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高二周练9教师版


顺德区容山中学

2012—2013 学年第一学期

高二理科数学周练(九)
(内容:4.1-4.2 圆和方程)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,2) ,半径为 2 的圆,则 a、b、c 的值依次为( B ) (A)2、4、4; (B)-2、4、4; (C)2、-4、4; (D)2、-4、-4 2 2 2.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3) +y =9 截得的弦长为( C ) (A) 2 2 (B)4 (C) 4 2 (D)2 3.点 (1,1)在圆( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4 的内部,则 a 的取值范围是( A ) (A) ? 1 ? a ? 1 (B) 0 ? a ? 1 (C) a ? ?1或a ? 1 (D) a ? ?1 4.自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为( B ) (A)
5

(B) 3

(C)

10

(D) 5

5.已知 M (-2,0), N (2,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的轨迹方程是( D ) (A) x 2 ? y 2 ? 2 (C) x 2 ? y 2 ? 2( x ? ?2) (B) x 2 ? y 2 ? 4 (D) x 2 ? y 2 ? 4( x ? ?2)

6.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( D ) A、1,-1 B、2,-2 C、1 D、-1 7. 若方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 所表示的曲线关于 y ? x 对称,必有( C ) A. E ? F B. D ? F C. D ? E D. D, E, F 两两不相等 ( C )

8.与三条直线 y=0, y=x+2, y=-x+4 都相切的圆的圆心是 A. 1, 2 3 +2) (

B. 3 2 +3) C. 3 2 -3) D. (1, (1, (1, -3 2 -3)

9.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角是( C ) A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、

? 2
( C ) D.4x-3y+7=0
2 2

10.两圆 x2+y2-4x+6y=0 和 x2+y2-6x=0 的连心线方程为 A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

11.以点 A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 (x-2) +(y-1) =10; 12.设 A 为圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上一动点,则 A 到直线 x ? y ? 5 ? 0 的最大距离为

5 2?2 . 2

13.过点 P(-1,6)且与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相切的直线方程是_ x=-1 或 3x-4y+27=0___. 14.曲线 y ? 1 ? x 2 与直线 y ? k ( x ? 1) ? 2 有两个交点时,实数 k 的取值是__ < k ? 1 ___

3 4

1

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答题栏
姓名:_____________________学号:_____________________分数:_____________________
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13._____________________ 15._____________________ 17._____________________

14._____________________ 16._____________________ 18._____________________

三、解答题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,共 60 分) 15、求与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 同心,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。

16.过原点 O 作圆 x +y -8x=0 的弦 OA。 (1)求弦 OA 中点 M 的轨迹方程; (2)延长 OA 到 N,使|OA|=|AN|,求 N 点的轨迹方程. 2 2 2 2 (1)x +y -4x=0;(2)x +y -16x=0

2

2

17.已知圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0,且这个圆经过点 A(6,1) ,求该圆的方程. 2 2 2 2 2 (x-3) +(y-1) =9 或(x-101) +(y-37) =101

18.求圆心在直线 3x+4y-1=0 上,且过两圆 x2+y2-x+y-2=0 与 x2+y2=5 交点的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x2+y2-x+y-2)+m(x2+y2-5)=0. 整理得(1+m)x2+(1+m)y2-x+y-2-5m=0.

y ∴所求圆的方程为 x2+y2+2x-2y-11=0. 19.如图,已知圆心坐标为 M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 D N B M O
2

y ? 3x 均相切,切点分别为 A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、

x 轴及直线 y ? 3x 均相切,切点分别为 C 、 D 。 (1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N
截得的弦的长度;

A

C

x

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解: (1)由于圆 M 与 ?BOA 的两边相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆 M 的半径,则 M 在 ?BOA 的角平分线上,同理, N 也在 ?BOA 的角平分线上, 即 O、M、N 三点共线,且 OMN 为 ?BOA 的角平分线,

? M 的坐标为 M ( 3,1) ,? M 到 x 轴的距离为 1,即:圆 M 的半径为 1, ? 圆 M 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ; 设圆 N 的半径为 r ,由 Rt ?OAM ~ Rt ?OCN ,得: OM : ON ? MA : NC , 2 1 ? ? r ? 3 , OC ? 3 3 ,? 圆 N 的方程为: ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ; 即 3? r r (2)由对称性可知,所求弦长等于过 A 点的 MN 的平行线被圆 N 截得的弦长, 3 此弦所在直线方程为 y ? ( x ? 3 ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 3 3 3 ? 3 ?3 ? 3 3 ? 圆心 N 到该直线的距离 d ? ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 2 1? 3
? 3 3? ? 注:也可求得 B 点坐标 ? ? 2 , 2 ? ,得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,再根 ? ?

据圆心 N 到直线 l 的距离等于 距离,进而求得弦长。

3 ,求得答案 33 ;还可以直接求 A 点或 B 点到直线的 2

20.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,直线 l1 被圆所截得的弦的中点为 P(5,3) . ①求直线 l1 的方程. ②若直线 l2 : x ? y ? b ? 0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. ③是否存在常数 b ,使得直线 l2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上?若存在,求出 b 的值; 若不存在,说明理由. 解:① 圆 C 的方程化标 准方程为: ?x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9
2 2

于是圆心 C ?3,2? ,半径 r ? 3 .若设直线 l1 的斜率为 k 则:

k ??

1 1 ? ? ? ?2 . 1 k PC 2
即 2x ?

∴ 直线 l1 的方程为: y ? 3 ? ?2?x ? 5? ② ∵圆的半径 r ? 3 ∴ b?5 ?3 2

y ?13 ? 0 .
3? 2?b 2 ?3

∴要使直线 l 2 与圆 C 相交则须有: 于是 b 的取值范围是: - 3

2- 5<b<3 2 ? 5 .

3

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③ 设直线 l 2 被圆 C 解得的弦的中点为 M ?x? , y? ? ,则直线 l 2 与 CM 垂直,于是有:

y? ? 2 ? 1 ,整理可得: x? ? y? ? 1 ? 0 . x? ? 3
又∵点 M ?x? , y? ? 在直线 l 2 上 ∴ x? ? y? ? b ? 0

? x? ? y ? ? 1 ? 0 ∴由 ? ? x? ? y ? ? b ? 0

1? b ? ? x? ? 2 ? 解得: ? ?y ? ?1? b ? ? 2 ?

代入直线 l1 的方程得:

1? b ?

25 1? b ? 13 ? 0 于是 b ? ? ? (?3 2 3

2 ? 5,3 2 ? 5) ,故存在满足条件的常数 b .

圆与方程知识点总结
1、圆的标准方程: 以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 2、点与圆的位置关系: 1.设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内 d=r; d>r; d<r.

2.给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2
( ② M 在圆 C 上 ? x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

③ M 在圆 C 外 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 3、 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

4

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(1)当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? (2)当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2

D 2 ? E 2 ?4 F . 2

(3)当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程不表示任何图形. 注: ( 1 ) 方 程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 : B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 . (2)圆的直径为线段 AB,则圆的方程:已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0

4、 直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种,其中 d ? (1) d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; (2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ? 判断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离 为 d,则直线与圆的 位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0(2)相交 ? d<r ? Δ >0; (3)相离 ? d>r ? Δ <0。 5、 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。 (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; (2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; (4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; (5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解的个数来

5

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外离 6、 圆的切线方程: 1) 2) 3)

外切

相交

内切

内含

圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的斜率为 k 的切线方程是 y ? kx ? 1?k 2 r 过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ?0 2 2

? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

6


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