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湖南省省级示范性高中高一数学综合测试题必修1-4


湖南省省级示范性高中高一数学必修 1-4 综合测试题
一:选择题(50 分) 1. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 ( ln x 是以 e ? 2.718... 为底的对数)的零点落在区间( A. (2,2.25) B. (2.25,2.5) C. (2.5,2.75) ) D. [2, ??) )

D. (2.75,3)

r />
2. 函数 y ? ? x2 ? 4x , x ? (0, ??) 的递增区间是( A. (0, 2] B. [2, 4) )个

C. ( ??, 2]

3.下列命题中,错误的个数有(

①.平行于同一条直线的两个平面平行. ③.一个平面与两个平行平面相交,交线平行. 交,则必与另一个平面相交. A 0个 B 1个 C 2个

②.平行于同一个平面的两个平面平行. ④.一条直线与两个平行平面中的一个相 D 3个 ) D. k1<k3<k2

4.若图中直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则有( A. k2<k1<k3 B.k3<k2<k1 C. k2<k3<k1

5. 已知两直线 l1 : (3 ? a) x ? 4 y ? 5 ? 3a 与 l2 : 2 x ? (5 ? a ) y ? 8 互相 平行,则 a 等于( A. ?7或 ? 1 ) B. 7或1 C. ? 7 D. ? 1

6.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ??) 时 f(x)是增函数,则 f (?2), f (? ), f (?3) 的大小关系是( ) (A) f (? ) > f (?3) > f (?2) (C) f (? ) < f (?3) < f (?2) 7.函数 y ? log2 ( x ? 1) 的反函数的图象是( A. y B. y ) C. y D. y (B) f (? ) > f (?2) > f (?3) (D) f (? ) < f (?2) < f (?3)

O -1

x

O -1

x

2 1 O x

2 1 O x

8.假设一部机器在一天内随机发生一次故障,那么在晚上 8 点到 11 点内出故障的概率是 ( ) A、

1 2

B、

1 8

C、

1 12

D、

1 24

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9、 y ?

3 1 cos ? ? sin ? 的最大值为( 2 2
B、



A、

1 2

3 2

C、1

D、2 若a ? b, D、 ?3

10、已知 i ? j ? 1, i ? j 且 a ? 2i ? 3 j, b ? ki ? 4 j, 则 k 的值为( 二:填空题 11、阅读右面的流程图,输出 max 的含义是_______ 12. 给出函数 f ( x) ? ? )A、6 B、 ? 6 C、3

?2 x ? f ( x ? 1)
3

( x ? 3) ( x ? 3)

,则 f (2) ? .



13.函数 y ? log( 的定义域为 ) 2 log 1 x

14.某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意选出一名组长,则其中一名女生小丽 当选为组长的概率是___________。 15.已知 a , b 为不垂直的异面直线, ? 是一个平面,则 a , b 在 ? 上的射影有可能是: ① 两条平行直线; 三:解答题 16、 (08 北京卷 1 题 13 分) .已知函数 f ( x) ? sin
2

②两条互相垂直的直线; ③

同一条直线; ④一条直线及其外一点; (写出所有正确结论的编号)

在上面的结论中,正确结论的编号是

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的 2
? ? 2π ? ? ?

? ?

π?

最小正周期为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

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17 . ( 本小题满分 14 分 ) AB= 3 ,B1B=BC=1,

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

(1)求 D D1 与平面 ABD1 所成角的大小; (2)求面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的大小;

(18) 商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人 数越少。把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件 300 元。现在这种 羊毛衫的成本价是 100 元/ 件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售. 问: (Ⅰ)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (Ⅱ)通常情况下,获取最 大利润只是一种“理想结果” ,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫的标价为每件多 少元?

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19、已知曲线 C:x +y -2x-4y+m=0

2

2

(1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直

→ → 线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且OM·ON = 0 (O 为坐标原点),求 m 的值。

20、甲盒中有一个红色球,两个白色球,这 3 个球除颜色外完全相同,有放回地连续抽取 2 个,每次从中任意地取出 1 个球,用列表的方法列出所有可能结果,计算下列事件的概率。 (1)取出的 2 个球都是白球; (2)取出的 2 个球中至少有 1 个白球

21. (14 分)已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件: [1] 对任意的 x ? [0,1] , 总有 f ( x) ? 0 ; [2] f (1) ? 1 ; [3] 若 x1 ? 0 , 且 x1 ? x2 ? 1 , x2 ? 0 , 则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x ,请解答下列各题: 1)? f ( x 2 )成立,并且称 f ( x ) 为“友谊函数”

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(1)、若已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,求 f (0) 的值; 是否为“友谊函数”?并给出理由.

(2)、函数 g ( x) ? 2 x ? 1在区间 [0,1] 上

(3)已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,假定存在 x0 ? [0,1] ,

使得 f ( x0 ) ?[0,1] 且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 求证: f ( x0 ) ? x0 .

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参考答案 www.dearedu.com
1 C 2 A 3 B 4 A 8 5 C 6 A 13:(0,1) 7 A 14: 1 5 8 C 9 C 10 B

11: a、b、c 中的最大值 12:

15:① ② ④

16 ?(x) ?

3 1 1 π? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 6? 2 ?
2π ? π ,解得 ? ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 2?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以

2π π π 7π π? 1 ? , 所 以 ? ≤ 2x ? ≤ , 所 以 f ( x) ? sin ? 2x ? ? ? . 因 为 0 ≤ x ≤ 3 6 6 6 6? 2 ?

1 π? π? 1 3 ? ? ? 3? ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ,因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 2 6? 6? 2 2 ? ? ? 2?
17 解: (1)连接 A1D 交 AD1 于 O,∵ABCD-A1B1C1D1 为长方体,而 B1B=BC,则四边形 A1ADD1 为正方 形,∴A1D?AD1,又∵AB?面 A1ADD1,A1D ? 面 A1ADD1,∴AB?A1D,∴A1D?面 ABD1, ∴?DD1O 是 D D1 与平面 ABD1 所成角, ∵四边形 A1ADD1 为正方形,∴?DD1O=45 ,则 D D1 与平
0

面 ABD1 所成角为 45 . (2)连接 A1B,∵A1A?面 D1DCC1,D1D、DC ? 面 D1DCC1,∴A1A? D1D、A1A?DC,
0

∴?DD1C 是面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的平面角,在直角三角形 D1DC 中,∵DC=AB= 3 , D1D=B1B =1,∴?DD1C=60 ,即面 B D1C 与面 A D1D 所成的二面角为 60 .
0 0

18 解: (Ⅰ)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元,则

n ? kx ? b(k ? 0), 0 ? 300k ? b,即b ? ?300k, ?n ? ( k x ? 300)
2 ∴x=200 时, ymax= y? (x ?100)( k x ? 300) ?( k x ? 200) ?10000k,x ? ( 100, 300] ∵k<0,

- 10000k,即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (Ⅱ)由题意得,k(x- 100) (x- 300)= - 10000k·75%

? x2 ? 400 x ? 30000 ? ?7500? x2 ? 400x ? 37500 ? 0

? (x ? 250)( x ?150) ? 0? x1 ? 250, x2 ? 150 所以,商场要获取最大利润的 75%,每件标价为
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250 元或 150 元. 19 解: (1)由 D +E -4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0。 将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C:x +y -2x-4y+m=0 联立并消去 y 得
2 2 2 2

8 4m ? 16 1 ①,x1x2= ②,又由 x+2y-4=0 得 y= 2 5 5 1 1 5 8 (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得 m= . 2 2 4 5
5x -8x+4m-16=0,由韦达定理得 x1+x2=
2

20 .解 (1)

4 9

(2)

8 9

21 解(1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 , 又由 f (0) ? 0 ,得 f (0) ? 0 (2)显然 g ( x) ? 2 x ? 1在 [0,1] 上满足[1] g ( x) ? 0 ;[2] g (1) ? 1 .若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且

x1 ? x2 ? 1 ,则有 g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2x1 ? x2 ?1 ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)] ? (2x2 ?1)(2x1 ?1) ? 0
故 g ( x) ? 2 ? 1满足条件[1]、[2]、[3],所以 g ( x) ? 2 ? 1为友谊函数.分
x x

(3)由 [3]知任给 x2 , x1 ?[0,1] 其中 x2 ? x1 ,且有 x2 ? x1 ? 1 ,不妨设 x2 ? x1 ? ?x (?x ? 0) 则必有: 0 ? ?x ? 1) 所以:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? 0
所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) .依题意必有 f ( x0 ) ? x0 , 下面用反证法证明:假设 f ( x0 ) ? x0 ,则有 x0 ? f ( x0 ) 或 x0 ? f ( x0 ) (1) 若 x0 ? f ( x0 ) , 则 f ( x )] 0 )? f [ f (0x ?
0,

x 这 与 x0 ? f ( x0 ) 矛 盾 ; (2) 若

x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾;
故由上述(1) 、 (2)证明知假设不成立,则必有 f ( x0 ) ? x0 ,证毕.

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