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平面向量基础练习题[1] 2


平面向量基础练习 1、已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到的向量是_____
2、 下列命题: 若 a ? b , a ? b 。 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同, (1) 则 (2) 终点相同。 若 A ? C (3) B D
??? ? ????
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, c 则 ABCD 是平行四边形。 (4) A C 是平行四边形, AB ? DC 。 若 BD 则 (5) a ?bb ? , a ? c 。 若 则 (6) a / bb/ c , a // c 。 若 , 则

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其中正确的是_______ ? ? ? ? 3、若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______ 4、 (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7)
3 4 ? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? 5、已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____

C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)

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D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? )
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1 2

6、已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值是___ 7、△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 8、已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____
2 2 ? ? ? ? ? ? 9、已知 a ? 2, b ? 5, a?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____
4
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? ? ? ? ? ? ? ? ? 10、已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____
11、已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______ 12、已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______
? ?? ? ?? 1 3 ,则 OF, FQ 夹角 ? 的取值范围是_________ ?S? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14、 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式 k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 , ①用 k 表示 a ? b ; ②求 a ? b 的
? ?
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13、已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若
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? ?? ? ??

最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ? 15、化简:① AB ? BC ? CD ? ___;② AB ? AD ? DC ? ____;③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 16 若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____ ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 17、若 O 是 ? ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ? ABC 的形状为____ ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? 18、若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,设 ??? ? ? ,求 ? 的值。 | PD | ??? ??? ??? ? ? ? ? 19、若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____ ??? ??? ? ? ??? ? 20、已知点 A(2,3), B(5, 4) , C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC(? ? R) ,则当 ? =____时,点 P 在第一、三象限的角平分线上 ? 1 ??? ? ? 21、已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ?
2 ?? 2 ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? 22、已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) ,则合力 F ? F1 ? F2 ? F3 的终点坐标是 ? ???? 1 ??? ? ???? ??? 23、设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ? AB , AD ? 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是_________ 3 2

24、已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0)(1)若 x= 。 若 x∈ [?
1 3? ? , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求 ? 的值 2 8 4 ? ? ?? ? ? 25、已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | =_____

? ,求向量 a 、 c 的夹角; (2) 3

26、如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这 ??? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? 样定义的: OP ? xe1 ? ye2 , 若 其中 e1 , e2 分别为与 x 轴、 轴同方向的单位向量, P 点斜坐标为 ( x, y ) 。 y 则 (1)若点 P 的斜坐标为(2,-2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在 斜坐标系 xOy 中的方程。 27、下列命题中:① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ;③ ( a ? b )2 ?| a |2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? 2 ?2 a ?b b 2 ?2 | a | ? | b | ? | b | ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥ a ? a ;⑦ ? 2 ? ? ;⑧ (a ? b)2 ? a ? b ;
a a
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?

⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。其中正确的是______ ? ? ? ? 28、若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 29、已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______ 30、设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 31、已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ? 32、以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的坐标是________ ? ?? ? ?? ?? ? 33、已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ 34、若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比为_______
??? 1 ??? 35、若 M(-3,-2) ,N(6,-1) ,且 MP ? ? MN ,则点 P 的坐标为_______ 3

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3 4

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36、已知 A(a,0), B(3, 2 ? a) ,直线 y ? ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM ? 2MB ,则 a 等于_______ 37、按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点______ 38、函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos2 x ? 1,则 a =________ 39、若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1)(-3,4) 、 、 (-1,-1) ,则⊿ABC 的重心的坐标为_______ 40、平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______
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1 2

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练习:
??? ??? ???? ? ? 1)在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 ABCD 的形状一定是 (
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2)如果 a , b 是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( ) (A) a ? b (B) a ? b = 1 ) (C) a 2 ? b 2 (D) a ? b )

??? ??? ???? ? ? 3) AB ? BC ? AD ? (
???? A、 AD

??? ? B、 CD

??? ? C、 DB

???? D、 DC
)

??? ? ??? ? ??? ? 4)已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c , 则 a ? b ? c 等于 (
(A) 0 (B) 3 (C) 2 (D) 2 2

5)下列各组的两个向量,平行的是 ? ? A、 a ? (?2,3) , b ? (4,6)

? ? B、 a ? (1, ?2) , b ? (7,14) ? ? a ? (?3, 2) , b ? (6, ?4) D、


? ? a ? (2,3) , b ? (3, 2) C、

6)若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2)(5,7)( ? 3,4) , , ,则第 4 个顶点的坐标不可能是( (A)(12,5) (B)(-2,9) (C) (3,7) (D) (-4,-1) ? ? A(0, m) (m ? 0) ,按向量 a 平移后的对应点的坐标是 (m,0) ,则向量 a 是( ) 7)点 A、 (?m, m) B、 (m,?m) C、 (?m,?m) D、 (m, m)

? ? ? ? 8)已知 a ? (6,0) , b ? (?5,5) ,则 a 与 b 的夹角为
A、 45
0

B、 60

0

C、 135

0

D、 120

0

9)已知 M (3,?2) , N (?1,0) ,则线段 MN 的中点 P 的坐标是________。 10)已知向量 a ? (1, 5) , b ? (?3, 2) ,则向量 a 在 b 方向上的投影为 .

? ? ? ? ? ? ? ? 3? 11)已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b 的夹角为 , (3a ? b) ? (a ? 2b) =__________. 4

12)已知 a ? 3 , b ? 4 ,且向量 a , b 不共线,若向量 a ? k b 与向量 a ? k b 互相垂直,则实数 k 的值为




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