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2013数学高考题分类选编解三角形


2013 年高考数学试题分类汇编及 答案解析(解三角形)



名:

沈金鹏 数学学院 数学与应用数学

院 、 系: 专 业:

2015 年 10 月 10 日

正弦定理和余弦定理
一、选择题 1.(2013·北京高考文科·T5)在△ ABC 中,a=3,b=5,sinA=

1 ,则 sinB=( 3

)

A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

D.1

【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。

a b 3 5 5 ? , 所以 ? , 所以sin B ? 1 sin A sin B sin B 9 【解析】选 B。由正弦定理得 。 3
2.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T4) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

b ? 2,B ?
A. 2 3 ? 2

?
6

,C ?

? ,则 ?ABC 的面积为( 4
C. 2 3 ? 2

) D. 3 ? 1

B. 3 ? 1

【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】选 B.因为 B ?

?
6

,C ?

?
4

,所以 A ?

7? .由正弦定理得 12

b sin

?
6

?

c sin

?
4

,解得

1 1 7? c ? 2 2 。所以三角形的面积为 bc sin A ? ? 2 ? 2 2 sin . 2 2 12
因为 sin

7? ? ? 3 2 2 1 2 3 1 ? sin( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ), 12 3 4 2 2 2 2 2 2 2

所以

1 2 3 1 bc sin A ? 2 2 ? ( ? ) ? 3 ? 1 ,选 B. 2 2 2 2

3.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,

b , c , 23cos2 A ? cos2 A ? 0 , a ? 7 ,c=6,则 b ? (
A.10 B.9 C.8 D.5



2 【解题指南】由 23cos A ? cos 2 A ? 0 ,利用倍角公式求出 cos A 的值,然后利用正弦定

理或余弦定理求得 b 的值. 【解析】选 D.因为 23cos A ? cos 2 A ? 0 ,所以 23cos A ? 2 cos A ? 1 ? 0 ,解得
2 2 2

cos 2 A ?

1 , 25
1 2 6 , sin A ? . 5 5

方法一:因为△ABC 为锐角三角形,所以 cos A ?

由正弦定理

a c 7 6 ? ? 得, . sin A sin C 2 6 sin C 5

sin C ?

19 12 6 , cos C ? .又 B ? ? ? ( A ? C ) , 35 35

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ,

sin B ?

a b 7 b 2 6 19 1 12 6 50 6 ? ? .由正弦定理 得, , 解 ? ? ? ? sin A sin B 5 35 5 35 175 2 6 50 6 5 175

得b ? 5.
2 2 2 方法二:由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A , cos A ?

1 1 2 ,则 b ? 36 ? 12b ? ? 49 ,解 5 5

得b ? 5 4.(2013·陕西高考文科·T9) 【备注: (2013·陕西高考理科·T7)与之题干相同】 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形 状为 ( ) B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

A. 直角三角形

【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角 的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以 sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形 ABC 是直角三角形. 5.(2013·安徽高考文科·T9) 【备注: (2013·安徽高考理科·T12)与之题干相同】 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,则 3sinA=5sinB,则角 C= ( A. )

π 3

B.

2π 3

C.

3π 4

D.

5π 6

【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。

5 ? a? b ? ?b ? c ? 2a ? 3 ?? 【解析】选 B.由题设条件可得 ? ,由余弦定理得 ?3a ? 5b ?c ? 7 b ? 3 ?

5 7 ( b) 2 ? b 2 ? ( b) 2 2π a ?b ?c 1 3 。 cos ?C ? ? 3 ? ? ,所以∠C = 5 3 2ab 2 2 ? b2 3
2 2 2

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 6.(2013· 山东高考文科· T7) 若 B ? 2A,
a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? ( )
A. 2 3 B. 2 C. 2 D.1

【解析】选 B.由 B ? 2 A ,则 sin B ? sin 2 A ,由正弦定理知

a b ? ,即 sin A sin B

? ? 3 1 3 3 3 ,所以 cosA= ,所以 A= , B ? 2 A ? ,所 ? ? ? 6 3 2 sin A sin B sin 2 A 2 sin A cos A
以C ? ? ? B ? A ?

?
2

,所以 c ? a ? b ? 1 ? 3 ? 4 ,c=2.
2 2 2

7.(2013·湖南高考理科·T3)在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若

2a sin B ? 3b, 则角A等于(
A.

) C.

? 12

B.

? 6

? 4

D.

? 3

【解题指南】本题先利用正弦定理

a b ? 化简条件等式,注意条件“锐角三角形” . sin A sin B

【解析】选 D.由 2asinB= 3 b 得 2sinAsinB= 3 sinB,得 sinA= 8. (2013·天津高考理科·T6)在△ ABC 中, ?ABC ? ( ) A.
10 10

? 3 ,所以锐角 A= . 3 2

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

B.

10 5

C.

3 10 10

D.

5 5

【解题指南】先由余弦定理求 AC 边长,然后根据正弦定理求值. 【解析】选 C. 在△ ABC 中,由余弦定理得,

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos

?
4

? 2 ? 9 ? 2? 2 ? 3?

2 2

? 5, 所以 AC ? 5, 由正弦定理得

3 10 5 3 AC BC . ? , 所以 sin?BAC ? ? ,即 ? 10 sin A sin B sin A sin 4

9. (2013·湖南高考文科·T5)在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB= 3 b,则角 A 等于( ) A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12

【解题指南】本题先利用正弦定理

a b ? 化简条件等式,注意条件“锐角三角形” . sin A sin B

【解析】选 A.由 2asinB= 3 b 得 2sinAsinB= 3 sinB,得 sinA= 二、填空题

? 3 ,所以锐角 A= . 3 2

10.(2013·浙江高考理科·T16)在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点.若 sin ?BAM ? 则 sin∠BAC= .

1 , 3

【解题指南】分别在 Rt△ABC 和△ABM 中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】设 AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM 中由正弦定理得

1 a c 2 ①, ? sin ?BAM sin ?BMA
因为 sin ?BMA ? sin ?CMA ?

AC , AM
2

又 AC ? b ? c2 ? a2 , AM ? b ?

1 2 3 a ? c 2 ? a 2 ,所以 sin ?BMA ? 4 4

c2 ? a2 . 3 2 2 c ? a 4

1 a 又由①得 2 ? 1 3

c c ?a 3 c2 ? a2 4
2 2

,两边平方化简得 4c4-12a2c2+9a4=0,所以 2c2-3a2=0,

所以 sin ?BAC ?

a 6 ? . c 3

【答案】

6 3

11. ( 2013 ·上海高考理科· T4 )已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对应边分别为 a,b,c, 若

3a2+2ab+3b2-3c2=0,则角 C 的大小是

(结果用反三角函数值表示).

【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0?c2=a2+b2+ ab,故 cos C ? ? , C ? ? ? arccos 【答案】 ? ? arccos

1 3

1 . 3

1 3

12.(2013·上海高考文科·T5)已知 ? ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 a2+ab+b2-c2=0,则角 C 的大小是
2 2 2

.

a2 ? b2 - c2 ?1 2 ? ?C ? ? 【解析】 a ? ab ? b - c ? 0 ? cosC ? 2ab 2 3
【答案】

2 ? 3

三、解答题 13. (2013·大纲版全国卷高考文科·T18)与(2013·大纲版全国卷高考理科·T18)相 同 设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (I)求 B ; (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

【解题指南】 (I)由条件 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 确定求 B 应采用余弦定理. (II)应用三角恒等变换求出 A ? C 及 A ? C 的值,列出方程组确定 C 的值. 【解析】 (I)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ?ac .所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

由余弦定理得 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,因此 B ? 120? . 2ac 2
?

(II)由(I)知 A ? C ? 60 ,所以 cos(A ? C ) ? cos A cosC ? sin A sin C

? cos A cos C ? sin A sin C + 2sin A sin C
? cos(A ? C) ? 2 sin Asin C

?

3 1 3 ?1 ? ? 2? . 2 2 4
? ?
?

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 ,因此 C ? 15 或 C ? 45

?

14. (2013·新课标Ⅰ高考理科·T17)如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 , AB ? 3 ,
?

BC ? 1 , P 为 ?ABC 内一点, ?BPC ? 90? .

(Ⅰ)若 PB ?

1 ,求 PA ; 2
?

(Ⅱ)若 ?APB ? 150 ,求 tan ?PBA . 【解析】由已知得, ?PBC ? 60 ,
?

所以 ?PBA ? 30 .
?

在 ?PBA ,由余弦定理得

PA 2 ? 3 ?

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30 ? ? ,故 PA ? . 4 2 4 2

(Ⅱ)设 ?PBA ? ? ,由已知得 PB ? sin ? , 在 ?PBA 中,由正弦定理得

3 sin ? ,化简得 3 cos? ? 4 sin ? ,所以 ? ? sin 150 sin(30? ? ? )

tan? ?

3 3 ,即 tan ?PBA ? . 4 4

15. (2013·天津高考文科·T16)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知
b sin A ? 3c sin B , a = 3, cos B ?

2 . 3

(Ⅰ) 求 b 的值;

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?
【解题指南】(Ⅰ)根据正弦定理及 b sin A ? 3c sin B , a = 3 求出 a,c 的值,再由余弦定理求 b 的值; (Ⅱ)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出 cos 2 B , sin 2 B ,再由两角差的正弦 公式求值.

【解析】(Ⅰ) 在△ABC 中,由正弦定理得

a b ,即 b sin A ? a sin B ,又由 ? sin A sin B 2 3

b sin A ? 3c sin B ,可得, a ? 3c ,又 a = 3,故 c=1,由 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 且 cos B ? , 可

得 b ? 6.
5 2 (Ⅱ)由 cos B ? ,得 sin B ? ,进而得到 3 3 4 5 1 . cos 2B ? 2cos2 B ? 1 ? ? , sin 2 B ? 2sin B cos B ? 9 9

?? ? ? 4 5? 3 ? . 所以 sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? 3? 3 3 18 ?
16.(2013·浙江高考文科·T18)与(2013·浙江高考理科·T18)相同 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3 b. (1)求角 A 的大小. (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 【解题指南】(1)由正弦定理易求角 A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解. 【解析】(1)由 2asinB= 3 b 及正弦定理 因为 A 是锐角,所以 A ?

a b 3 ? ,得 sinA= , sin A sin B 2

?
3

.

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又 b+c=8,所以 bc ?

28 , 3

由三角形面积公式 S=

1 7 3 bcsinA,得△ABC 的面积为 . 2 3

17.(2013·江西高考理科·T16)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已 知错误!未找到引用源。. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围. 【解题指南】(1)借助三角形内角和为 ? ,结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含 B 的方程,求出 B 的三角函数值,进而可求出角 B.(2)根据(1)求出的 B 与 a ? c ? 1 ,由 余弦定理可得 b2 关于 a 的函数,注意到 a ? c ? 1 可知 0 ? a ? 1 ,进而可求出 b 的范围. 【解析】 (1)由已知得 ? cos(A ? B) ? cos Acos B ? 3sin Acos B ? 0 ,即

sin Asin B ? 3sin Acos B ? 0 .因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,
所以 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2 2 2

? . 3
1 ,所以 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B ,因为 a ? c ? 1 , cos B ?

1 1 1 1 b 2 ? 3(a ? ) 2 ? ,又因为 0 ? a ? 1 ,所以 ? b 2 ? 1 ,即 ? b ? 1 . 2 4 4 2
18. (2013·江西高考文科·T17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C=

a 2? 错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。 的值. b 3

【解题指南】 (1)先利用二倍角公式把角 2B 化为角 B,再进行角化边的处理; (2)借助第 (1)问的结果结合余弦定理进行求解. 【解析】(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为 sinB ? 0 ,所以 sinA+sinC=2sinB,由正弦 定理可知 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. (2) 由 C=

2? a 3 , c=2b-a 及余弦定理得 (2b ? a)2 ? a 2 ? b2 ? ab , 即有 5ab ? 3b 2 ? 0 , 所以 ? . b 5 3

19.(2013·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 【解题指南】 (1)由条件可以看出,已知两角关系求角,可以利用正弦定理解决问题; (2) 由已知两边和角求第三边,所以应用余弦定理求解。 【解析】 (1)由正弦定理得

a b 3 2 6 3 2 6 ? ? ? ,所以 , , sin A sin B sin A sin 2 A sin A 2sin A cos A

即 cos A ?

6 . 3
2 2 2

(2)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 3 ? (2 6) ? c ? 2 ? 2 6c ?
2 2 2

6 , 3

即 c ? 8c ? 15 ? 0 ,解得 c ? 5 或 c ? 3 (舍) 。
2

20.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB.

(1)求 B. (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【解题指南】(1)将 a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得 B. (2)利用角 B、边 b 将△ABC 面积表示出来,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC≠0, 所以 tanB=1,解得 B=

? . 4

(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos

? ,即 4=a2+c2- 2 ac,由不等式得 a2+c2≥2ac,当且仅当 a=c 4
1 ? 2 acsin ≤ × 2 4 4

时,取等号,所以 4≥(2- 2 )ac,解得 ac≤4+2 2 ,所以△ABC 的面积为

(4+2 2 )= 2 +1.所以△ABC 面积的最大值为 2 +1. 解三角形应用举例 一、填空题 1. (2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC, sin∠BAC= 错误!未找到引用源。,AB= 3 2 ,AD=3,则 BD 的长为 .

【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理. 【解析】sin∠BAC=错误!未找到引用源。= sin(

?
2

? ?BAD ) =cos∠BAD,

在△BAD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2× 3 2 ×3× 所以 BD=错误!未找到引用源。. 【答案】错误!未找到引用源。 二、解答题

2 2 =3, 3

2.(2013·重庆高考理科·T20)在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c , 且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

【解题指南】 直接利用余弦定理可求出 C 的值, 由和差公式及 C 的值通过化简可求出 tan ? 的值. 【解析】 (Ⅰ)因为 a ? b ? 2ab ? c
2 2 2

3? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab 2 ? ?? .故C ? 由余弦定理有 cosC ? . 4 2ab 2ab 2
(Ⅱ)由题意得

(sin? sin A ? cos? cos A)(sin? sin B ? cos? cos B) 2 ? . 2 5 cos ? 2 . 5

因此 (tan? sin A ? cos A)(tan? sin B ? cos B) ?

(tan? sin A ? cos A)(tan? sin B ? cos B) ?

2 . 5 2 .① 5

tan2 ? sin A sin B ? tan? sin( A ? B) ? cos A cos B ?
3? ? 2 , A ? B ? , 所以 sin( A ? B) ? 4 4 2

因为 C ?

因为 cos(A ? B) ? cos A cos B ? sin Asin B, 即

3 2 2 ? sin A sin B ? , 5 2

解得 sin A sin B ?
2

3 2 2 2 ? ? . 5 2 10

由①得 tan ? ? 5 tan? ? 4 ? 0 , 解得 tan ? ? 1 或 tan ? ? 4 . 3. ( 2013 · 重 庆 高 考 文 科 · T 18 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c, 且 a2=b2+c2+ 3 ab. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a= 3 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的值.

【解题指南】 直接利用余弦定理可求出 A 的值,再利用正弦定理求解 S+3cosBcosC 的最大 值,并指出此时 B 的值. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得 cos A ? 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ? 3 ? ? . 2bc 2bc 2

5? . 6 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? , 又有正弦定理及 a ? 3 得 2 1 1 a sin B S ? bc sin A ? ? ? a sin C ? 3 sin B sin C , 2 2 sin A
因此, S ? 3 cos B cosC 所以,当 B ? C ,即 B ?

? 3(sin B sin C ? cosB cosC) ? 3 cos(B ? C).
12 ?

??A

?
12

时, S ? 3cos B cos C 取最大值 3 .

4. (2013·山东高考理科·T17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 【解题指南】 (1) 先由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 可得到 ac 的关系式, 再和已知 a+c=6
2 2 2

7 . 9

联立方程,可得 a, c 的值; (2 )由 sin? A ? B? ? sin A cosB ? cos A sin B 知,需先求出 sinA,sinB,cosA,cosB 的值,可先利用同角三角函数基本关系式求出 sinB,然后由正弦定理求 出 sinA,进而求得 cosA,从而本题得解. 【解析】 (1)由与余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b2 ? ?a ? c? ? 2ac?1 ? cos B?
2 2 2

2

又 a+c=6,b=2,cosB=

7 ,所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 9
2

(2)在△ABC 中, sin B ? 1 ? cos B ?

4 2 , 9

由正弦定理得 sin A ?

a sin B 2 2 ? . b 3

因为 a=c,所以 A 为锐角. 所以 cos A ? 1 ? sin A ?
2

1 . 3

因此 sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2 2 7 1 4 2 10 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27

5.( 2013·福建高考文科·T 21)如图,在等腰直角 ?OPQ 中, ?POQ ? 90? , OP ? 2 2 , 点 M 在线段 PQ 上.

(I)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (II)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小?
?

并求出面积的最小值. 【解题指南】由等腰知 ?P ? 45 ,此时, ?OPM 可解;第(II)问,按“求什么设什么”列式
?

求解,将面积表达式写出,利用三角函数计算公式求解。 【解析】 (Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 ,
2 2 2 2 由余弦定理得,OM ? OP ? MP ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? ,得 MP ? 4MP ? 3 ? 0 ,解

得 MP ? 1或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ?

OM OP ? , sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ?

同理 ON ? 故 S ?OMN ?

OP sin 45? , sin ? 75? ? ? ?
1 ? OM ? ON ? sin ?MON 2

1 OP2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?
?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?? 2 ? 2 ?
1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4
1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时, sin ? 2? ? 30?? 的最大值 为 1,此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为

8?4 3 .
6.(2013· 江苏高考数学科· T18)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长.

(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 【解题指南】(1)利用正弦定理确定出 AB 的长.(2)先设再建立时间 t 与甲、乙间距离 d 的函 数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件 “使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟” 建立不等式求解. 【解析】(1)在△ABC 中,因为 cosA=错误!未找到引用源。,cosC=错误!未找到引用源。, 所以 sinA=错误!未找到引用源。,sinC=错误!未找到引用源。. 从而 sinB=sin[π-(A+C)] =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =

5 3 12 4 63 ? ? ? ? , 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理 = ,得 sinC sinB AB=

1260 4 AC ×sinC= ? =1040(m). sinB 63 5 65

所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、 乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130tm, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2 × 130t × (100+50t) ×错误!未找到引用源。 =200(37t2-70t+50), 1040 因 0≤t≤ 错误!未找到引用源。,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC AC (3)由正弦定理 错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。,得 BC= × sinA sinB sinB sinA= 12 13

1260 5 ? =500(m). 63 13 65
500 710 1250 625 ? ?v? , ≤3,解得 v 50 43 14

乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 vm/min,由题意得-3≤

1250 625 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在[ , ] 43 14 (单位:m/min)范围内.


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