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高考试题中的阿基米德三角形


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2 0 0 8年  第 4 7卷  第 9 期 

数 学通报 

3 9  

高考试题 中的阿基米德 三角形 
邵 明 志  陈 克 勤 
( 山东省滕州市第一 中学 2 7 7 5 0 0 )  

1 ( 2 0 0 5年 江 西 卷 , 理 2 2题 ) :  

( 1 ) 若 

?  

一2 , 求 c的值 ;  

如图, 设 抛 物线 C:  —z  的焦 点 为 F, 动点 P  

( 2 ) 若 P 为 线 段 AB 的 中 点 , 求证 : Q A 为此  抛物 线 的切 线 ;  

在直 线 z : z —Y一2 = = = 0上 运 动 , 过 P作 抛 物 线 C  
的两 条切 线 P A、 PB, 且 与 抛 物 线 C 分 别 相 切 于 
A、 B两 点.  

( 3 ) 试问( 2 ) 的逆 命题 是 否成 立 ?说 明理 由.  
题 4 ( 2 0 0 8年 山东 卷 , 理 2 2题 ) :   如图, 设抛物线方 程 X   一2 p x( P >0 ) , M 为 

直线 Y一 一 2 p上 任 意 一 点 , 过 M 引抛 物 线 的切 
线, 切点 分别 为 A, B .  

( 1 ) 求△ AP B 的重 心 G 的轨迹 方程 .  
( 2 ) 证 明  PFA一  PFB.  
— —

2 p M  

j  

题2 ( 2 0 0 6年 全 国卷 Ⅱ, 理 2 1 题) :   已知抛 物 线  一 4 y的 焦 点 为 F, A、 B 是 抛  物线上 的两 动点 , 且AF— F百(   >0 ) . 过 A、 B两 

(I) 求证: A, M, B 三 点 的 横 坐 标 成 等 差 
数列 ;  

点分别 作抛 物线 的切 线 , 设其 交点 为 M.   ( I) 证 明  ?   为定 值 ;  
( Ⅱ) 设 △AB M 的面 积为 S, 写 出 S一厂 (   ) 的 

( Ⅱ) 已知 当 M 点 的坐标 为 ( 2 , 一2 p ) 时, l A Bf  

一4 ̄ / 1 o , 求 此时 抛物 线 的方程 ;  
( Ⅲ) 是否 存在 点 M , 使 得 点 C关 于 直 线 AB   的对称 点 D 在 抛 物 线 z   = = = 2 p y(  > O ) 上, 其 中,  

表达 式 , 并 求 S的最小值 .   题3 ( 2 0 0 7年 江苏 卷 , 理 1 9题 ) :  
如图 , 在平 面直 角 坐标 系 x O y中 , 过 y轴 正  方 向上 一点 C( O , c ) 任 作 一 直线 , 与抛 物 线  —z   相交 于 A, B两 点 . 一 条 垂 直 于 z轴 的直 线 , 分 别  与线 段 AB和直 线 z :  一一c 交 于点 P, Q.  

点 C满 足  一 
请 说 明理 由.  

+ 

( 0为 坐标原 点) . 若 存 

在, 求 出所 有适 合 题意 的点 M 的 坐标 ; 若 不 存在 ,  
题 5 ( 2 0 0 8年江 西卷 , 理 2 1 题) :   设 点 P( x 。 , y 。 ) 在 直 线 z— m( y ≠- I -   , 0 < 

、  
、   、 、 J  

/   B 
. x  

<1 ) 上, 过 点 P 作 双 曲线 X 。 一Y   一1的两 条 切 
, 1   、  

线P A、 P B , 切点为 A、 B , 定点 Mf   , 0 ) .   \i n  ,  
( 1 ) 过 点 A 作 直 线 X—Y 一 0的垂 线 , 垂 足 为 
N, 试 求 △AMN 的重 心 G 所 在 的 曲线 方程 ;  

Q \ 

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4 0  

数 学通 报 

2 0 0 8年  第 4 7卷  第 9期 
f  1  — p( x+ z1 )  

=  

  l y 2  —p ( x+x 2 )  
< 

I Y ; 一2 p x 1  

/ 

【 Y ; = = = 2 p x  

∥ 
( 2 ) 求证 : A、 M、 B 三点共 线 .   前 四道 高考试 题都 涉及 到抛 物线 的 弦与过 弦 

解 得 两 切 线 交 点 Q (   Y l   Y 2 ,   ) , 进 而 可  
知 QM/ / x轴.  
此性质 即为题 3 、 题 4考 查 内容. 当抛 物 线 开 

口 向 上 时 , 易 得 Q (   {  ,  ) , 题 4 第 ( I ) 问  
结论显然 , 对于第 ( Ⅱ) 问, 由题 意 可 知 — x l   - t - 一 x z = = =   的端点 的两 条切 线 所 围 的三 角形 , 这个 三 角 形 又 
常 被称 为阿 基 米德 三 角 形 , 因为 阿 基 米德 最 早 利  用 逼近 的思 想证 明 了 : 抛 物 线 的弦 与 抛物 线 所 围 
2,   一 一 2  ,  

生 一生 

,  

成 的封 闭 图形 的面积 等于 阿基 米德 三角形 面积 的 
o 


阿基米 德三 角形 有许 多有趣 的性 质 , 上 述 四题  4  

。 

愚 加 = = =   Z , 一 Z 1   一  口   一 吾 口   , 所 以 I   A B   I —   『 = 二  一 √ 1 + 砉 、 / ,   研 一  
, 解得 p 一1或 p =2 , 第( Ⅱ) 问得 解.  

都是某些性质 的体现. 尽管连续 四年 出现类似题 
目, 但 可 以预见 , 今后 围绕 该三 角形性 质 的高 考试 
题 还会 出现 ; 对 该 三 角 形 的性 质 作 进 一 步 的研 究  对 于提 高学 生对 抛物 线几 何性 质 的认识 以及 培养  他们数 学美 学 意识是 必要 的、 有益 的. 下 面给 出 阿  基米 德三 角形 的一 些有 趣 性 质 , 证 明时 均 以抛 物 

性 质 2 若 阿基 米 德 三 角 形 的底 边 即 弦 AB  
过抛 物 线 内定点 C, 则 另一 顶 点 Q 的轨 迹 为 一 条 
盲 线.  

线Y   :2 p x为例 , 且 称 弦 AB 为 阿基 米 德 三 角形 
的底边 , M 为底边 AB 的 中点 , 下不 赘述 .   性质 1 阿基 米德 三 角 形底 边 上 的 中线 平行  于抛 物线 的轴 .   证 明  设 A( z l ,  1 ) , B( z 2 ,  2 ) , M 为 弦 AB   中点 , 则 过 A 的切 线方程 为 Y   —p ( x +z   ) , 过 B  

的切 线方 程 为 y z  —p ( x +z   ) , 联立 方程 组得 

证 明  设 Q( z ,  ) , 由性质 1 , z一  
/ 
/  D  /   L一  
一  

,  

\^ ,X  

,  



 

\  

所以 y l y 2 =2 p x .  

由 A . B , C 三 点 共 线 知 费 二 专一   二  , 即   2   2 户  2 p  。  
+ l y 2 一y l z 。一 y z  o= 2 1— 2 2 p y 。 , 将 Y= 

,  。   =2 p z代入 得 。  — ( z+ 。 ) , 即 为 

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Q 点 的轨迹 方程 .  

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性质 3 抛 物线 以 C点 为 中 点 的弦平 行 于 Q 
点 的轨迹 .  

证 明  由性质 2 , 若底边过焦点 , 则z 。 一  ,  

Y 。 一0 , Q点轨迹方程 为 z一一告 即为准线 ; 易验 
证 忌 o A? 愚 Q B =一 1 , 即 Q A_ l _ QB, 故 阿基 米 德 三 角  形 为 直角 三角 形 , 且 Q为直 角顶 点 ;  

利用 两式 相 减 法 易求 得 以 c点 为 中点 的 弦  的斜 率 为  , 因此 该 弦与 Q点 的轨迹 即直 线 z  
平行 .  

性质 4 若 直 线 z 与抛 物 线 没有公 共 点 , 以z  
上 的点 为 顶点 的阿基 米德 三 角形 的底 边过 定点 .   证 明  如上 图 , 设z 方程 为 a X+6   +c 一0 , 且 
A( x l , y 1 ) , B( x z ,  2 ) , 弦 AB 过 点 C( z 。 , Y o ) , 由性  

所 以 } Q M   I = = =   专 兰 兰 + 号 一   去 等 + 号 ≥  
+  : 
4   P   2  

+  一户, 而 s △ Q A   = = :   1   I Q MI
’ ” ”   2  

4P 。 2  

(   一Y z ) ≥l   Q M1 .  ̄ / I   Y   Y z   l ≥户  
性 质 6即 为题 2所 涉及 性质 .  
性质 7   在 阿 基 米 德 三 角 形 中,   QF A  
一  QFB.  

质 2可 知 Q点 的轨迹 方 程 Y 。  —  ( z +X 。 ) , 该 方  程与 口 z +6  +c 一 0表 示 同一 条 直 线 , 对 照 可 得  X o  一 
一  

,  Y o  一 一
,   一 一

b p , - n r   , 即 5 即 弦 幺   AB 过 过 疋 定 点 点   

证明

如图 , 作 AA   - l _ 准线, BB   上准线 , 连 
p  

C f  , 一  1 .  
抛 物线 的该 条 性 质 亦 可 推 广 到 椭 圆 和 双 曲  线, 题 5第 ( 2 ) 问 即是 以该 性 质 为 背 景命 制 的 ( M 

接 AQ, 、 Q B   、 Q F、 AF、 B F, 贝 Ⅱ 忌  , 一 一  , 显然 惫 M ,  
?

愚   一一1 , 所以 F A  上Q A, 又 因为 I AA   I —I AFI ,  

由三 角形全 等可得  Q A A   一  Q AF, 所 以/ k Q AA  

即为 弦 AB 过 的定 点 ) , 相关 证 明可参 看 文[ 1 ] .  
性 质 5 底边 长为 n的 阿基 米 德 三 角形 的 面 

△Q AF, l 所 以 I   Q A  f— I   Q F   I ,   Q A  A 一  QF A, 同理 可 证 } Q B  l —I   Q F   I ,   Q B   B 一  QF B, 所以 I   QA  I — I   QB  I , 即  QA   B  一 
QB  A 

积 的最 大值 为  ?   证 明  l   AB   l 一口 , 设 Q 到 AB 的距 离 为 d, 由  
性质 1 知 

所 以  Q A  A 一  Q A   B   +9 0 。 一  QB   A   + 

9 0 。 一   Q B   B, 所 以  QF A=   Q F B.  

- = 孛 一  一   一  
一  

结论 得证 .  



4 D 

设 直 线 AB 的 方 程 为 : z一7 , z  + ,  
一  

则口 一 ̄ / ( 1 +m   ) (   2 -y 1 ) 。 , 所以( . ) I 2 一Y 1 )   ≤口   ,  
所 以  ≤   , 即  一   1 口   .   a 3
.  

性质 6 若 阿 基 米德 三 角 形 的 底 边 过 焦 点 ,   则 顶点 Q 的轨迹 为 准线 , 且 阿基 米 德 三 角形 的面 
积 的最 小值 

此性 质 即题 1的结 论 , 但 原 解 答 采 用 代 数 法  相 当复杂 , 这 里给 出 的几何 法 简洁 明 了.  
Q  
’  

性质 8   在抛物线上任取一点 I ( 不 与 A、 B   重合 ) , 过 . 『 作 抛 物线 切 线 交 Q A、 Q B 于 s、 T, 则 
△QS T的垂 心在 准线 上.   证 明  设 A ( 2 p t i , 2 p t 1 ) 、 B( 2   , 2 p t 2 ) 、  

I ( 2 p t j , 2 p t 。 ) ,易 求 得 过 B、j 的 切 线 交 点 

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的 切线的 斜率为士 Y 一 —   —k A B , 结论   1_ t -Y2   Y1 — r Y2  
—   一  

/  
,  

得证 .  

性质 l l   在 性 质 8中, 连 接 AJ 、 BI , 则 

| .  
I  

/ X ABI的面积 是/ X QS T面积 的 2 倍.  
/  

/  

T( 2 p t z t s , P( t 2 +t 3 ) ) , 过  ’ 向 QA 引垂 线 , 其 方 程 

,  

为 2 t 1 z + 一 ( £ 2 +t 。 ) +4 p t 1 t 2 t 3 , 它 和抛 物 线 准 

线 的交点 纵坐 标 为  —P( t l +t 2 +t 3 ) +4 户 £ l t 2 t 3 ,  
显然 这个 纵坐 标是 关于 t   , t 。 , t 。 对称的, 因此 从 S  

| .  \ C  x    
\   \  
证 明  如 图 , 这里 出现 了三 个 阿 基 米 德 三 角 
形, 即/ X Q AB、 / X T BI 、 / X S AI ; 应 用 阿基 米德 三 角 

点 向 QB 引垂 线 , 从 Q点 向 S T 引垂 线 , 它们 与 准  线 的交点 也是 上述 点 , 故 结论 得证 .   性质 9  I   AF1 .I   B Fl —I   QF1   .  

证明   1   A F   I ?I   B F   1 一( z   + 等) ?  

形 的性 质 : 弦 与抛 物 线 所 围成 的 封 闭 图形 的面 积 

( 娩 + 号 )  ̄ X l X 2 + 号 c z   + x 2   +   p 2 一 (  ) 。 +  

等于阿基米德三角形面积的詈 ; 设B I 与抛物线 
所 围面 积 为 S   , AJ与抛 物 线 所 围面 积 为 S z , AB  
s△邶f — sAO A B- - s△  T—  3   S
。一  

+ 譬 , 而I   Q F   I 。 一(  一 号 ) 。 +   与抛 物线 所 围面积 为 S, 则  (   )   一 ( Y 2 l p Y z ,   + 华 +   p 2 一 I   A F   I ?  
I BFI .  
s△Q s T一   3   s
l—
_

3   s

2 一  

3   s
—  

3s 2 一  3( s




s1 一 s2)一 s△Q s 丁一 

詈s △ A B f —S △  T , 所以S △ A B f 一2 S △   T .  
性质 1 2 设 Q( x   , y   ) , f( x,  ) 一Y   一2 p x,   AQ B一口 , 则 
( 1 ) 走 o A? 志 Q B 一 

( 2 ) 忌 0 A +是 Q B 一 

( 3 )   性质 1 0   QM 的中点 P 在 抛物 线上 , 且 P处  的切线 与 AB 平 行.  

1 = = =  

( 4 ) l t a m  I 一  

证 明  由 性 质  知 Q (  ,   去   ) ,  
M ( 垫 专   ,   专 丝 ) , 易得 P点坐标为  
(   , Y T l   q - Y z ) , 此 点 显 然 在 抛 物 线 上 ; 过 P  

( 5 ) I   A B   I 一 吾 一  
f   ( z   , y   ) +( 2 x   P +  ) 厂 ( z   , y   )  
( 6 ) 5 △  e一  厂( z, ,  

两一  

( 下转 第 4 6页)  

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行 四边 形 ” .  

2 0 0 8年  第 4 7卷  第 9期 

生 面对 此题 , 犹如“ 昨夜西 风 凋碧 树 , 独上 高 楼 , 望  尽天 涯路” . 解 决此 题 , 可就 其 特殊 情 形人 手 , 即 当  此 等对角线 四边 形为梯形 时先 研究 , 不难想 到等 对 
角线梯形 问题 常 添辅 助线 是平 移 对 角线 至过 角 的 

( 2 ) 此时共 有 2个友 好矩形 , 如图 1 3中的矩形 
BCAD 、 A BEF.  

易知 , 矩形 B C AD、 AB E F 的 面 积 都 等 于 
AAB C面积 的 2倍 , 所 以AA B C的“ 友 好 矩形 ” 的  面 积相等.   ( 3 ) 此 时共有 3 个友 好矩 形 , 如图 1 4中的矩形  B C DE、 C A F G及 AB HK, 其 中矩 形 A BHK 的周 长 
最 小.  

顶点 , 从而使 特殊情 形时 问题 获证 ; 对 于一 般情 形 ,   则可类 比特殊情 形 的方法 , 使 问题得到解决:  
5 以 特 殊 位 置 关 系为 契 机 进 行 “ 新 定 义”  

例 5

( 2 0 0 5 年 资阳市 中考数学 试 题 ) 阅读 以  

下 短文 , 然后解决 下列 问题 :  
如果一个三 角形和一个 矩 

形满 足条 件 : 三 角 形 的一 边 与  矩形 的一 边 重 合 , 且 三 角 形 的 
这边所对 的顶 点在 矩形 这 边 的  对边 上 , 则 称 这 样 的 矩 形 为 三  图l 2  

证明: 易知, 这 三 个 矩 形 的面 积 相 等 , 令 其 为  S . 设 矩形 B C D E、 C A F G及 AB HK 的周 长 分 别 为 
z l , z 2 , l 。 , AA B C的边 长 B C=n , C A—b , AB= : = C , 则 
z 1 一  + 2 n , z 2 =  + 2 b , z 3 一  + 2 c , 所以z 1 一z 2 一 

角形 的“ 友好矩形 ” . 如图 1 2 所示 , 矩形 AB E F即为  △AB C的“ 友好矩形 ” . 显然, 当AAB C是钝 角 三角  形时, 其“ 友好矩 形” 只有一个 .  

( 竽 + z n ) 一 (   )  n  ×   , 而  
S, n >b , 所以 Z l —Z 2 >0 , 即Z 1 >Z 2 .  

( 1 ) 仿 照 以上叙 述 , 说 明什么 是 一个 三 角形 的 
“ 友好平行 四边形” ;   ( 2 ) 如图 1 3 , 若 AA BC为直 角三角形 , 且  C 一  9 O 。 , 在图 1 3中画 出AA B C 的所有 “ 友 好矩 形 ” , 并  比较这些 矩形面积 的大小 :  
D 

同理可得 , Z 。 >f 3 . 所 以  最 小 , 即矩 形 AB HK 
的周长最 小.  

评析

此题 以图形 的特殊位 置关 系为契 机 , 创 

设 了一个 全新 的概 念— — 等对角线 四边 形. 试 题平 
和清新 、 一 题多 问 , 层 层平缓 递进 , 为不 同程 度 的学 

生展示 自己的数 学才 华创 设 了 平 台. 第( 1 ) 小题 是  新定 义的直接 应 用. 第( 2 ) 小题 是 新定 义 的简单 应  用. 前两 小题为第 ( 3 ) 小题 的解 决 作 了铺 垫 . 第( 3 )   小题 的解决 , 要抓 住 “ 变” 中 的“ 不 变 量” : 矩 形 面积  相等 ; 然后 , 把三 个 矩形 的周长 用 其 面积 及 其 与 三  角形公 共 边 的 边 长分 别 表 示 出来 , 再 作 差 比较 太  
小, 就 可使 问题获 得解决.  

E 

G 

图 l 3  

图 1 4  

以四边 形为背 景的新定 义型 中考试题 , 宛如 中  考试题 大花 园里 一朵 鲜 艳 的奇 葩 , 耀 眼夺 目, 令 人 
叹 为观止. 通过 对 此类 试 题 的探 究 , 既 可领 略 了其  多姿 多彩 的 风 貌 , 又 可初 步把 握 了此 类 试 题 的特  点, 更有 利于站 在 系 统 的高度 上 组 织 教学 , 也 有利 

( 3 ) 若 △AB C是 锐 角 三 角 形 , 且 B C> AC>  A B, 在图 1 4中画 出△AB C的所 有“ 友 好 矩形 ” , 指 

出其 中周长最小 的矩形并加 以证明.  
解  ( 1 ) 如 果 一 个 三 角 形 和 一 个 平 行 四边 形 

满足 条件 : 三 角形 的一 边 与 平 行 四 边形 的一 边 重  合, 三角形这边所 对的顶点在乎 行 四边形 这边 的对 

于引导 学生发掘 题 目中丰 富 的内涵 , 从 而使 教学 工  作 取得事半 功倍 的成效 .  

边上, 则 称这样 的平 行 四边形 为三角形 的“ 友好 平 

( 上接 第 4 2页)  

以上各结论 的证 明 即是将 Q、 A、 B三点 的坐标代 入 

参 考 文 献  

. 

进 行   翟   篓   ,   . 、 J   i   值得 注意 的是 , 椭 圆和双 曲线 也具有 多数上 述  … 1 9 9 9 ~ ( 8 、… … 
类 似性 质 , 有兴趣 的读者不妨一 试.  

一 

一  

…  。  。  ~ … 


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