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【精品课件】1.4.3正切函数的图象和性质 (2)


三角函数线:
?

α在第一象限时:

?
?

正弦线: sinα=MP>0

余弦线: cosα=0M>0 ? 正切线:tanα=AT>0

α在第二象限时:

正弦线: sinα=M’P’>0
余弦线

: cosα=0M’<0 正切线:tanα=AT’ <0

作法如下:

Y

?作直角坐标系,并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。

?找横坐标(把x轴上 ? 2 ?

?

?

这一段分成8等份)

?把单位圆右半圆中
作出正切线。

?
?找交叉点。
?连线。

?
2

O

?
?

X

?

3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

y
3? ? 2

? ? 2

?

o

?

3? 2

x

? ? ? x | x ? ? k? , k ? Z ? ? 2 ? ?
全体实数R

? 正切函数是奇函数,正切曲线
关于原点0对称

? tan( x) ? tan(x) ?

? tan(x ? ? ) ? tan(x)
? ? ? 2

正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z 内都是增函数。

? 2

? ?

? 正切函数是周期函
数,T=

?

例1 求函数 y ? tan( x ? 解:令
z ? x?

?
4

) 的定义域。

?

? ? ? 所以由 z ? x ? , 可得: x ? ? ? k? 4 4 2 2 ?

那么函数 y ? tan z的定义域是: ? ? ? z | z ? ? k? , k ? Z ? ?
?

4

,

所以函数 y ? tan( x ? ) 的定义 4 域是: ? ? ? x | x ? ? k? , k ? Z ? ?
? 4 ?

?

例2 不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: 11? 13? 0 0与 ) (1) tan167 tan173 ; (2) tan( ? 4 ) 与 tan( ? 5 0 0 0 0
? tan1670 ? tan1730 11? 3? (2) ? tan( ? ) ? tan( ? ) 4 4 13? 3? tan( ? ) ? tan( ? ) 5 5 ? ? 是增函数 ? 3? 3? ? 且 y ? tan x, x ? ( ? , ) ?? ? ? ? ? ? , 2 4 5 2 2 2
解: (1) ?90 ? 167 ? 173 ? 180 ) ? y ? tan x, 在 (900 ,2700 上是增函数 又



3? 3? ? tan( ? ) ? tan( ? ) 4 5



11? 13? tan( ? ) ? tan( ? ) 4 5

解 : (1)令u ?

1 ? (1) y ? 3 tan( x ? ); 2 4 1 ?
2 x? 4

例3

求下列的单调区间:
变题 (2) y ? 3 tan( ? x ? ? ) 2 4
? ?

, 则y ? 3 tan u
令u ? ?

解 : 因为原函数可化为 : y ? ?3 tan( ? ); 1 ? 2 4 ? u ? x ? 为增函数; 且y ? tan u的单调区间为: x ? 2 4

? ? k? ? ? u ? k? ? , k ? Z 2 2 1 ? ?由u ? x ? 得 : 2 4

2

4

; 所以 y ? tan u的单调递增区间为 :

? ? k? ? ? u ? k? ? , k ? Z 2 2
? 1 ? ? k? ? ? x ? ? k? ? 2 2 4 2
1 ? ?由u ? x ? 得 : 2 4

? 1 ? ? k? ? ? x ? ? k? ? 2 2 4 2

? y ? 3 tan(

1 ? x ? )的单调递增区间为 : 2 4

? y ? 3 tan( ?

3? ? (2k? ? ,2k? ? ) 2 2

? 3? (2k? ? ,2k? ? ) 2 2

1 ? x ? )的单调递减区间为 : 2 4

例4 求下列函数的周期:
解 : f ( x) ? 3 tan( 2 x ? ) ? 4

? (1) y ? 3 tan( 2 x ? ); 4 ?

( 2)变题 y ? 3 tan(

? f (x ? ) 2 ? ? 周期 T ? 2

? 3 tan[ 2( x ? ) ? ] ? 2 4

? ? 3 tan( 2 x ? ? ? ) 4 ? ?

1 ? 解 :? f ( x) ? 3 tan( x ? ) 2 4

1 ? x ? ); 2 4

1 ? ? 3 tan( x ? ? ? ) 2 4 1 ? ? 3 tan[ ( x ? 2? ) ? ]

? f ( x ? 2? ) ? 周期T ? 2?

2

4

? 周期T ? |? |

画出函数y= tanx 的图象,指出它的单调区间,奇偶 性,周期。

?

3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

?

3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

(1)正切函数的图象

(2)正切函数的性质:
? ?定义域:x | x ? ? ? k? , k ? Z ?
? 3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

?值域: 全体实数R

? ?

2

? ?

正切函数是周期函数, ?周期性: 最小正周期T= 奇函数, ?奇偶性:

?

? ? ? ? 正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ?单调性: 2 ? 内都是增函数。 ? 2


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