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第五章 计数值控制图


第五章 计数值控制图
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 不合格品率控制图 不合格品数控制图 缺陷数控制图 单位缺陷数控制图 通用控制图 控制图的应用

第五章 计数值控制图
计数控制图分为计件控制图和计点控制图 计件控制图:考虑是否具有某种特性, 计件控制图:考虑是否具有某种特性 比如:产品是否合格,记录不合格的产品数。 比

如:产品是否合格,记录不合格的产品数。

计点控制图:记录所考察的个体或一定量、 计点控制图:记录所考察的个体或一定量、 一定面积上某种特性出现的次数。 一定面积上某种特性出现的次数。

第五章 计数值控制图
常用的计件控制图为: 常用的计件控制图为:
不合格品率控制图( 不合格品率控制图(p图) 不合格品数控制图(np图 不合格品数控制图(np图) 它使用的统计基础是二项分布,只有一个参数 它使用的统计基础是二项分布,

第五章 计数值控制图
常用的计点控制图是: 常用的计点控制图是: 缺陷数控制图( 缺陷数控制图(c图) 单位缺陷数控制图( 单位缺陷数控制图(u图) 它基于泊松分布,仅有一个参数。 它基于泊松分布,仅有一个参数。 比如: 比如: 一个铸件上的气孔数 一匹布上的疵点数。 一匹布上的疵点数。

5.1 不合格品率控制图
假设生产过程处于一稳定状态,产品的不合格品率为 p,且各单位的生产是独立的,则单位产品的不合格 品数服从参数p的贝努利(Bernoulli)分布 设抽出容量为n的样本,且含有D个不合格品,则样本 中不合格品数D服从参数为n和p的二项分布
? σ
D D

= np = np (1 ? p )



D p= n

?p = p σp =
p (1 ? p ) / n

由于不合格品率的均值和方差相互关联 只需要一张p控制图就可对过程进行控制

5.1 不合格品率控制图
如果p已知,p控制图的控制限:
UCL = p + 3 CL = p LCL = p ? 3 p (1 ? p ) / n p (1 ? p ) / n

如果不合格率p未知,则估计值
样本不合格频率为: pi = Di / ni ( i = 1,2,...m) 样本不合格频率为: p =

∑D / ∑n
i =1 i i =1

m

m

i

p未知时,p控制图的控制限

UCL = p + 3 CL = p LCL = p ? 3

p (1 ? p ) / n i p (1 ? p ) / n i

5.1 不合格品率控制图
使用说明 在p图中,若点子超出上控制界限,说明过程不合格品 率变大,过程存在异常因素需进行分析,并采取措施加 以解决 解释低于控制下限的点时必须很小心 这些点常常不是代表过程质量有真正的改善,反而 常常是训练或经验不足的检验者和检验设备的校准 刻度不适当所引起的错误 也有检验者让不合格品通过或者是伪造资料 当分析者再寻找这些在控制下限以外的点的非机遇原因 时,应将以上各点牢记于心 并非所有p的“向下变动”都是因为质量提高

5.1 不合格品率控制图
关于样本规模的说明 在 ni 大小不等时,上、下控制界限均不等,控制 图的控制界限不是一条直线,而是呈凸凹不平状 当样本大小相差不大时: 即 n i 在 n ? 0.25 n 与 n + 0.25n 之间,用 n 代替 n i ,p图的控制界限变为
?UCL = p + 3 p (1 ? p ) / n ? ? ?CL = p ? ? LCL = p ? 3 p (1 ? p ) / n ?

5.1 不合格品率控制图
关于过程不合格率p 关于过程不合格率p 当过程不合格率p很小时,必须选择较大的样本才能使 得样本中包含1个不合格品的概率很大 否则,p图的控制界限将使样本中只要出现1个不合格品 就判断过程失控,这样就失去了控制图的作用 一般来说,可选择恰当的样本大小,使样本中不合格品 数在1-5之间,即1<np<5。 当n<9(1-p)/p时, p图下控制界限为负。可令LCL=0 但为了能准确地反映过程实际不合格品率的波动情况, 在样本不合格品率较小时,需要抽取足够大的样本,以 使下控制界限非负,即

n ≥ 9(1? p) / p

5.1 不合格品率控制图

例1 在某产品生产过程中抽取25个样本,测得样本的不合 格品数如表所示。试作p控制图,并分析过程是否处于 稳态。 首先计算各样本的不合格品率和平均不合格品率, 填入表中 计算出样本的平均不合格品率为 p = 0.0186 由于 n < 9(1 ? p) / p = 475 ,所有样本的LCL=0 由于各样本大小不等,上控制界限大小不等

p控制图数据表 控制图数据表
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 样本 大小 95 87 86 97 94 79 78 99 75 76 89 95 78 不合格品 数 2 1 2 1 1 0 1 6 2 1 2 2 1 不合格 品率 0.0211 0.0115 0.0233 0.0103 0.0106 0.0000 0.0128 0.0606 0.0267 0.0132 0.0225 0.0211 0.0128 UCL 0.0602 0.0621 0.0623 0.0598 0.0604 0.0642 0.0645 0.0593 0.0654 0.0651 0.0616 0.0602 0.0645 样本号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 合计 样本 大小 99 75 76 89 87 86 97 94 79 81 80 77 2148 不合格 品数 0 2 0 1 3 2 2 1 2 2 1 2 40 不合格 品率 0.0000 0.0267 0.0000 0.0112 0.0345 0.0233 0.0206 0.0106 0.0253 0.0247 0.0125 0.0260 0.0186 UCL 0.0593 0.0654 0.0651 0.0616 0.0621 0.0623 0.0598 0.0604 0.0642 0.0636 0.0639 0.0648

5.1 不合格品率控制图
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 LCL=0 CL=0.186 UCL

某生产过程的p控制图 某生产过程的 控制图

5.1 不合格品率控制图
从图中可看出,该过程中25个点子中有1个点子落 在控制界限以外,过程处于失控状态 实际上控制界限不等,给我们的判断带来困难 如出界的第8个样本点,如果在其他位置则有可能 是稳定状态,因有些位置的控制界限更宽 样本规模造成的控制界限的凸凹不平,给作图和稳 定性判断都带来了不便 可用将在后面介绍的通用控制图方法加以解决

5.1 不合格品率控制图
例2 冷冻浓缩柳橙汁以6盎司纸罐装,这些纸罐是先 用机器把纸板制成罐状,然后在底部加入金属板。检 验这些纸罐时,将纸罐装满液体,检查液体是否会由 侧边或底部的接缝漏出,若这些接缝有液体漏出,即 为不合格品。我们想建立控制图改善这部机器的不合 格率。 为了建立控制图,我们取30组样本,每组样本有 50个纸罐,这些样本是在机器每天三班制的连续工作 下每半小时取一次而得,数据如表1。

5.1 不合格品率控制图
表1:收集的数据
样本编号 不合格纸罐数 样本不合格率 样本编号 不合格纸罐数 样本不合格率

5.1 不合格品率控制图

5.1 不合格品率控制图

将每一个初始样本的不合格率画在图上,发现样本15及23的两个 点超出控制上限,所以过程超出控制,须检查这些点是否有异常 原因 分析样本15得知,在这半小时里,有一批新的纸板投入生产 中,有时候新原料的引进会造成不规则的生产情况 在样本23那半小时里,有一个没有经验的操作员暂时被指派 到这部机器,而使样本23有这么高的不合格率

5.1 不合格品率控制图
新 的 操作员

故样本15及23可删除,再重新计算新的中心线及修正控 制界限如下:

5.1 不合格品率控制图
在调整机器后的三班中,另外取24个样本,每个 样本取50个观察值作控制图,数据略,并将这些样本 的不合格率画在控制图上,如下图
不计入控制线计 算的点

5.1 不合格品率控制图
检验机器调整前后的不合格频率是否改变,假设为 H0 : p1 = p2 , H1 : p1 ≠ p2 上述检验的统计量为

拒绝原假设,结论为过程的缺陷显著的减小.

5.1 不合格品率控制图
根据显然成功的过程调整,似乎要再一次修正控制界限才合逻 辑。只用最近的样本(号码31-54),新控制界限的参数如下:
不计入控制线计 算的点

CL

控制限估计

新计算的控制限

5.1 不合格品率控制图
下图是接下去连续5班的控制图,控制图并没有显示异 常现象
新的操 作员 不计入控制线计算 的点

机器调整

控制限估计

新计算的控制限

5.2 不合格品数控制图
当样本大小相等,可用np控制图对不合格品数控制 产品不合格品率为p,样本规模为n,样本不合格品数为 np 若p未知,根据控制图原理, np图的控制界限为

UCL = pn + 3 pn(1 ? p ) CL = pn LCL = pn ? 3 pn(1 ? p )
np图的使用方法和p图基本相同。同样,样本应保持足 够大,避免在样本中出现1个不合格品后就判断异常 当LCL<0时,取LCL=0 不合格数控制图会比不合格品率控制图容易解释

5.2 不合格品数控制图
例2续 考虑表1的数据做不合格品数控制图如下
p = 0.2313 n = 50
UCL = pn + 3 pn(1 ? p ) = 50 0.2313) 50 0.2313) 0.7687) 20.510 ( + ( × ( = CL = np = 50(0.2313) = 11.565

LCL = pn ? 3 pn(1 ? p ) = 50 0.2313) 50 0.2313) 0.7687) 2.620 ( ? ( × ( =

5.2 不合格品数控制图
不合格率控制图被广泛应用在非制造业上的统计过 程控制 在非制造的环境里,很多质量特性可以被观察成合 格和不合格,如: 在发薪期问,支票错误或延误发薪的次数 在标准会计周期,应付帐款未付的次数和供 应商未能准时交货的次数 例如某公司采购部门,该采购部门每周下订 单给公司的供应商中不合格的数目。任何一 样的出错都会造成订单成本增加和延误原料 到期日。最常见的错误有: 数目不对、日期不对、价格或项目不符, 及供应商代码弄错等等

5.3 缺陷数控制图
缺陷(defect)是指残损或不圆满的地方。产品的缺 陷是指产品上不符合规定要求的地方。如金属抛光后 ,表面遗留的凹痕、班点等都是缺陷。这些缺陷都是 随机地、孤立地、间断地出现。 没有缺陷的产品被认为是合格品。有缺陷的产品 被认为是不合格品。在研究有缺陷产品时,人们关心 的是单位产品上的缺陷数,这里的单位产品是为了实 施抽样或统计缺陷数而划分的单位体或单位量。对于 按件制造的产品来说,一件产品就是一个单位产品, 如一个螺丝、一个电阻、一台电视机等。但有些产品 的单位产品的划分是不明确的,需要人为地规定一个 单位量,如一公尺导线、,一平方米玻璃等被人们规 定为一个单位产品。

5.3 缺陷数控制图
缺陷数: 缺陷数:单位产品上的缺陷数已被很多产品用来作为质 量特性,如: ? 一个铸件上的缺陷(砂眼等)数; ? 一定布上的缺陷(疵点)数; ? 一平方米玻璃上的缺陷(气泡)数; ? 一只螺栓上的缺陷(裂缝)数; ? 一盘录象带上的缺陷(疵点)数; ? 一公尺金属丝外层绝缘材料上的缺陷(伤痕)数; ? 一双球鞋上的缺陷(伤痕、脱胶、污染等)数;

5.3 缺陷数控制图
缺陷发生的次数可能是有限的或发生缺陷的概率可能并不是常 发生的次数可能是有限的或发生缺陷的 缺陷 通常服从泊松分布 泊松分布(Poisson 数,通常服从泊松分布(Poisson Distribution) 设X表示单位产品上的缺陷数,则x是一个随机变量,它可能取0,1 表示单位产品上的缺陷数, 是一个随机变量,它可能取0 等一切非负整数。 ,2…等一切非负整数。经研究,x取这些值的概率可用泊松分布给 等一切非负整数 经研究, 出,即: λx ? λ

P( X = x ) =

x!

e

, x=0,1,2,…… ……

泊松分布仅含一个未知数λ 在不同场合λ的值是不一样的, 泊松分布仅含一个未知数λ,在不同场合λ的值是不一样的,但λ 永远为正数。由于λ恰好是X的均值E(X) 所以λ E(X), 永远为正数。由于λ恰好是X的均值E(X),所以λ的实际含义是单位 产品的平均缺陷数,国外文献上常把它记为DPU DPU。 产品的平均缺陷数,国外文献上常把它记为DPU。即: λ=E( λ=E(X)=DPU

5.3 缺陷数控制图

对产品缺陷数c实施控制 由于缺陷数c的均值和方差相同 只需要一张c控制图就可对过程进行控制 该控制图的控制界限为
?UCLc = λ + 3 λ ? ?CLc = λ ? ? LCLc = λ ? 3 λ
?UCLc = c + 3 c ? ?CLc = c ? ? LCLc = c ? 3 c

5.3 缺陷数控制图

过程的平均缺陷数 c 很小时,必须选择较大的样本才 能使得样本中包含1个缺陷的概率很大 一般可选择恰当的样本大小n,使样本平均缺陷数在15之间

1< c < 5
c控制图一般用于样本大小不变的场合

5.3 缺陷数控制图

例 在某产品生产过程中抽取25个样本,测得样本的缺 陷数如表。试作c控制图,并分析过程是否处于稳态。 分析 计算平均缺陷数 控制图的界限为 m c = ∑ci / m = 97/ 25 = 3.88
i =1

?UCL = c + 3 c = 3.88 + 3 × 3.88 = 9.789 ? ? ?CL = c = 3.88 ? ? LCL = c ? 3 c = 3.88 ? 3 × 3.88 = 0 ?

5.3 缺陷数控制图
表 c控制图数据表 控制图数据表
样本大小 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 缺陷数 3 4 5 2 6 18 2 5 0 2 4 6 2 样本号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 合计 样本大小 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1250 缺陷数 2 5 6 2 3 4 2 2 5 0 4 3 97 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

样本号

5.3 缺陷数控制图
20 15 10 5 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

某生产过程的c控制图

UCL=9.789

CL=3.88 LCL=0

从上图中可以看出,该过程中25个点子中有1个落在控 制界限以外,因而过程处于失控状态。

5.4 单位缺陷数控制图
当样本大小变化时,应将各个样本的缺陷数折算成每 个检查单位的缺陷数u,即单位缺陷数 以过程的单位缺陷数u为控制对象,构造u图 u图控制界限为

?UCLu = u + 3 u / n ? ?CLu = u ? ? LCLu = u ? 3 u / n

5.4 单位缺陷数控制图

由于u图控制界限中包含样本规模n,在n大小不等时, 上下控制界限均不等 与p图一样,u控制图的控制界限呈凸凹不平状 样本大小给作图和稳定性判断都带来了不便,可以考 虑采用通用控制图的方法加以解决

5.4 单位缺陷数控制图
例:对某织物观察的面积(平方米)及其上的缺陷数 如下表,试作u图。

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

面积 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.2 1.2 1.2 1.2 1.7 1.7 1.7 1.7

缺陷数 4 5 3 3 4 5 3 2 5 3 2 4 1 5 2 4 2 6 4 3 0 8 3 8 5

5.4 单位缺陷数控制图
u =

∑ ∑

k

i =1 k

ci ni
k

=

94 = 2 . 974684 31 . 6

i =1

n=

∑n
i =1

i

k

31.6 = = 1.264 25

n ± 0.25n = (0.948 ? ?1.58)
UCL = u + 3 u / ni = 2.975 + 3 2.975 / 1.7

= 6.943

5.4 单位缺陷数控制图
U Chart for C2
9 8 7 3.0SL=6.943

Sample Count

6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 -3.0SL=0.000 U=2.975

Sample Number

5.4 单位缺陷数控制图
缺陷数的进一步分析 缺陷数数据比不合格率数据相比较有益,因为通常 有数种不同种类的缺陷,依据分析缺陷的种类,我 们常常可以看出某些原因的端倪 c图和u图被广泛使用在非制造环境上的应用统计过 程控制 就效率而言,我们处理非制造环境的错误(errors) 就如同处理制造上的缺陷 例如工程师的图误,计划书或其他文件上的错误 ,以及计算机软件上的错误都可以用c或u图 Gardiner和Montegomery(1987)曾提出一个例子 说明利用u图来监督计算机软件在发展阶段中的 错误

常规计数控制图
类别 控制图类型
UCLp = p + 3

控制限
p (1 ? p ) / n i p (1 ? p ) / n i CLp = p LCLp = p ? 3

p
计 数 控 制 图

不合格品率控制 图

UCL np = p n + 3 p n (1 ? p )

np 不合格品数控制


CL np = p n LCL np = p n ? 3 p n (1 ? p )
UCL u = u + 3 CL u = u LCL u = u ? 3 u /n u /n

u 单位缺陷数控制图

c

缺陷数控制图

UCL c = c + 3 CL c = c LCL c = c ? 3

c c

5.5 通用控制图
应用背景 控制图的有效性基于过程的稳定和大批量的 数据 在使用计数值控制图时,由于控制界限中含 有样本大小n,因此控制界限会随着样本大 小的变化而呈凹凸不平状。给过程控制带来 了很大的麻烦 为了便于上述过程的控制,可以采用标准变 换,将其变为通用控制图

5.5 通用控制图
标准变换 控制变量X的均值为 ? ,标准差为 σ X作如下变换后得到
X′ = X ??

X′ 的均值为0,标准差为1

σ

控制图的构造 根据 3σ 原则,通用控制图的控制界限为

UCL′ = (UCL ? ? ) / σ = ( ? + 3σ ? ? ) / σ = 3 CL′ = (CL ? ? ) / σ = 0 LCL′ = ( LCL ? ? ) / σ = ( ? ? 3σ ? ? ) / σ = ?3

5.5 通用控制图

通用控制图的制作非常简单,中心线为0,上下控 制线分别为±3的固定数值 使用通用控制图的关键在于将现场测得的质量特性 值X,先作标准变换,再将得到的数据在图中描点 控制图的判断准则与常规的控制图相同

5.6 控制图的选择
计量值控制图和计数值控制图间作选择 在某些情况下,可以很明确地做决定,例如,若 质量特性是产品的颜色,譬如毛毯或布料产品, 则计数值检验比企图去量化颜色这个质量特性更 好。在其他情况下,选择将并不明显 因此必须考虑多种因素以在计数值和计量值控制 图间作选择 计数值控制图的优点是可以同时考虑数个质量特性, 且只要任何一个特性不符合规格,就将该单位列为不 合格品 计数值检验可避免掉测量时的费用和所消耗的时间 计量值控制图对过程绩效比计数值控制图提供更多有 用的信息,过程的平均值和变异程度的信息都可直接 获得

5.6 控制图的选择
当计量值控制图的点超出控制时,通常能获得潜 在因素的更多信息 对于一过程能力的研究,计量值控制图几乎总是 优于计数值控制图 计量值控制图通常比计数值控制图需要较小的样 本大小 虽然计量值检验每单位的费用和花费的时间较 计数值检验高,但只需检验较少的单位。 这是一个重要的考量,特别是在检验为破坏性 的情况下(例如打开一个罐头测量内容物的量 或试验其化学性质)。

5.6 控制图的选择
在下列情况时考虑使用计量值控制图: 在下列情况时考虑使用计量值控制图: 即将开始一新过程或在现有的过 1. 即将开始一新过程或在现有的过程内生产新产品 程已经运作了一段时间, 2. 过程已经运作了一段时间,但一直出状况且无法达到 指定的公差 程出状况时, 制图能达到诊断的目的(解决困难) 3. 过程出状况时,控制图能达到诊断的目的(解决困难) 需要破坏性试验时(或其他昂贵的试验程序) 4. 需要破坏性试验时(或其他昂贵的试验程序)。 程在控制状态时, 5. 当过程在控制状态时,希望能将验收抽样或其他下游 试验减至最小 已使用计数值控制图, 程不是超出控制就是在控 6. 已使用计数值控制图,但过程不是超出控制就是在控 制状态但产出水平不被接受 当操作员必须决定是否调整过 8. 当操作员必须决定是否调整过程或必须对计划进行评 估时 9. 想要改变产品规格时 必须持续证明其过 10. 必须持续证明其过程的稳定性和能力

5.6 控制图的选择
在下列情况时考虑使用计数值控制图: 1. 操作员控制非机遇原因,且必须降低过程缺陷 2. 过程控制是需要的,但测量数据无法获得。 控制图是一个在线过程监督的程序,它们的实施和 维护应该尽可能与生产中心密切配合以达到快速的反馈 。过程操作员和生产工程师应该对收集过程数据及维护 控制图直接负责,并解释其结果。操作员和工程师具备 矫正过程出差错的详尽的过程知识,并且把使用控制图 当作是一种改善过程绩效的策略

5.6 控制图的选择
实施控 实施控制图的原则 对实施控制图计划有益的一般原则 1.决定控制哪些过程特性 2.决定在过程的哪里实施控制图 3.选择适当类型的控制图 4.根据SPC/控制图的分析采取改善过程的措施 5.选择数据收集系统和计算机软件

学习要点
1. . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 了解计数值控制图的统计基础 了解如何建立和使用P控制图(针对不合格率) 了解如何建立和使用nP控制图(针对不合格品的个数) 了解如何建立和使用c控制图(针对缺陷数) 了解如何建立和使用u控制图(针对单位缺陷数) 了解如何使用变动样本大小的计数值控制图 了解计数值控制图和计量值控制图的优缺点


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