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湖南省株洲市二中2013-2014学年上学期高二年级第二次月考数学试卷(理科)


湖南省株洲市二中 2013-2014 学年上学期高二年级第二次月考数学试卷(理科)

时量:120 分钟 分值:150 分

一:选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.“ ”是“ 且 ”的 ( )

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据 绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98) [98, , 100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 ( ).

A.90
x

B.75

C. 60 ( C.(1,4)

D.45 ) D. (2,??)

3.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (??,2) 4.过椭圆 B.(0,3)

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, a 2 b2
?

若 ?F1 PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为 A.

(

)

2 2

B.

3 3

C.

1 2
(

D.

1 3
) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

5.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

1

6.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1 ? 2 AB, 为 AA1 中点, 则异面直线 BE 与 CD1 E 所成的角的余弦值为 A. ( B. )

3 10 3 D. 10 5 ??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? 7.设 A, C, 是空间不共面的四点, B, D 且满足 AB ? AC ? AC ? AD ? AB ? AD ? 0 , ?B 则 C D

10 10

1 5

C.

是 A.锐角三角形 8.若 f ( x) ? ? A. [?1, ??) B.直角三角形

( C.钝角三角形

) D.等腰直角三角形 )

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ??) C. (??, ?1) D. (??, ?1]

二:填空题(每小题 5 分,共 35 分) 9. 若 x ? 0 ,则 x ?

2 的最小值为 x

.

10. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 2 32 x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

11. 若函数 f ( x ) ?

?x ? y ? 3 ? 12.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? 13.已知 O 为空间直角坐标系的原点,向量 OA ? (1, 2,3), OB ? (2,1, 2), OP ? (1,1, 2) ,且点 Q
在直线 OP 上运动,当 QA ? QB 取得最小值时, OQ = 14.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

??? ??? ? ?

????

15. 设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

2

S ?BCF = S ?ACF

三:解答题(16—18 题每题 12 分,19—21 题每题 13 分,共 75 分) 16. 设命题 p: (4 x ? 3) ? 1 ;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数
2
2

a 的取值范围.? 17. 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 18. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB , ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.
? ?

19 已知点 F (1, 0), 直线l : x ? ?1 ,动点 p 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)求点 p 的轨迹C的方程. (Ⅱ)是否存在过点 N (4, 2) 的直线 m ,使得直线 m 被轨迹C截得的弦 AB 恰好被点N所平 分? 20. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间. (Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由。 21. 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ,过点 M(2,4)作圆 C 的两条切线,切点分别为 A,B,
2 2

x2 y 2 直线 AB 恰好经过椭圆 T: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a b
(Ⅰ)求椭圆 T 的方程 (Ⅱ)已知直线 l 与椭圆 T 相交于 P,Q 两不同点, 直线 l 的方程为: y ? kx ? 3(k ? 0) ,O 为 坐标原点,求 ?OPQ 面积的最大值.

3

理科数学参考答案 一:选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. 2. 3 D 4. B 5. C 6 7. 8. C A D B A

二:填空题(每小题 5 分,共 35 分) 9. 2 2 10. 1 11. 3

12. 7 13. 14. 15.

4 4 8 ( , , ) 3 3 3

? ??, 0 ?
4 5

三:解答题(16—18 题每题 12 分,19—21 题每题 13 分,共 75 分) 16.? 解 设 A={x|(4x-3) ≤1},B={x|x -(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. ?由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A B,∴ ? 故所求实数 a 的取值范围是[0, ]. 17. 解析 又? (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
2
2 2

1 2

1 ? ?a ? 2 , ?a ? 1 ? 1 ?

1 2

?

f (0) ? b ? 0

? f ?(0) ? ?a (a ? 2) ? ?3

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于
4

导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)( a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1
2

18. (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC.又 ?BCA ? 90? ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴ DE ?

1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?

1 AB ,∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? , 2

∴ BC ?

DE BC 2 1 ? ? , AB .∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ? AD 2 AD 4 2

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

2 . 4

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90 . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90 , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角. 19 解(Ⅰ) y ? 4 x
2

?

?

(Ⅱ)存在直线 m : x ? y ? 2 ? 0 20. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e] ,期中 e 是自然对数的底数, a ? R
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间. (Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由。
5

解:(Ⅰ) ?

? 2 ? ? 2? , e ? 增,0, ? 减 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

e5 (Ⅱ)存在 a= 符合题意 2
21. 解:(Ⅰ)

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ) 当 k ?

5 时,面积的最大值是 1 2

6


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