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人教版高中数学课件 第五册:两个向量的数量积应用


向量的数量积的应用

? ? ? ? 1、应用 a ? b ? a ? b ? 0

可证明两直线垂直,

2、利用

? a

2

?2 ? a

可求线段的长度。

B 1.已知线段 A B 、B D 在平面 ?

内, D ?

A B ,线段 A C ? ?

,如果
C

AB ? a , BD ? b , AC ? c

,求 C 、D 之间的距离.

解:∵
D a b B

c

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 | C D | ? (C A ? A B ? B D ) ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 ?| CA | ? | AB | ? | BD | ? a ? b ? c
2 2 2

?

A

? CD ?

a ?b ?c
2 2

2

2、 如图,已知线段 A B 在平面 ? 内,线段 A C ? ?
? ,线段 B D ? A B ,线段 D D ? ? ? , D B D ? ? 3 0 ? ,如

果 A B ? a , A C ? B D ? b ,求 C 、 之间的距离。 D 解:由 A C
C

? ? ,可知 A C ? A B

.

??? ??? ? ? 由? D B D ? ? 3 0 ? 知 ? C A , B D ? ? 1 2 0 ?.
D

b b D' a

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 | C D | ? C D ?C D ? ( C A ? A B ? B D ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 2 2 2 ? | C A | ? | A B | ? | B D | ? 2 C A ?A B ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? 2 C A ?B D ? 2 A B ?B D ? b ? a ? b ? 2 b co s 1 2 0 ?
2 2 2 2

?

A

B

? a ?b
2

2

? CD ?

a ?b
2

2

3.已知空间四边形 O A B C
O ,求证: A ?
O

, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? ?

BC。

A

C

??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ? O A ?B C ? O A ?( O C ? O B ) ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? O A ?O C ? O A ?O B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | O A | ? | O C | co s ? ? | O A | ? | O B | co s ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | O A | ? | O B | co s ? ? | O A | ? | O B | co s ? ? 0

证明:∵

B

? OA ? BC

三、例题讲解: 3、利用向量的数量积可以证明两直线垂直, 因而也可以证明线面垂直问题。

例1、正方体 ABCD ? A1 B1C 1 D 1中,E、F分别是 D BB 1 , CD 的中点。求证: 1 F ? 平面 AED
分析:要证明线面
垂直,只需证明直 线和已知平面内的 两条相交直线垂直 即可。本题可考虑 证明 D1 F ? AD , D1 F ?
D1

C1 B1

A1

E
D

F B

AE

C

A

? ? ? ? ? ? 4、利用 a ? b ? a ? b cos a , b

求两条异面直线所成的角。

例2、空间四边形ABCD中,AB=2,BD=4,BC=3, CD=2, 求AB与CD所成角的 ? ABD ? 30 ? , ? ABC ? 60 ? , A 余弦值。
分析:(1)已知AB分别与BD所成 的角,故可考虑把AB与CD所成的角 的问题转化为AB分别与BC和BD所 成角的问题。 (2) CD ? BD ? BC ? AB ? CD ? AB ? ? BD ? BC ?

B
D

C

例3、如图所示,已知线段AB在平面α内,线 段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段DD' ??交?于 D',?DBD’=30?.如果AB=a,AC=BD=b, (1)求C、D间的距离; (2)求异面直线 DC,BD'所成的角. 运用二:求线段长度常把 线段表示成向量形式,然 后通过向量运算求解. 运用三:常运用向量数量 积的变形公式求异面直线 所成的角.
C
D
E D'

A

B

例、如图,在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求异 面直线A’B与AC所成的角。
D’ C’ B’ D C B

A’

A

??? ???? ? ??? ??? ? ? ???? ???? 2 ? 1 ? 解 :? A ?B ?B ?C ? A ?A ? A B ? B ?C ? ? B ?B ? a ??? ???? ? ??? ???? ? ??? ???? ? 又 ? A ?B ?B ? C ? A ?B ? B ? C ?co s ? A ?B , B ? C ?

2.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,求: (1)A′B和B′C的夹角; 用异面直线所成的角易解 (2)A′B⊥AC′.

?

??

?

??? ???? ? ? 2 ? 2 a co s ? A ?B , B ?C ? ??? ???? ? D’ 1 ? co s ? A ?B , B ? C ? ? A 2
'

B’

C’

即A′B和B′C的夹角为

60

0

A

D B

C

2.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,求: (1)A′B和B′C的夹角; 用三垂线定理易证 (2)A′B⊥AC′.

证 明 :? A D ? 平 面 A ?B ? A D ? A ?B

???? ???? ? ? ???? ???? ???? ??? ? ? ? A ?B ?A C ? ? A ?B ? A D ? A A ? ? A B ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? ? A ?B ?A D ? A ?B ?A A ? ? A ?B ?A B ???? ???? ? ???? ???? ? ? ?B A D co s 9 0 0 ? A ?B A A ? co s 1 3 5 0 ? A D’ ???? ??? ? ? 0 B’ ? A ?B A B co s 4 5 A

?

?

C’

'

? 0

???? ? ???? ? ? A ?B ? A C ?

∴A′B⊥AC′

A

D B

C

2、前面我们学过了利用两个向量 的数量积解决立体几何中的哪 些类型的问题?

小 结:
到目前为止,我们可以利用向量数量积解决 立体几何中的以下几类问题: 1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离

或线段长度。
(3、证明线面垂直。)4、求两直线所成角的

余弦值等等。

例、如图,在正方体ABCD-A’B’C’D’中,EF 分别是BB’、DC的中点。 z (1)求AE与D’F所成的角; D’ C’ (2)证明:AE⊥平面A’D’F。
A’ B’ E D A x F B C y


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