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(通用)2018年高考数学一轮复习第六章数列61数列的概念与简单表示学案理!


§6.1

数列的概念与简单表示

考纲展示? 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 考点 1 由数列的前几项求数列的通项公式

1.数列的概念 (1)数列的定义:按照________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列 的________. (2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集)为 ________的函数 an=f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法,它们分别是________、________和________. 答案:(1)一定顺序 项 (2)定义域 (3)列表法 图象法 通项公式法 2.数列的分类
*

-1-

答案:有限 无限 > < 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式:如果数列{an}的第 n 项 an 与________之间的关系可以用一个式子________ 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任 一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这 个数列的递推公式. 答案:(1)序号 n

an=f(n)
? ? ? ?

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=? 答案:S1 Sn-Sn-1

,n=1, ,n≥2.

(1)[教材习题改编]已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,给出下列各式: 1-?-1? ①an= ; 2 1+?-1? ②an= ; 2 ③an=sin
2

n

n


2



1-cos nπ ④an= ; 2
?1,n为正偶数, ? ⑤an=? ?0,n为正奇数; ?

1+?-1? ⑥an= 2

n+1

+(n-1)(n-2).

其中可以作为数列{an}的通项公式的有________.(写出所有正确结论的序号) 答案:①③④ ?-1? 4 (2)[教材习题改编]已知 {an}满足 an= +1(n≥2), a7= ,则 a5=__________. an-1 7 3 答案: 4 解析:由递推公式,得 a7= -1 1 3 +1,a6= +1,则 a5= . a6 a5 4
n

-2-

[典题 1] 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,?; 2 4 6 8 10 (2) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 9 25 (3) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (4)5,55,555,5 555,?. [解] (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1) ,观察各项的绝对值, 后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为 an=(-1) (6n-5). (2) 这 是 一 个 分 数 数 列 , 其 分 子 构 成 偶 数 数 列 , 而 分 母 可 分 解 为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通项 公式为 an= 2n . ?2n-1??2n+1?
n n

1 (3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即 , 2 4 9 16 25 n , , , ,?,从而可得数列的一个通项公式为 an= . 2 2 2 2 2 5 5 5 n (4)将原数列改写为 ×9, ×99, ×999,?,易知数列 9,99,999,?的通项为 10 -1, 9 9 9 5 n 故所求的数列的一个通项公式为 an= (10 -1). 9 [点石成金] 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征, 并对此进行归纳、联想,具体如下: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊 到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变 化,可用(-1) 或(-1)
n n+1
2

来调整. 考点 2 由递推公式求通项公式

-3-

1.函数的概念的两个易混点:项 an;项数 n. (1)已知数列{an}的通项公式为 an= 2 答案: 3 解析:由数列{an}的通项公式为 an=

n-1 ,则数列{an}的第 5 项是__________. n+1

n-1 5-1 4 2 2 ,得 a5= = = ,即数列{an}的第 5 项是 . n+1 5+1 6 3 3

(2)已知数列 2, 5,2 2, 11,?,则 2 5是该数列的第__________项. 答案:7 解析:由题意可知,该数列可以表示为 2, 5, 8, 11,?,故 2 5= 20是该数列 的第 7 项. 2.数列的两种表示方法:通项公式;递推公式.

q 3 3 (1)已知数列{an}的通项公式为 an=pn+ ,且 a2= ,a4= ,则 a8=__________. n 2 2
9 答案: 4

q 3 ? ?2p+2=2, 解析:由已知得? q 3 ? ?4p+4=2,

1 ? ?p= , 解得? 4 ? ?q=2,

1 2 9 则 an= n+ ,故 a8= . 4 n 4

(2)已知非零数列{an}的递推公式为 an= 答案:4

n ·an-1(n>1),且 a1=1,则 a4=__________. n-1

3 解析:依次对递推公式中的 n 赋值,当 n=2 时,a2=2a1;当 n=3 时,a3= a2=3a1;当 2

n=4 时,a4= a3=4a1=4.

4 3

求解数列通项公式的两种方法:待定系数法;递推法. (1)已知数列{an}的通项公式为 an=n -10n+17,则数列{an}中使 an<0 的 n 构成的集合为 ________. 答案:{3,4,5,6,7} 解析:由 an=n -10n+17<0,得(n-5) <8,n∈N ,满足该不等式的 n 的值为 3,4,5,6,7,
-42 2 * 2

所以所求的集合为{3,4,5,6,7}. (2)已知数列{an}中, a1=1, an+an-1=1(n≥2), 则数列{an}的一个通项公式为__________.
?1,n为奇数, ? 答案:an=? ? ?0,n为偶数

?或 an=? sin


2

|等)

解析:由 an+an-1=1(n≥2),得 a2=0.又 an+1+an=1,结合 an+an-1=1(n≥2),得 an+1 =an-1(n≥2),即该数列的奇数项相等、偶数项相等,
?1,n为奇数, ? 所以通项公式为 an=? ?0,n为偶数 ?

?或 an=? sin


2

|等).

[典题 2] (1)已知数列{an}满足 a1=1, an+1=3an+2, 则数列{an}的通项公式为________. [答案] an=2·3
n-1

-1

[解析] ∵an+1=3an+2, ∴an+1+1=3(an+1), ∴

an+1+1 =3, an+1

∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, 又 a1+1=2,∴an+1=2·3 ∴an=2·3
n-1 n-1



-1.

(2)已知数列{an}满足 a1=1,an= [答案] 1

n-1 an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为________. n

n n-1 n-2 1 an-1(n≥2),所以 an-1= ·an-2,?,a2= a1,以上(n-1) n n-1 2

[解析] 解法一:an=

1 2 n-1 a1 1 个式子的等号两端分别相乘得 an=a1· · ·?· = = . 2 3 n n n 解法二:an=

an an-1 an-2 a3 a2 n-1 n-2 n-3 1 · · ·?· · ·a1= · · ·?·1= . an-1 an-2 an-3 a2 a1 n n-1 n-2 n

[点石成金] 由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知 a1 且 an-an-1=f(n),可用“累加法”求 an. (2)已知 a1 且

an =f(n),可用“累乘法”求 an. an+1

(3)已知 a1 且 an+1=qan+b,则 an+1+k=q(an+k)(其中 k 可由待定系数法确定),可转化 为等比数列{an+k}.

-5-

(4)形如 an+1= 求解.

Aan (A,B,C 为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列 Ban+C

(5)形如 an+1+an=f(n)的数列, 可将原递推关系改写成 an+2+an+1=f(n+1), 两式相减即 得 an+2-an=f(n+1)-f(n),然后按奇偶分类讨论即可.

1.[2017·安徽合肥一模]已知数列{an}满足 a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N ),则数 列{an}的通项公式 an=________. 答案:3×2
n-1

*

-2

解析:由 an+2+2an=3an+1,得

an+2-an+1=2(an+1-an),
∴数列{an+1-an}是以 a2-a1=3 为首项,2 为公比的等比数列,∴an+1-an=3×2 ∴当 n≥2 时,
n-1



an-an-1=3×2n-2,?,a3-a2=3×2,a2-a1=3,
将以上各式累加,得

an-a1=3×2n-2+?+3×2+3=3(2n-1-1),
∴an=3×2
n-1

-2(当 n=1 时,也满足).

2.在数列{an}中,a1=1,Sn= 答案:

n+2 an,则 an=________.
3

n?n+1?
2

解析:由题设知,a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= ∴ ∴

n+2 n+1 an- an-1.
3 3

an n+1 = , an-1 n-1 an-1 n a4 5 a3 4 a2 = ,?, = , = , =3. an-2 n-2 a3 3 a2 2 a1

以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘,得到

an n?n+1? n?n+1? = ,又∵a1=1,∴an= . a1 2 2
考点 3 an 与 Sn 关系的应用

-6-

[考情聚焦]

an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容,且多出现在选择题或填空题中,有

时也出现在解答题的已知条件中,难度较小,属容易题. 主要有以下几个命题角度: 角度一 利用 an 与 Sn 的关系求 an [典题 3] (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1,则 an=________.
? ?2,n=1, [答案] ? ?2n-1,n≥2 ?
2

[解析] 当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +1-[(n-1) +1]=2n-1.
? ?2,n=1, 故 an=? ? ?2n-1,n≥2.
2 2

2 1 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式 an=________. 3 3 [答案] (-2)
n-1

2 1 [解析] 由 Sn= an+ ,得 3 3 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ , 3 3 2 2 两式相减,得 an= an- an-1, 3 3 ∴an=-2an-1,即

an =-2, an-1
n-1

故当 n≥2 时,an=(-2)

.

2 1 又 n=1 时,S1=a1= a1+ ,a1=1,满足上式. 3 3 ∴an=(-2)
n-1

.
? ?S1,n=1, ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

[点石成金] 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=?

当 n=1 时,

若 a1 适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,若 a1 不适合 Sn-Sn
-1

,则用分段函数的形式表示. 角度二 利用 an 与 Sn 的关系求 Sn [典题 4] (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A.2
n-1

)

?3?n-1 B.? ? ?2?
-7-

?2?n-1 C.? ? ?3?
[答案] B [解析] 由已知 Sn=2an+1,得

D.

1 2
n-1

Sn=2(Sn+1-Sn),
即 2Sn+1=3Sn,

Sn+1 3 = ,而 S1=a1=1, Sn 2

?3?n-1 所以 Sn=? ? . ?2?
(2)[2017·湖南株洲模拟]设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 an 和 Sn 满足:4Sn=(an+ 1) (n=1,2,3,?),则 Sn=________. [答案] n
2 2

?an 1?2 [解析] 由题意可知,Sn=? + ? , ? 2 2?
当 n=1 时,a1=1;

?an 1?2 ?an-1+1?2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=? + ? -? ? ? 2 2? ? 2 2? ? ? ? +1? =? + ?·? 2 - 2 ? 2 2 ? ? ? ?
an an-1
2 2

an an-1

?an-an-1?+?an-an-1?, =? ? ? ? ? 4 ? ?2 2 ?
整理得,
2 an+an-1 a2 n-an-1

2



4

? an-an-1=2,

?1+2n-1?n 2 所以 an=2n-1,所以 Sn= =n . 2 [点石成金] 解决此类问题通常利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)将已知关系转化为 Sn 与 Sn-1 的关 系式,然后求解. 考点 4 数列的单调性及应用

[典题 5] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=an·bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. (1)[解] 当 n=1 时,a1=S1=4. 对于 n≥2,有 an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 当 n=1 时,适合上式.
-82

2

所以{an}的通项公式为 an=4n. 将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 T1=2-b1, 又 T1=b1,故 T1=b1=1. (求 bn 解法一)对于 n≥2,由 Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn, 得 bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1),

bn= bn-1,所以 bn=21-n.
(求 bn 解法二)对于 n≥2,由 Tn=2-bn,得

1 2

Tn=2-(Tn-Tn-1),
2Tn=2+Tn-1,

Tn-2= (Tn-1-2), Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n, Tn=2-21-n, bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21-n.
(2)[证明] 由 cn=an·bn=n 2
2 2 5-n

1 2

,得

cn+1-cn=24-n[(n+1)2-2n2]=24-n[-(n-1)2+2].
当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0,即 cn+1<cn. [点石成金] 1.单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性,通常是运用作差或
*

作商的方法判断 an+1 与 an(n∈N )的大小,若 an+1>an 恒成立,则{an}为递增数列;若 an+1<an 恒成立,则{an}为递减数列. 2.求数列{an}的最大项或最小项,一种方法是利用函数的最值法;另一种是不等式法, 求最小项可由?
? ?an≤an+1, ? ?an≤an-1

来确定 n,求最大项可由?

? ?an≥an+1, ? ?an≥an-1

来确定 n.若数列是单调

的,也可由单调性来确定最大项或最小项.

3 * 已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N ),且 S3+a3,S5+a5, 2

S4+a4 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; 1 * (2)设 Tn=Sn- (n∈N ),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

Sn

解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,
-9-

所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,

a5 1 2 于是 q = = . a3 4
3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为

an= ×?- ?n-1=(-1)n-1· n. 2
(2)由(1),得 1 1+ ,n为奇数, ? ? 2 ? 1? S =1-?- ? =? ? 2? 1 ?1-2 ,n为偶数. ?
n n n n

3 2

? 1? ? ?

3 2

当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小, 3 所以 1<Sn≤S1= , 2 1 1 3 2 5 故 0<Sn- ≤S1- = - = . Sn S1 2 3 6 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大, 3 所以 =S2≤Sn<1, 4 1 1 3 4 7 故 0>Sn- ≥S2- = - =- . Sn S2 4 3 12 7 1 5 * 综上知,对于 n∈N ,总有- ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6 5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12

[方法技巧] 或(-1)
n+1

1.由数列的前几项求数列通项, 通常用观察法[对于交错数列一般有(-1)

n

来区分奇偶项的符号];已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,

若求通项可用归纳、猜想和转化的方法. 2.强调 an 与 Sn 的关系:an=?
? ?S1,n=1, ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有两种常 见思路:

- 10 -

(1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加法、累乘法或构造法求数列的通项公式. [易错防范] 1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变

量的取值,如数列 an=f(n)和函数 y=f(x)的单调性是不同的. 2.在利用数列的前 n 项和求通项时,往往容易忽略先求出 a1,而是直接把数列的通项公 式写成 an=Sn-Sn-1 的形式,但它只适用于 n≥2 的情形. 真题演练集训 1.[2016·浙江卷]设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N ,则 a1= ________,S5=________. 答案:1 121
? ?a1+a2=4, ?a2=2a1+1, ? ? ?
*

解析:由于? 1 2

解得 a1=1.由 an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1 得 Sn+1=3Sn+1,所以 3 2 1 2 3 2

Sn+1+ =3?Sn+ ?,所以?Sn+ ?是以 为首项,3 为公比的等比数列,所以 Sn+ = ×3n-1,即 2 2

? ?

1?

1?
?

?

Sn=

3 -1 ,所以 S5=121. 2
?1? * 2.[2015·江苏卷]设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N ),则数列? ?前 10 项 ?an?

n

的和为________. 20 答案: 11 解析:由题意得,a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n(n≥2). 将以上各式相加,得

an-a1=2+3+?+n=
又∵ a1=1,∴ an=

?n-1??2+n? n +n-2 = . 2 2 (n≥2).

2

n2+n
2

∵ 当 n=1 时也满足此式, ∴ an= ∴ 1 =

n2+n
2
2

(n∈N ).

*

an

1 ? 2 ?1 =2×? - ?. n +n ?n n+1?

1 1? ?1 1 1 1 ∴ S10=2×? - + - +?+ - ? 10 11? ?1 2 2 3 1 ? 20 ? =2×?1- ?= . 11 ? ? 11

- 11 -

3.[2015·四川卷]设数列{an}(n=1,2,3,?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2 +1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? 1 (2)记数列? ?的前 n 项和为 Tn,求使得|Tn-1|< 成立的 n 的最小值. 1 000 ?an?

解:(1)由已知 Sn=2an-a1,得

an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即 an=2an-1(n≥2). 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列, 即 a1+a3=2(a2+1), 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2. 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an=2 . 1 1 (2)由(1),得 = n, an 2 1? ?1?n? ?1-? ? ? 1 1 1 2? ?2? ? 所以 Tn= + 2+?+ n= 2 2 2 1 1- 2 1 =1- n. 2 1 1 ? 1 ? 由|Tn-1|< ,得?1- n-1?< , 2 1 000 ? ? 1 000 即 2 >1 000. 因为 2 =512<1 000<1 024=2 ,所以 n≥10. 1 于是使|Tn-1|< 成立的 n 的最小值为 10. 1 000 课外拓展阅读 由递推公式求通项的常用方法和技巧 递推数列是高考考查的热点,由递推公式求通项时,一般需要先对递推公式进行变形, 然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题.下面给出几种常见的递推数列,并讨论其通 项公式的求法. 类型 1 an+1=an+f(n) 把原递推公式转化为 an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解. [典例 1] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,求数列{an}的通项公式.
- 12 9 10

n

n

[思路分析]

[解] 因为 a1=2,an+1-an=n+1, 所以 an-an-1=(n-1)+1,

an-1-an-2=(n-2)+1,an-2-an-3=(n-3)+1,
?

a2-a1=1+1,
由已知,a1=2=1+1, 将以上各式相加,得

an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+?+2+1]+n+1
= = = ?n-1?[?n-1?+1] +n+1 2

n?n-1?
2 2

+n+1 +1.

n?n+1?

类型 2 an+1=f(n)an 把原递推公式转化为

an+1 =f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解. an

2 n [典例 2] 已知数列{an}满足 a1= ,an+1= ·an,求数列{an}的通项公式. 3 n+1 [思路分析]

[解] 由 an+1=

·an,得 = . n+1 an n+1
- 13 -

n

an+1

n

当 n≥2,n∈N 时,an=

*

an an-1 a2 n-1 n-2 1 2 2 2 · ·?· ·a1= · ·?· · = ,即 an= . an-1 an-2 a1 n n-1 2 3 3n 3n

2 2 2 又当 n=1 时, = =a1,故 an= . 3×1 3 3n 类型 3 an+1=pan+q[其中 p,q 均为常数,pq(p-1)≠0] 先用待定系数法把原递推公式转化为 an+1-t=p(an-t),其中 t= ,再利用换元法转 1-p 化为等比数列求解. [典例 3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求数列{an}的通项公式. [思路分析]

q

[解] 设递推公式 an+1=2an+3 可以转化为 an+1-t=2(an-t), 即 an+1=2an-t,解得 t=-3. 故 an+1+3=2(an+3). 令 bn=an+3,则 b1=a1+3=4,且

bn+1 an+1+3 = =2. bn an+3

所以{bn}是以 4 为首项,以 2 为公比的等比数列. 所以 bn=4×2
n-1

=2

n+1,

即 an=2

n+1

-3.

类型 4 an+1=pan+q [其中 p,q 均为常数,pq(p-1)≠0] (1) 一 般地 ,要 先 在递 推公 式 两边 同 除以 q
n+1

n

,得

an+1 p an 1 = · + , 引 入 辅助 数列 qn+1 q qn q

an? p 1 ? {bn}?其中bn= n?,得 bn+1= ·bn+ ,再用待定系数法解决; q

?

?

q

q

(2)也可在原递推公式两边同除以 p

n+1

, 得

an? an+1 an 1?q?n ? = + ? ?, 引入辅助数列{bn}?其中bn= n?, p? pn+1 pn p?p? ?

1?q?n 得 bn+1-bn= ? ? ,再利用累加法(逐差相加法)求解.

p?p?

- 14 -

5 1 ?1?n+1 [典例 4] 已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+? ? ,求数列{an}的通项公式. 6 3 ?2? [思路分析]

1 2 n ?1?n+1 n+1 n+1 [解] 解法一:将 an+1= an+? ? 两边分别乘以 2 ,得 2 an+1= (2 an)+1. 3 3 ?2?

?2? n 令 bn=2 an,则 bn+1=? ?bn+1, ?3?
2 根据待定系数法,得 bn+1-3= (bn-3). 3 5 4 2 所以数列{bn-3}是首项为 b1-3=2× -3=- ,公比为 的等比数列. 6 3 3 4 ?2?n-1 所以 bn-3=- ·? ? , 3 ?3?

?2?n 即 bn=3-2·? ? . ?3?
bn 3 2 于是,an= n= n- n. 2 2 3
1 ?1?n+1 ?3?n+1 n+1 n+1 n 解法二:将 an+1= an+? ? 两边分别乘以 3 ,得 3 an+1=3 an+? ? . 2 3 ? ? ?2? 3n+1 n 令 bn=3 an,则 bn+1=bn+ , 2

?3?n ?3?n-1 ?3?2 所以 bn-bn-1=? ? ,bn-1-bn-2=? ? ,?,b2-b1=? ? . ?2? ?2? ?2?
将以上各式叠加,得

bn-b1=? ?2+?+? ?n-1+? ?n, 2 2 2
5 5 3 又 b1=3a1=3× = =1+ , 6 2 2

?3? ? ?

?3? ? ?

?3? ? ?

? ?3?n+1? 1·?1-? ? ? 3 ?3?2 ? ?2? ? ?3?n-1 ?3?n ?3?n+1 所以 bn=1+ +? ? +?+? ? +? ? = =2·? ? -2, 2 ?2? 3 ?2? ?2? ?2? 1- 2
- 15 -

?3?n+1 即 bn=2·? ? -2. ?2?
bn 3 2 故 an= n= n- n. 3 2 3
类型 5 an+1=pan+an+b(p≠1,p≠0,a≠0) 这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列,即令 an+1+x(n+1)+y=p(an+xn +y),然后与已知递推式比较,解出 x,y,从而得到{an+xn+y}是公比为 p 的等比数列. [典例 5] 设数列{an}满足 a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求数列{an}的通项公式. [思路分析]

an=3an-1+2n-1 → 利用待定系数法得到一个等比数列 →
利用等比数列的知识可解 [解析] 设递推公式可以转化为

an+An+B=3[an-1+A(n-1)+B],
化简后与原递推式比较,得
? ?2A=2, ? ?2B-3A=-1, ?

解得?

? ?A=1, ?B=1. ?

则 an+n+1=3[an-1+(n-1)+1]. 令 bn=an+n+1,(*) 则 bn=3bn-1, 又 b1=6,故 bn=6·3
n-1

=2·3 ,

n

代入(*),得 an=2·3 -n-1. 类型 6 an+1=pan(p>0,an>0) 这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为 an+1=pan+q 型, 再利用待定系数法求 解. 1 2 [典例 6] 已知数列{an}中,a1=1,an+1= ·an(m>0),求数列{an}的通项公式.
r

n

m

[思路分析]

1 2 [解析] 对 an+1= ·an两边取对数,得

m

- 16 -

1 lg an+1=2lg an+lg .

m

1 令 bn=lg an,则 bn+1=2bn+lg .

m

1? 1 ? 因此得 bn+1+lg =2?bn+lg ?,

m

?

m?

1 记 cn=bn+lg ,则 cn+1=2cn.

m

1 1 所以数列{cn}是首项 c1=b1+lg =lg ,公比为 2 的等比数列.

m

m

所以 cn=2

n-1

1 ·lg .

m

1 1 1 ? ?1? n-1? n-1 所以 bn=cn-lg =2 ·lg -lg =lg ?m·? ?2 ?,

m

m

m

?

?m?

?

? ?1? n-1? 即 lg an=lg ?m·? ?2 ?, m ? ? ? ? ?1? n-1 所以 an=m·? ?2 . m ? ?
类型 7 an+1=

pan (p,q,r≠0 且 an≠0,qan+r≠0) qan+r

这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后,再进一步处理. 若 p=r,则有 若 p≠r,则有 1

an+1



?1? r+qan 1 q = + ,此时? ?为等差数列. pan an p ?an?

1 r 1 q = · + ,此时可转化为类型 3 来处理. an+1 p an p 2an ,求数列{an}的通项公式. an+2

[典例 7] 已知数列{an}中,a1=1,an+1= [思路分析]

[解析] 因为 an+1= 所以 an≠0, 所以 1

2an ,a1=1, an+2

an+1 an 2

1 1 = + ,
- 17 -



1 1 - = . an+1 an 2

1

1 又 a1=1,则 =1,

a1

?1? 1 所以? ?是以 1 为首项,以 为公差的等差数列. a n 2 ? ?

1 1 1 n+1 所以 = +(n-1)× = , an a1 2 2 所以 an= 2 * (n∈N ). n+1

类型 8 an+1+an=f(n) 将原递推关系改写成 an+2+an+1=f(n+1), 两式相减即得 an+2-an=f(n+1)-f(n), 然后 将 n 按奇数、偶数分类讨论即可. [典例 8] 已知数列{an}中,a1=1,an+1+an=2n,求数列{an}的通项公式. [思路分析]

[解] 因为 an+1+an=2n, 所以 an+2+an+1=2n+2,故 an+2-an=2, 即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为 2 的等差数列. 当 n 为偶数时,a2=1,

? ? 故 an=a2+2? -1?=n-1. ?2 ?
n
当 n 为奇数时,因为 an+1+an=2n,an+1=n(n+1 为偶数),故 an=n. 综上知,an=?
? ?n,n为奇数, ?n-1,n为偶数, ?

n≥1,n∈N*.

类型 9 an+1·an=f(n) 将原递推关系改写成 an+2·an+1=f(n+1), 两式作商可得

an+2 f?n+1? = ,然后将 n 按奇 an f?n?

- 18 -

数、偶数分类讨论即可. [典例 9] 已知数列{an}中,a1=3,an+1·an=2 ,求数列{an}的通项公式. [思路分析]
n

[解] 因为 an+1·an=2 , 所以 an+2·an+1=2
n+1

n

,故

an+2 =2, an

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公比为 2 的等比数列. 2 当 n 为偶数时,a2= , 3 -1 -1 2 2 2 故 an=a2·2 = ·2 , 3

n

n

n
1 即 an= ·2 3 2 ;

当 n 为奇数时,n+1 为偶数, +1 2 1 故 an+1= ·2 , 3

n

n
代入 an+1·an=2 ,得 an=3·2
n

2

-1 .

-1 2 ? ?3·2 ,n为奇数, 综上知,a =? n 2 1 ? ?3·2 ,n为偶数.

n

n

- 19 -


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