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13年指数对数幂函数高考题


一、选择题 1. (2013·大纲版全国卷高考文科·T6)与(2013·大纲版全国卷高考 理科·T5)相同 函数 f ( x) ? log 2 (1 ? )( x ? 0) 的反函数 f ?1 ? x ? = ( A.
1 ? x ? 0? 2 ?1
x

1 x



1 C. 2 x ? 1?

x ? R ? D. 2 x ? 1? x ? 0? ? x ? 0? 2 ?1 1 【解题指南】首先令 y ? lo g2 (1 ? ) 求出 x ,然后将 x, y 互换,利用反函数的定 x

B.

x

义域为原函数的值域求解.
1 x 1 1 得 x ? y ,所以 f ?1 ? x ? = x ( x ? 0) 2 ?1 2 ?1

【解析】选 A.由 y ? log 2 (1 ? ) , x ? 0 ,得函数的值域为 y ? 0 ,又 2 y ? 1 ? ,解

1 x

2.(2013·北京高考理科·T5)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得 图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 ( ) D.e-x-1

【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出 y=ex 关于 y 轴对称的函数,再向 左平移 1 个单位长度得到 f(x). 【解析】选 D.与 y=ex 关于 y 轴对称的函数应该是 y=e-x ,于是 f(x)可由 y=e -x 向左平移 1 个单位长度得到,所以 f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 3.(2013·广东高考文科·T2)函数 f ( x) ? A. (?1, ??) B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??)
lg(x ? 1) 的定义域是( x ?1



D. [?1,1) ? (1, ??)

【解题指南】函数的定义域有两方面的要求:分母不为零,真数大于零,据 此列不等式即可获解. 【解析】选 C. 解不等式 x ? 1 ? 0, x ? 1? 0可得 x ? ?1, x ? 1是定义域满足的条件. 4.(2013·山东高考文科·T5)函数 f ( x ) ? 1? 2x ?
1 的定义域为( ) x?3

A.(-3,0] C. (??, ?3) ? (? 3, 0]

B.(-3,1] D. (??, ?3) ? (? 3,1]

【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数,分母不为 0. 【解析】选 A. ?
?1 ? 2 x ? 0 ?x?3?0

,解得 ? 3 ? x ? 0 .

5.(2013·陕西高考文科·T3)设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列 等式中恒成立的是 A.
loga b· c b ? logc a log

(

) B. log a b ? logc a ? logc b D.
loga (b ? c) ? loga b ? loga c

C. log a (bc) ? log a b ? log a c

【解题指南】a, b,c≠1,掌握对数两个公式: log a xy ? log a x ? log a y, log a b ? 并灵活转换即可得解. 【解析】 B.对选项 A: loga b ? logc b ? logc a ? loga b ? 选

log c b log c a

logc a ,显然与第二个公式 logc b logc b ,显然与第二个 logc a

不符,所以为假。对选项 B: loga b ? logc a ? logc b ? loga b ?

( ? 公式一致,所以为真。对选项 C: log a bc) log a b ? log a c ,显然与第一个公式不 ( 符,所以为假。对选项 D: loga b ? c) ? loga b ? loga c ,同样与第一个公式不符,

所以为假。 6.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T8)设 a=log 36,b=log 510,c=log 714,则 ( ) B.b>c>a D.a>b>c

A.c>b>a C.a>c>b

【解题指南】 a,b,c 利用对数性质进行化简,分离出 1 后,再进行比较大小 将 即可.

【解析】选 D.由题意知:a=log36=1+log 32= 1 ?
c=log 714=1+log 7 2=1 ?

1 1 , b ? log5 10 ? 1 ? log5 2 ? 1 ? log 2 3 log 2 5

1 , 因为 log 2 3<log 2 5<log 2 7,所以 a>b>c,故选 D. log 2 7

7. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T8)设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log 2 3 , 则( A. a ? c ? b ) B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

【解析】选 D.因为 log3 2 ? 又 1 ? log 2 3 ? log 2 5 ,所以

1 1 ? 1, log 5 2 ? ? 1 ,又 log2 3? 1,所以 c 最大。 log2 3 log 2 5

1 1 ,即 a ? b ,所以 c ? a ? b ,选 D. ? log 2 3 log 2 5

8.(2013·上海高考文科·T15)函数 f ( x) ? x 2 ? 1(x≥0)的反函数为 f -1(x), 则f
-1

(2)的值是( ) B.- 3 C.1+ 2 D.1- 2

A. 3

【解析】选 A 由反函数的定义可知,x ? 0,2 ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? x ? 3 9.(2013·浙江高考理科·T3)已知 x,y 为正实数,则 A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy C.2lgx·lgy=2lgx+2lgy B.2 lg(x+y)=2lgx·2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy ( )

【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答. 【解析】 D.选项 A,2lgx+lgy=2lgx· lgy,故 A 错误;选项 B,2lgx· lgy=2lgx+lgy≠2lg(x+y), 选 2 2 故 B 错误;选项 C,2 lgx·lgy=(2lgx)lgy,故 C 错误. 10. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T12)若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立, 则 a 的取值范围是( A. (??, ??) ) C. (0, ?? ) D. (?1, ??)
1 ? 2? x ,然后分别画出 x 2

B. (?2, ??)

【解题指南】将 2x ( x ? a) ? 1 ,转化为 x ? a ?

f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2? x 的图象,数形结合分析求解.

【解析】选 D.因为 2x ? 0 ,所以由 2x ( x ? a) ? 1 得 x ? a ?
? 出函数 f ( x) ? x ? a, g( x) ? 2 x 的图象,

1 ? 2? x ,在坐标系中,作 2x

当 x ? 0 时, ( x ) ? 2? x ? 1, 所以如果存在 x ? 0 , 2( x ? a1 ? , 使 x ) 则有 ?a ? 1 , a ? ?1 , 即 g 所以选 D. 二、填空题 11. (2013·四川高考文科·T11) lg 5 ? lg 20 的值是____________。 【解题指南】根据对数的运算性质进行求解.
? 【解析】 lg 5 ? lg 20? lg 100 1

【答案】1 12.(2013·上海高考理科·T6)方程
3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

【解析】原方程整理后变为 32 x ? 2 ? 3x ? 8 ? 0 ? 3x ? 4 ? x ? log3 4 . 【答案】 log3 4 13.(2013·上海高考文科·T8)方程 【解析】
x

9 ? 1 ? 3x 的实数解为 3 ?1
x

.

9 9 ? 1 ? 3x ? x ? 3x ? 1 ? 3x ? 1 ? 3 ? 3 x ? 3 ? 1 ? 3 x ? 4 ? x ? log 3 4. 3 ?1 3 ?1

【答案】 log3 4 14. (2013·湖南高考理科·T16)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ,其中 c ? a ? 0, c ? b ? 0.
不能构成一个三角形的三条边长, a ? , 且 =b (1)记集合 M ? ?( a, b, c) a, b, c

则 (a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____.

(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使得a x , b x , c x不能构成一个三角形的三边长 ; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0.

.

【解析】 由于 a, b, c 不能构成三角形三边长, (1) 所以 a ? b ? c , a ? b , 2a ? c , 又 故 即 ? 2 ,当 a ? b 时 f ( x) ? 2a x ? c x ? 0 ,得 ( ) x ? 2, 即 x ? log c 2 ,
a

c a

c a

因为 ? 2 ,所以 0 ? x ? 1 . (2) f ( x) ? c x ?( ) x ? ( ) x ? 1? ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0 , ? ?
a ? c b c ?

c a

所以 0 ? ? 1,0 ? ? 1 ,所以对任意 x ? 1 ,都有 ( ) x ? , ( ) x ? , 所以 ( ) x ? ( ) x ? ? ? 所以命题①正确 令 a ? 3, b ? 4, c ? 5 ,此时 a 2 ? 9, b 2 ? 16, c 2 ? 25, 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ,违反三角形边 长定理,故不能构成一个三角形的三边长,所以命题②正确. 由于 ?ABC 为钝角三角形,故 a 2 ? b 2 ? c 2 ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0 , 所以 0 ? ? 1,0 ? ? 1 ,所以对任意 x ? 2 ,都有
a b a b a2 ? b2 a a b b ?1, ( ) x ? ( ) 2 , ( ) x ? ( ) 2 所以 ( ) x ? ( ) x ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? c c c c c2 c c c c

a c

b c

a c

a b c c

b c

a c

b c

a c

b c

b a?b ? a ? ? 1 ,所以 f ( x) ? c x ?( ) x ? ( ) x ? 1? >0 c c ? c ?

a c

b c

所以 f ( x) ? c x ?( ) x ? ( ) x ? 1? ? 0 ,结合命题①可知, ? ?
a ? c b c ?

当 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0. 所以命题③正确. 综合可得命题①②③都正确.

【答案】(1){x|0<x≤1} (2)①②③ 15.(2013·安徽高考文科·T11)函数 y = ln(1+ )+ 1- x 2 的定义域为______ 【解题指南】根据对数函数的概念及根式的意义求解。
ì 1 ì x < - 1或x > 0 ? 1+ > 0 【解析】由题意可得 镲 x 揶 眄 - 1 #x 1 镲 2 ? 1- x 0 ? ? 0< x 1

1 x

【答案】 0,1] (


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