离。 E P

D A

C

F

B

21、 (10 分)已知关于 x,y 的方程 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆。 (2)若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 MN=

4 5

,求 m 的值。

22 、( 12

分 ) 如 图 , 在 底 面 是 直 角 梯 形 的 四 棱 锥
?

S-ABCD

中 ,

1 ?ABC ? 90 , SA ? 面ABCD,SA ? AB ? BC ? 1, AD ? . 2
(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求证: 面SAB

? 面SBC ;

S

(3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。

B
3

C

A

D

训练一参考答案
一、 选择题(12×3 分=36 分)(请将答案填在下面的答题框内)
题号 答案

1 C

2 B

3 D

4 B

5 B

6 A

7 A

8 B

9 C

10 B

11 C

12 D

二、填空题(5×4=20)

13、 16?

14、

10 20

15、三棱柱

16、 ?

3 2

17、ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形
三、解答题(共 32 分) 18、解:所求圆的方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ………………2
2 2 2

由中点坐标公式得线段 AB 的中点坐标为 C(1,-3)……4

r ? AC ? (1 ? 4) 2 ? (?3 ? 5) 2 ? 29 ……………………5
故所求圆的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 29 ………………6
2 2

19、解: (1)由两点式写方程得 即 或

y ?5 x ?1 ,……………………2 ? ?1? 5 ? 2 ?1

6x-y+11=0……………………………………………………3

直线 AB 的斜率为

k?

?1? 5 ?6 ? ? 6 ……………………………1 ? 2 ? (?1) ? 1

直线 AB 的方程为 即

y ? 5 ? 6( x ? 1) ………………………………………2

6x-y+11=0…………………………………………………………………3

(2)设 M 的坐标为( x0 , y 0 ) ,则由中点坐标公式得

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y0 ? ?1 2 2

故 M(1,1)………………………4

AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 …………………………………………6
20、 (1)证明:

? AE ? PE , AF ? BF , ? EF || PB

…………………………………………1

又 EF ? 平面PBC, PB ? 平面PBC, 故 EF || 平面PBC ………………………………………………4

4

(2)解:在面 ABCD 内作过 F 作 FH ? BC于H …………………………………5

? PC ? 面ABCD, PC ? 面PBC
? 面PBC ? 面ABCD ……………………………………………7
又 面PBC ? 面ABCD ? BC , FH ? BC , FH ? 面ABCD

? FH ? 面ABCD
又 EF || 平面PBC ,故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离 FH。 …………………………………………………8 在直角三角形 FBH 中, ?FBC ? 60 , FB ?
?

a , 2

FH ? FB sin ?F B C?

a a 3 3 ? sin 60 0 ? ? ? a ……………9 2 2 2 4

故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离, 等于

3 a 。………………………………………………………………10 4
( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m ………………2

21、解: (1)方程 C 可化为 显然

5 ? m ? 0时,即m ? 5 时方程 C 表示圆。………………4
( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m

(2)圆的方程化为

圆心 C(1,2) ,半径

r ? 5 ? m ………………………………6

则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为

d?

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2

?

1 5

………………………………………………8

? MN ?

4

1 2 1 2 2 2 , 则 MN ? ,有 r ? d ? ( MN ) 2 2 5 5 1 5 )2 ? ( 2 5 )2 , 得

?5 ? M ? (

m ? 4 …………………………10

22、 (1)解:

5

1 1 1 Sh ? ? ? ( AD ? BC ) ? AB ? SA 3 3 2 1 1 1 ? ? ( ? 1) ? 1 ? 1 ? 6 2 4 ………………4 (2)证明: ? SA ? 面ABCD,BC ? 面ABCD, v?

? SA ? BC
……………………………………5 又? AB ? BC,SA ? AB ? A,
? BC ? 面SAB

? BC ? 面SAB

………………………………7 …………………………8

? 面SAB ? 面SBC

(3)解:连结 AC,则 ?SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角。 在三角形 SCA 中,SA=1,AC=

1 ?1 ? 2,
2 2

………10

6

l 必修二复习题二
经过原点和点 A(-2,-2) ,则它的斜率为( A.-1 B.1 ) C. 2 3a
2

) C.1 或-1 D.0

2.各棱长均为 a 的三棱锥的表面积为( A. 4 3a
2

B. 3 3a

2

D. 3a

2

3. 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次 分别为( )

正视图

侧视图

正视图 ·

侧视图

俯视图

俯视图 (1)

(2)

正视图

侧视图

正视图

侧视图

俯视图 (3)

俯视图 (4)

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 ) D.2

4.经过两点(3,9) 、 (-1,1)的直线在 x 轴上的截距为( A. ?

3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

5.已知 A(1,0,2) ,B(1, ? 3, 1) ,点 M 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离相等,则 M 点坐标为( )

7

A. ( ? 3 ,0,0)

B. (0, ? 3 ,0)

C. (0,0, ? 3 ) )

D. (0,0,3)

6.如果 AC<0,BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )
2

7.已知圆心为 C(6,5) ,且过点 B(3,6)的圆的方程为( A. ( x ? 6) ? ( y ? 5) ? 10
2 2 2

B. ( x ? 6) ? ( y ? 5) ? 10 D. ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10
2 2

C. ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10
2 2

8.在右图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 则异面直线 AC 和 MN 所成的角为( A.30° C.90° 9.给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( A.0 个 ) C.2 个
2
2


A1

D1 B1 D

C1 N C B M

B.45° D. 60°
A

B.1 个
2 2

D.3 个

10.点 P( x0 , y 0 ) 在圆 x ? y ? r 内,则直线 x0 x ? y 0 y ? r 和已知圆的公共点的个数 为( A.0 ) B.1 C.2 D.不能确定

二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11.已知原点 O(0,0) ,则点 O 到直线 x+y+2=0 的距离等于 .

8

○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / /

12.经过两圆 x ? y ? 9 和 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 8 的交点的直线方程
2 2 2 2

13.过点(1,2) ,且在两坐标轴上截距相等的直线方程 14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、 .. 圆锥、球的体积之比为 .



M

T

线 ○ 订





15.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ; ②若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ;

○ ○ 装 不



线

④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ; 其中正确命题的序号是 . (把你认为正确命题的序号都填上)

○ 密 封

三、解答题(5 道题,共 40 分) 16. (本大题 6 分)如图是一个圆台形的纸篓(有底无盖) ,它的母线长为 50cm,两底面


/ / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○

直径分别为 40 cm 和 30 cm;现有制作这种纸篓的塑料制品 50m2,问最多可以做这种纸 篓多少个?

17. (本大题 8 分)求经过直线 L1:3x + 4y – 5 = 0 与直线 L2:2x – 3y + 8 = 0 的交点 M,

9

且满足下列条件的直线方程 (1)与直线 2x + y + 5 = 0 平行 ; (2)与直线 2x + y + 5 = 0 垂直;

18. (本大题 8 分)求圆心在 l1 : y ? 3x ? 0 上,与 x 轴相切,且被直线 l 2 : x ? y ? 0 截得弦 长为 2 7 的圆的方程.

19. (本大题 8 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1).证明: AD ? D1 F ; (2). 求 AE 与 D1F 所成的角; (3). 设 AA1=2,求点 F 到平面 A1ED1 的距离. A1 E D F A B C D1 B1 C1

20. (本大题 10 分)已知方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐标 原点)求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

参考答案
10

一、选择题: 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 D 9 B 10 A

二、填空题: 11. 2 12. 三、 解答题: 16.解: S ? ? (r ? r l ? rl ) -----------1 分
'2 '

4 x+3y+13=0 13. y ? 2 x, y ? x ? 3 14.3:1:2.15.

①④

= ? (15 ? 15 ? 50 ? 20 ? 50)
2

=0.1975 ? (m ) ----------3 分
2

n?

50 ? 80(个)-------5 分 S

答: (略)--------6 分 17.解: ?

?3 x ? 4 y ? 5 ? x ? ?1 解得 ? --------2 分 ? 2 x ? 3 y ? ?8 ?y ? 2

所以交点(-1,2) (1) k ? ?2 -----3 分 直线方程为 2 x ? y ? 0 --------5 分 (2) k ?

1 ---------6 分 2

直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 --------8 分 18.解:由已知设圆心为( a,3a )--------1 分 与 x 轴相切则 r ? 3a ---------2 分 圆心到直线的距离 d ?

2a 2

----------3 分

弦长为 2 7 得: 7 ?

4a 2 ? 9a 2 -------4 分 2

解得 a ? ?1---------5 分 圆心为(1,3)或(-1,-3) , r ? 3 -----------6 分

11

圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 ---------7 分
2 2

或 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 ----------8 分
2 2

19.证明: (1). ? 正方体 ABCD-A1B1C1D1,

? AD ? 面DD1C1C , D1 F ? 面DD1C1C ,

? AD ? D1 F .

-------------------2 分 可证; A1 P ? AE ,

(2) 取 AB 的中点,并连接 A1P, 易证 ?A1 AP ? ?ABE ,

即 AE ? D1 F ,所以 AE 与 D1F 所成的角为 90?. -------------------4 分 (3) 取 CC1 中点 Q, 连接 FQ,? FQ // A1 D1 又作 FH ? 平面A1 FQD , 又? FH ? D1Q, FH ? FQ, ? FH ? 平面FQD1 A1 , 所以 FH 即为 F 到平面 FQD1A1 的距离, -------------------6 分 解得: FH ?

3 5 , 5 3 5 . -------------------8 分 5

所以 F 点到平面 A1ED1 的距离为

20.解: (1) x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

D=-2,E=-4,F= m

D 2 ? E 2 ? 4F =20- 4m ? 0
m ? 5 …………2 分
(2) ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0

x ? 4 ? 2 y 代入得

5 y 2 ? 16 y ? 8 ? m ? 0 ………..3 分

y1 ? y 2 ?
∵OM ? ON

16 8?m , y1 y 2 ? 5 5

……………4 分

得出: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ……………5 分 ∴ 5 y1 y 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 ∴m ?

8 5

…………….7 分

12

(3)设圆心为 (a, b)

a?

x1 ? x 2 4 y ? y1 8 ? ,b ? 1 ? 2 5 2 5
4 5 …………9 分 5

…………….8 分

半径 r ?

圆的方程 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

4 5

8 5

16 5

……………10 分

必修二复习题三 一、选择题
13

1. 倾斜角为 135?,在 y 轴上的截距为 ? 1的直线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

) D. x ? y ? 1 ? 0 )

2. 原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则直线 l 的方程是 ( A. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0

3. 如果直线 l 是平面 ? 的斜线,那么在平面 ? 内( ) A.不存在与 l 平行的直线 B.不存在与 l 垂直的直线 C.与 l 垂直的直线只有一条 D.与 l 平行的直线有无穷多条 4. 过空间一点作平面,使其同时与两条异面直线平行,这样的平面( ) A.只有一个 B.至多有两个 C.不一定有 D.有无数个 5. 直线 ax ? 3 y ? 9 ? 0 与直线 x ? 3 y ? b ? 0 关于原点对称,则 a, b 的值是 ( A. a =1, b = 9 C. a =1, b =-9 B. a =-1, b = 9 D. a =-1, b =-9 ) )

6. 已知直线 y ? kx ? b 上两点 P、Q 的横坐标分别为 x1 , x 2 ,则|PQ|为 (
2 A. x1 ? x 2 ? 1 ? k

B. x1 ? x 2 ? k D.

C.

x1 ? x 2 1? k
2

x1 ? x 2 k

7. 直线 l 通过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为 6,则直线 l 的方程 是 ( ) A. 3 x ? y ? 6 ? 0 C. x ? 3 y ? 10 ? 0 B. 3 x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 8 ? 0

8. 如果一个正三棱锥的底面边长为 6,则棱长为 15 ,那么这个三棱锥的体积是( ) A.

9 2
27 2

B. 9

C.

D.

9 3 2

9. 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积 是 ( ) A.

100? cm3 3

B.

208? 3 cm 3

14

C.

500? 3 cm 3

D.

416 3? cm3 3

10. 在体积为 15 的斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,S 是 C1C 上的一点,S-ABC 的体积为 3, 则三棱锥 S-A1B1C1 的体积为 ( ) A.1 C.2

3 B. 2 D.3
A

A1

C1

B1

S

11. 已知点 A(2,?3) 、 B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的取值 k 范围是 ( )

C B

3 A. k ? 或 k ? ?4 4 3 C. ? 4 ? k ? 4
A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0

3 1 B. k ? 或 k ? ? 4 4 3 D. ? k ? 4 4
B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

12. 过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( )

二、填空题:
13. 过点 P(2,3) 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是____________. 14. 过点(-6,4),且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程是___________. 15. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BC1 与平面 BB1D1D 所成 的角是 . 16. 已知两点 A(?1,2) , B(2,?1) ,直线 x ? 2 y ? m ? 0 与线 段 AB 相交,则 m 的取值范围是 . 17. 如图,△ABC 为正三角形,且直线 BC 的倾斜角是 45°, 则直线 AB, ,AC 的倾斜角分别为: ? AB ? __________,

? AC ? ____________.
18. 正 四面 体( 所有 面都 是等 边三 角形 的三 棱锥 )相 邻两 侧面 所成 二面 角的 余弦 值 是 .

三、解答题:
19. 已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是 x+y+1=0 和 3x-y+4=0, 它的对 角线的交点是 M(3, 0), 求这个四边形的其它两边所在的直线方程. 20 正三棱台的上、下底边长为 3 和 6.
15

(Ⅰ)若侧面与底面所成的角是 60° ,求此三棱台的体积; (Ⅱ)若侧棱与底面所成的角是 60° ,求此三棱台的侧面积;

20. 在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,∠A 的平分线所在直 线的方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标. .

16

21. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 M 为棱 AB 的中点. (Ⅰ)AC1//平面 B1MC; (Ⅱ)求证:平面 D1B1C⊥平面 B1MC.

22. 如图, 射线 OA 、 过点 P(1,0) 作直线 AB 分别与 OA 、 OB 分别与 x 轴成 45 角和 30 角,

?

?

OB 交于 A 、 B . (Ⅰ)当 AB 的中点为 P 时,求直线 AB 的方程; 1 (Ⅱ)当 AB 的中点在直线 y ? x 上时,求直线 AB 的方程. 2

17

参考答案
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 11 A 12 A

13. x ? y ? 5 ? 0 , 3x ? 2 y ? 0 15.30° 16. [?4,5]

14. 2 x ? y ? 16 ? 0 17.105°;165° 18.

1 3

19. x ? y ? 7 ? 0 和 3x ? y ? 22 ? 0 .

20. (Ⅰ) h ?

1 3 63 3 3 ? h(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ,V ? ? . 3 4 8 2

(Ⅱ) h ? 3 , h ' ? 21.由 ? ∴

39 1 27 39 27 39 ? ? , S ? (3a ? 3b)h ' ? . 2 2 2 4 2

?y ? 0 ?x ? 1 得? ,即 A 的坐标为 (?1,0) , ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? y ? 0

k AB ?

2?0 , 又∵ x 轴为∠BAC 的平分线,∴ 1?1


k AC ? ?k AB ? ?1 ,

又∵ 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 为 BC 边上的高, 设 C 的坐标为 (a, b) ,则

k BC ? ?2 .

b b?2 ? ?1 , ? ?2 , a ?1 a ?1

解得 a ? 5 , b ? 6 ,即 C 的坐标为 (5,6) . 22. (Ⅰ)MO//AC1; (Ⅱ)MO∥AC1,AC1⊥平面 D1B1C ,MO⊥平面 D1B1C ,平面 D1B1C⊥平面 B1MC. 23.解: (Ⅰ)由题意得,OA 的方程为 y ? x ,OB 的方程为 y ? ?

3 x ,设 A(a, a) , 3


B(? 3b, b) 。∵ AB 的中点为 P(1,0) , ∴

?a ? 3b ? 2 ? ? a?b ? 0

a ? 3 ?1,



k AB ?

3 ?1 3?2

? ? 3 ? 1 即 AB 方程为

( 3 ? 1) x ? y ? 3 ? 1 ? 0

(Ⅱ)AB 中点坐标为 (

a ? 3b a ? b 1 , ) 在直线 y ? x 上, 2 2 2

18



a ? b 1 a ? 3b ,即 a ? ?(2 ? 3 )b ? ? 2 2 2





k PA ? k PB ,



a b ? a ? 1 ? 3b ? 1
3? 3 , 2



由①、②得 a ? 3 ,则 k AB ?

所以所求 AB 的方程为 (3 ? 3 ) x ? 2 y ? 3 ? 3 ? 0

19

必修二复习题四
一、选择题.本大题共 10 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分 别为( )

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 2.几何体的三视图如图,则几何体的体积为( A.

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 ) D.

? 3

B.

2? 3

C. ?

4? 3

3.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是( ) A.平行 B.相交且垂直 C. 异面 D.相交成 60° 4.若三点 A(2,3), B(5,0), C (0, b)(b ? 0) 共线,则 b ? ( A.2 A. y ? 2 x ? 5 C. y ? ? B.3 C.5 ) B. y ? 2 x ? 5 D. y ? ? ) D.1

5.与直线 l : y ? 2 x 平行,且到 l 的距离为 5 的直线方程为(

1 5 x? 2 2

1 5 x? 2 2
) D. (?1, ?2) )

6.若点 (k ,0) 与 (b,0) 的中点为 (?1,0) ,则直线 y ? kx ? b 必定经过点( A. (1, ?2) B. (1, 2) C. (?1, 2)

7. 已知菱形 ABCD 的两个顶点坐标:A(?2,1), C (0,5) , 则对角线 BD 所在直线方程为 ( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

20

8. 一个长方体,其正视图面积为 6 ,侧视图面积为 3 ,俯视图面积为 2 ,则长方体的 对角线长为( A. 2 3
2

) B. 3 2
2

C.6 )
2 2

D. 6
2

9.圆心为 (11) , 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是( A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 2

B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

10.由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引切线,则切线长的最小值为( A.1 B. 2 2 C. 7 D.3



二、填空题:本大题共 4 小题. 11. 直线 x ? ay ? a ? 0 与直线 ax ? (2a ? 3) y ? 0 垂直,则 a = 12.已知正四棱台的上下底面边长分别为 2,4,高为 2,则其斜高为
?

. .

13.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为 45 ,腰和上底 均为 1. 如图,则平面图形的实际面积为 .

14. 设 集 合 M ? ( x, y ) x ? y ≤4 , N ? ( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ≤r (r ? 0)
2 2 2 2 2

?

?

?

?

.当

M ? N ? N 时,则正数 r 的取值范围

.

三、解答题:本大题共 6 小题.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15 . 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 三 个 顶 点 坐 标 :

A(0, 0), B(3, 3), C (4, 0) .
⑴ 求边 CD 所在直线的方程(结果写成一般式) ; ⑵ 证明平行四边形 ABCD 为矩形,并求其面积.

21

16. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,M、N 分别是 AB、PC 的中点, 且 MN ? PC,MN ? AB .证明:平面 PAD⊥平面 PDC.

17. 如图,已知直线 l1 : 4 x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 1 ? 0 以及 l 2 上一点 P(3, ?2) .求圆心在

l1 上且与直线 l 2 相切于点 P 的圆的方程.

18. 已知正四棱锥 P-ABCD 如图. ⑴ 若其正视图是一个边长分别为

3、 3、 2 的等腰三角形, 求其表面积 S、 体积 V;

⑵ 设 AB 中点为 M,PC 中点为 N,证明:MN//平面 PAD.

22

19.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. ⑴ 求证: BD ? AE ; ⑵ 求证: AC // 平面 B1DE ;⑶.求三棱锥 A ? B1DE 的体积.

20.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 .
2 2

⑴ ⑵

证明:不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交; 当 k 取何值时,圆 C 被直线 l 截得的弦长最短?并求最短的弦的长度.

23

参考答案
一、选择题.本大题共 10 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. A 7. A 8. D 9. A 10.C 二、填空题:本大题共 4 小题. 11. 0 或 2 12.

5

13. 2 ? 2

14. 0 ? r≤2 ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 【解】⑴. 过 A, B 两点的直线的斜率 k AB ?

3 3 , CD // AB ,∴ kCD ? k AB ? , 3 3
3 ( x ? 4) ,即 x ? 3 y ?4 ?0 . 3

又因直线过点 C (4,0) , ∴ CD 所在直线的方程为: y ? 0 ?

⑵. 可求 | AB |? 2 3,| BC | ? 2 ,故矩形 ABCD 的面积 S ABCD ?| AB | ? | BC |? 4 3 .

16.

1 【证明】设 PD 中点为 H,连接 NH、AH,则 NH 是三角形 PCD 的中位线, NH // CD , ? 2 1 而 MA // CD ,故 MA // NH ,四边形 AMNH 为平行四边形, AH // MN . ? 2 ? 而 MN ? AB,DC // AB ,故 MN ? DC ,又 MN ? PC,PC ? DC ? C ,
故 MN ? 平面 PCD,而 AH // MN ,故 AH ? 平面 PCD, AH ? 平面 PAD,故平面 PAD⊥平面 PDC. 17. 【解】设圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,依题意, b ? ?4a . 设直线 l 2 的斜率 k 2 ? ?1 ,过 P, C 两点的直线斜率 k PC ,因 PC ? l2 ,故 kPC ? k2 ? ?1 , ∴ k PC ?

?2 ? (?4a) ? 1,解得 a ? 1, b ? ?4 . r ?| PC |? 2 2 . 3? a
2 2 2

所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? (2 2) . 18.

24

【解】⑴. 设 CD 中点为 E,则正四棱锥的正视图为三角形 PME. 依题意, PM ? 3、PE ? 3、ME ? 2 ,

1 ? 故几何体的表面积 S= 4 ? ? ? ? 2? 3 ? ? 2? 2 ? 4 3 ? 4 , 2 ? ?
体积 V=

1 ? 4? 3

? 3?

2

? 12 ?

4 2 . 3

⑵. 设 PD 中点为 F,连接 NF,AF.

1 则 NF 为三角形 PCD 的中位线,故 NF // CD , ? 2 // 1 CD ,故 NF // MA ,四边形 MNFA 为平行四边形, MA ? ? 2

MN // AF , MN ? 平面 PAD, AF ? 平面 PAD,故 MN//平面 PAD.
19.

【证明】连接 BD,AE. 因四边形 ABCD 为正方形,故 BD ? AC , 因 EC ? 底面 ABCD, BD ? 面 ABCD,故 EC ? BD ,又 EC ? AC ? C , 故 BD ? 平面 AEC , AE ? 平面 AEC ,故 BD ? AE . ⑵. 连接 AC1 ,设 AC1 ? B1D ? G ,连接 GE , 则 G 为 AC1 中点,而 E 为 C1C 的中点,故 GE 为三角形 ACC1 的中位线,

AC // GE , GE ? 平面 B1DE , AC ? 平面 B1DE ,故 AC // 平面 B1DE .
⑶. 由⑵知,点 A 到平面 B1DE 的距离等于 C 到平面 B1DE 的距离, 故三棱锥 A ? B1DE 的体积 VA? B1DE ? VC ?B1DE ,

25

2 1 2 ? 而 VC ?B DE ? VD?B CE ? 1 ? S B CE ? DC ? 1 ? ? ? ?1? 2 ? ? 2 ? ,三棱锥 A ? B1DE 的体积为 3 . 1 1 1 3 3 ?2 3 ?
20.⑴. 【证明】 方法一:圆 C 的方程可化为: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2 ,圆心为 C (3, 4) ,半径 r ? 2 .
2 2 2

直线 l 的方程可化为: y ? k ( x ? 4) ? 3 ,直线过定点 P(4,3) ,斜率为 k . 定点 P(4,3) 到圆心 C (3, 4) 的距离 d ?

(4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? r ,

∴定点 P(4,3) 在圆 C 内部,∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交. 方法二:圆 C 的方程可化为: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2 ,圆心为 C (3, 4) ,半径 r ? 2 .
2 2 2

圆心 C (3, 4) 到直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 的距离 d ?

| ?k ? 1| k 2 ?1



d2 ?
2

k 2 ? 1 ? 2k 2k 2k 2 2 2 ,因 ? k ? 1? ? 2k ? ? k ? 1? ≥0 , k ? 1 , ? 1? 2 ≥2k ,1≥ 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

故 d ? 1?

2k ≤2 ? 4 ? r 2,d ? r ,∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交. 2 k ?1
| ?k ? 1| k 2 ?1

⑵. 圆心 C (3, 4) 到直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 的距离 d ?

2k ? ? C 被直线 l 截得的弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? ?1 ? 2 ? , ? k ?1?
当 k ? 0 时,弦长 ? 2 3 ; 当 k ? 0 时,弦长 ? 2 3 ?

2 1 k? k

,下面考虑先求函数 y ? k ?

1 的值域. k

由函数知识可以证明:函数在 (??, ? 1) 上单调递增,在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0, 1) 上单调 递减,在 (1 , , ? ?) 上单调递增(证明略) 故当 k ? 0 时,函数在 k ? ?1 处取得最大值-2;当 k ? 0 时,函数在 k ? 1 处取得最小值 2.

1 ≤? 2 , k 1 1 1 1 故0 ? ≤ 或? ≤ ? 0 ,可得 1 2 1 2 k? k? k k
即 k ? ≥2 或 k ?
26

1 k

?1≤ ?

2

1 1 k? k? k k 2 2 2≤3 ? ≤4 且 3 ? ? 3, 1 1 k? k? k k
2 2≤2 3 ? 2 1 k? k ≤4 且 2 3 ?

? 0 或0 ? -

2

≤1 ,即 ?1≤ ?

2 1 k? k

≤1 且 ?

2 1 k? k

? 0,

2 1 k? k

?2 3.

综上,当 k ? 1 时,弦长取得最小值 2 2 ;当 k ? ?1 时,弦长取得最大值 4.

27


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