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列一元一次方程解应用题的几种常见题型及特点20141213


列一元一次方程解应用题的 几种常见题型及特点
类型题中涉及的数量及公式等量关系注意事项: 1、和、差问题由题意可知弄清“倍数”关系及“多、少”关系等 2、等积变形问题各体的体积公式变形后的体积公式分清半径、 直径 3、行程问题相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间快者+慢者=原来的距离相向而行注意始发时间 和地点 追及问题快者-慢者=原来的距离同向而行注意始发时间和地点 4、调配问题从调配后的数量关系中找等量关系调配对象流动的 方向和数量 5、比例分配问题全部数量=各种成分的数量之和把一份设为χ 6、工程问题工作量=工作效率×工作时间 7、工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率两个或多个工作效率不同的对象所 完成的工作量的和等于总工作量一般情况下把总工作量设为 1 8、利润率问题 商品的利润率=商品的利润/进价
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商品的利润=商品售价-商品进价 找出利润或利润率之间的关系打几折就是按原售价的十分之几 出售 9、 数字问题设 a,b 分别为一个两位数的个位上与十位上的数字, 则这个两位数可表示为 10b+a 10、行船问题顺流船行实际速度=船在静水中的速度+水流的速 度 逆流船行实际速度=船在静水中的速度-水流的速度

一元一次方程应用题专题训练
一、 和差倍分问题(年龄问题、 比例问题、 日历问题) 【只列方程】 1、姐姐 4 年前的年龄是妹妹的 2 倍, 今年年龄是妹妹的 1.5 倍, 求姐姐今年的年龄。 解:设今年妹妹的年龄为χ,根据题意得: 方法一:1.5χ-χ=2(χ-4)-(χ-4)(年龄差不变) 方法二:1.5χ=2(χ-4)+4(姐姐的年龄) 2、 1992 年,妈妈 52 岁,儿子 25 岁,哪一年妈妈的年龄是儿子的 4 倍。 解:设儿子χ岁那年妈妈的年龄是儿子的 4 倍,根据题意得: 4χ-χ=52-25(母子年龄差不变) 3、爸爸和女儿两人岁数加起来是 91 岁,当爸爸岁数是女儿现在
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岁数两倍的时候,女儿岁数是爸爸现在岁数的三分之一,那么爸爸现在 的年龄是多少岁,女儿现在年龄是多少岁。 解:设女儿现在是χ岁,则爸爸是 91-χ 当爸爸是女儿现在的二倍时要过 2χ-[91-χ]=3χ-91 年,那么女儿 的年龄是:χ+3χ-91=4χ-91 所以有:4χ-91=1/3[91-χ] χ=28 即女儿现在是 28 岁,爸爸是:91-28=63 岁 4、建筑工人在施工中,使用一中混凝土,是由水、水泥、黄沙、 碎石搅拌而成的,这四种原料的重量的比是 0.7:1:2:4.7,搅拌这 种混凝土 2100 千克,分别需要水、水泥、黄沙、碎石多少千克? 解:设需要水泥χ千克,则水需要 0.7χ、黄沙需要 2χ、碎石需要 4.7χ根据题意得: 0.7χ+χ+2χ+4.7χ=2100 5、小名出去旅游四天,已知四天日期之和为 66,求这四天分别 是哪几日? 解:设这四天分别为 a,a+1,a+2,a+3,根据题意得: a+a+1+a+2+a+3=66 4a+6=66 4a=60 a=15 这四天是 15 号,16 号,17 号,18 号
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二、等积问题【只列方程】 1、直径为 30 厘米,高为 50 厘米的圆柱形瓶里存满了饮料,现 把饮料倒入底面直径为 10 厘米的圆柱形小杯中,刚好倒满 20 杯, 求小杯子的高。 解:设小杯子的高为χ厘米,根据题意得: 圆柱形瓶子的底面半径=30÷2=15(厘米) 圆柱形杯子的底面半径=10÷2=5(厘米) 则有 3.14×5×5×χ×30=3.14×15×15×50 χ×5×5×30=15×15×50 χ=15 2、用 60 米长的篱笆,围成一个长方形的花圃,若长比宽的 2 倍少 3 米,则长方形的面积是多少? 解:设宽为χ,根据题意得: χ+(2χ-3)=60/2 3χ=30+3 χ=11 11×2-3=19m 11×19=209 ㎡ 3、将一个长、宽、高分别为 15 厘米、12 厘米和 8 厘米的长方 体钢块, 锻造成一个底面边长为 12 厘米的正方形的长方体零件钢坯。 试问是锻造前长方体钢块的表面积大, 还是锻造后的长方体零件钢坯
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的表面积大?请计算回答。 解: 设锻造成一个底面边长为 12cm 的正方形的长方体零件的高 是χcm 15×12×18=12×2×χ χ=22.5 (15×12+15×18+12×18)×2=1332(平方厘米) 12×12×2+12×22.5×4=1368(平方厘米) 答:是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大 三、行程问题(航行问题、相遇问题、追及问题、火车过桥问题) 【只列方程】 1、一艘轮船,航行于甲、乙两地之间,顺水用 5 小时,逆水比 顺水多用 2 小时。已知轮船在静水中的速度是每小时 54 千米,求水 流的速度? 设水速为每小时 v 千米,根据题意得方程: (54+v)×5=(54-v)×(5+2) 2、小红和小明绕周长为 1200 米的湖晨练,小红的速度为 85 米 /分,小明比她快 10 米/分, (1)如果两人同时同向同一地点开跑,多少分钟两人会相遇? (2)如果两人同时相向同地开跑,多少分钟两人会相遇? (3)如果小红在小明前面 200 米两人同时反向开跑,多少分钟两 人会相遇? 解:根据题意可知:小明的速度=85 米/分+10 米/分=95 米/分
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1、设χ分钟两人会相遇,所以 95χ=85χ+1200 解得χ=120 答:120 分钟两人会相遇 2、设 y 分钟两人会相遇,所以 95y+85y=1200 解得 y=20/3≈6.67 答:约 6.67 分钟两人会相遇 3、设 m 分钟两人会相遇,所以 95m+85m=1200-200 解得 m=50/9≈5.56 答:约 5.56 分钟两人会相遇。 3、甲乙两人骑自行车,从相距 60 千米的两地相向而行,甲每小时 走 12 千米,乙每小时走 10 千米,如甲走 15 分钟后乙再出发,问甲出发 后几小时与乙相遇? 设 t 小时后相遇 12×(15/60)+(12+10)×t=60 t=57/22≈2.59(小时) 4、 敌军和我军相距 27 千米,敌军以 4 千米/小时的速度逃跑,我军 迅速以 7 千米/小时的速度追击敌军,需几小时可以追上? 需χ小时可以追上 27=(7-4)χ
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3χ=27 χ=9 答 需 9 小时可以追上 5、一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥,用 了半分钟,则火车本身的长度为多少米? 设火车长度为χ米,由题意得:1000×0.5=400+χ 解得:χ=100 米 6、小强、小芳、小亮在郊游,看到远处一列火车匀速通过一个 隧道后,产生了以下对话.各位同学,请根据他们的对话求出这列火 车的长。 小强:火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用了 30 秒。 小亮:我爸爸参与过这个隧道的修建,他告诉我隧道长 500 米。 小芳:整列火车完全在隧道里的时间是 20 秒。 解:设火车的长度为χ米。 分析:题目条件可分为两个部分,即“火车从开始进入隧道到完 全开出隧道共用了 30 秒”和“整列火车完全在隧道里的时间是 20 秒”。 由第一部分可知, 火车从开始进入隧道到完全开出隧道所经过的路程 为 隧道长度+火车长度 ,由第二部分可知,整列火车完全在隧道里 所经过的路程为:隧道长度-火车长度 。 由题意得 (500+χ)/30=(500-χ)/20 解得 χ=100

答:火车的长度为 100 米。
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四、劳力调配及配套问题【只列方程】 1、甲车队有 15 辆汽车,乙车队有 28 辆汽车,现调来 10 辆汽 车分给两个车队, 使甲车队车数比乙车队车数的一半多 2 辆,应分配 到甲乙两车队各多少辆车? 解:设分配后乙车队有χ辆车 1/2χ+2+χ=15+28+10 1.5χ=53-2 χ=34 分配到乙车队=34-28=6(辆) 分配到甲车队=10-6=4(辆) 2、某车间有工人 85 人,平均每人每天可加工大齿轮 16 个或小 齿轮 10 人,又知二个大齿轮和三个小齿轮配套一套,问应如何安排 劳力使生产的产品刚好成套? 思路:此种题的关键是搞清楚如何将成套问题转化成数量关系。 比如:一个螺钉配两个螺母,是指从个数来说,螺母的个数是螺钉的 两倍。再如,一张桌面配四条桌腿,则 10 张桌面需配 40 条桌腿, 所以腿的条数是面的张数的 4 倍才配套。 此题中知 2 个大齿轮和 3 个小齿轮配一套, 应理解为小齿轮的数 量是大齿轮数量的 3/2 倍,或者大小齿轮的比是 2:3 解:设安排χ人生产大齿轮,则安排(85-χ)人生产小齿轮,由 题可得: (16χ)×3/2=10×(85-χ)
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解得 χ=25 85-χ=60(人) 解法二:设安排χ人生产大齿轮,则安排(85-y)人生产小齿轮, 由题可得: (16χ):[10×(85-χ)] =2:3 由比例的基本性质得:3×(16χ)=2[10(85-χ)] 解得 χ=25 85-χ=60(人) 答:安排 60 人生产小齿轮,安排 25 人生产大齿轮使生产的产 品刚好成套 。 3、某队有 55 人,每人每天平均挖土 2.5 方或运土 3 方,为合理 安排劳力,使挖出的土及时运走,应如何分配挖土和运土人数? 解:设挖土的χ人,运土的(55-χ)人 2.5χ=3×(55-χ) 2.5χ=165-3χ 5.5χ=165 χ=30 55-30=25 人 答挖土的 30 人,运土的 25 人。 五、销售盈亏问题【只列方程】 1、某种衣服因换季打折销售,每件衣服如果按标价的 5 折出售 将亏 60 元;而如果按标价的 8 折出售将赚 120 元。问这件衣服的标
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价和成本各是多少元? 解:设这件衣服的标价是χ元,则这件衣服按标价的五折的售价 是 0.5χ元,这件衣服的成本是(0.5χ+60)元;按标价的八折的售价是 0.8χ元,成本是(0.8χ-120)元;根据成本相等,有方程: 0.5χ+60=0.8χ-120 0.8χ-0.5χ=60+120 0.3χ=180 χ=600 0.5χ+60=0.5×600+60=360 答:这件衣服的标价是 600 元,成本是 360 元。 2、某商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔 25 元, 而按定价的九折出售将赚 20 元, 问这种商品的定价是多少元? 解:设定价为 χ 根据题意可得一元一次方程 0.75χ+25=0.9χ-20 χ=300 所以该商品定价 300 元。 成本价=300×0.75+25=250 元 3、团体购买公园门票,票价如下:购票人数 1~50 人 51~100 人 100 人以上,每人门票价分别是 65 元 55 元 45 元。 问题:今有甲,乙两个旅游团,若分别购票,两团总计应付门票 费 6570 元,若合在一起作为一个团体购票,总计应须付 5040 元,
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问这两个旅游团各有多少人? 解设甲团有χ人,乙团有 5040÷45-χ人=112-χ人 65χ+55×(112-χ)=6570 χ=41 人甲 112-41=71 人乙 六、银行利率问题【只列方程】 为了准备小颖六年后上大学的学费 15000 元,她的父母现在就参 加了教育储蓄,一年利率 2.25、三年利率 3.24、六年利率 3.60。 下面有两种储蓄方式: (1)直接存一个 6 年的 (2)先存一个 3 年期的,3 年后将本息和自动转存为 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少? 解:根据题意得: 1、设存 6 年需要本金χ元,则 (1+3.6%×6)χ=15000,解χ=12335.53 元 2、先存一个 3 年期的,3 年后将本息和自动转存为三年,则后三 年需要本息χ元, (1+3.24%×3)χ=15000,解χ=13671.16 元, 要想得到本息 13671.16 元, 设需要前三年本金 y 元, 则 (1+3.24% ×3)y=13671.16,解 y=12460.45 元。 12460.45 元大于 12335.53 元,所以直接存一个 6 年的。 七、数字问题【只列方程】
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1、有一个两位数,个位数字是十位数字的 4 倍,把这个两位数 的数字对调位置后,新的两位数比原两位数多 54,则原两位数为多 少? 解: 设原十位数字为χ,则个位数字为 4χ,原数为 10χ+4χ=14 χ,新数为 10×4χ+χ=41χ,根据题意得 41χ-14χ=54 χ=2 则 4χ=8 所以原数为 28 2、若有一个七位自然数,它的第一位数字是 3,若把 3 移到末 位,其他数位上的数字顺序不变,则新数等于这个原数的 2 倍还多 11,求原来的七位数? 解: 设后六位数的值为χ,根据题意得: 10χ + 3 = (3000000 + χ)×2 + 11 解得χ = 750001 则原来的七位数就是 3750001 八、余不足问题【只列方程】 1、用化肥若干千克给一块麦田施肥,每亩用 6 千克,还差 17 千克;每亩用 5 千克,还多 3 千克,这块麦田有多少亩? 解:设麦田为χ亩,根据题意得: 6χ-17=5χ+3 χ=20 亩,化肥为 113 千克。
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2、毕业生在礼堂入座,1 条长凳坐 3 人,有 25 人坐不下;1 条 长凳坐 4 人, 正好空出 4 条长凳, 则共有多少名毕业生?长凳有多少 条? 解:设长凳χ张,根据题意得 3χ+25=4×(χ-4) 解之:χ=41 则毕业生人数:41×3+25=148 答:毕业生 148 人,长凳 41 张。 4、有一次数学竞赛共 20 题,规定做对一题得 5 分,做错或不 做的题每题扣 2 分,小景得了 86 分,问小景对了几题? 解:设小景对了χ道题,根据题意得: 5χ-2(20-χ)=86 5χ-40+2χ=86 7χ=126 χ=18 九、工程问题【只列方程】 1、有一个水池,用两个水管注水。如果单开甲管,2 小时 30 分 注满水池,如果单开乙管,5 小时注满水池. (1)如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟,然后由乙单独注水。 问还需要多少时间才能把水池注满? (2)假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管 3 小时可以 把一满池水放完。如果三管同时开放,多少小时才能把一空池注满
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水? 解: 1、如果单开甲管,2 小时 30 分注满水池,则每小时注入 2/5 如果单开乙管,5 小时注满水池,则每小时注入 1/5. 设乙单独注水,还需χ小时才能把水池注满. (1/5+2/5)×1/3+χ/5=1 χ=4 2、三管同时开放,丙就成了放水管,那么,每小时丙可放水 1/3. 设χ小时才能把一空池注满水. (1/5+2/5-1/3)×χ=1 4/15×χ=1 χ=15/4 2、一项工程,甲单独完成需要 9 天,乙单独完成需要 12 天, 丙单独完成需要 15 天。若甲、丙先做 3 天后,甲因故离开,由乙接 替甲工作,问还需多少天能完成这项工程的 5/6? 解:设这项工程为单位 1,则甲一天能完成该工程的 1/9,乙一 天能完成该工程的 1/12,丙一天能完成该工程的 1/15,设还需χ天完 成这项工程,根据题意得: 3×(1/9+1/15)+χ×(1/12+1/15)=5/6 解得χ=2 即需要 2 天能完成这项工作的 5/6

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十、方案问题【列出方程,并解出来】 1、某中学要添置某种教学仪器,方案 1:到商店购买,每件需 要 8 元;方案 2:学校自己制作,每件 4 元,另外需要制作工具的租 用费 120 元,设需要仪器χ件. (1)用未知数分别列出方案 1 和方案 2 的总费用; (2)当购制仪器多少件时,两种方案的费用相同; (3)若学校需要仪器 50 件,问采用哪种方案便宜?请说明理 由. 解: (1)设学校要添置教学仪器χ件。 则方案 1:到商场购买,需要 8χ元, 方案 2:学校将自己制作,需要 4χ+120 元, (2)8χ=4χ+120,得χ=30,即当购学习仪器 30 件时,两种方案的 费用相同。 (3)若学校需要仪器 50 件,方案 1:需要 8×50=400(元) 方案 2:需要 4×50+120=320(元)。 方案 2 便宜。 2、张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动,甲旅 行社说:“如果老师买全票一张,则学生可享受半价优惠。”乙旅行社 说:“包括老师在内按全票价的 6 折优惠。”若全票价为 240 元,当学 生从数为多少人时,两家旅行社的收费一样多? 解:设学生人数为χ人,
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根据题意得:240+120χ=0.6×240(χ+1) 240+120χ=144+144χ 240-144=144χ-120χ 24χ=96 解得:χ=4, 所以当学生人数为 4 人,两家旅行社的收费一样. 3、某校七年级组织学生秋游,如果租用若干辆 45 座的客车, 则有 15 人无座位;如果租用 60 座的客车,则可比 45 座的客车少租 2 辆,且保证人人有座而无空位。求: (1)七年级共有多少名学生? (2) 若 45 座客车的租金为每辆 420 元, 60 座客车的租金为每辆 600 元,那么应如何安排客车的型号和数量,使得租金最少?是多少元? 答:设需租赁的车辆为χ 45χ+15=60(χ-2) 45χ+15=60χ-120 15χ=135 χ=9 45×9+15=420 人 那么需租赁的车辆为 9 辆则学生总人数为 420 人。 如果要求租金最少则需空位最少 设需要 45 座的客车χ,60 座的客车 y 辆 45χ+60y>=420 χ+y<=9
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420×χ+600×y<=4200 得 8>=χ>=2.3, 2.3>=y>=1 当χ=8 时,y=1 420×8+600×1=3960 当χ=7 时,y=2 420×7+600×2=4140 因 2.3>=y>=1 所以租金最少是 3960 元,45 座的客车 8 辆,60 座的客车 1 辆。 十一、其它问题【列出方程,并解出来】 有一个仅允许单向通过的窄道口,每分钟可以通过 9 人,一天王 老师到达道口时, 发现由于拥挤, 每分钟只能有 3 人通过道口, 此时, 自己前面还有 36 个人等待通过(假定先到的先过, 王老师过道口的时 间忽略不计),通过道口,还需 7 分钟到达学校。 (1)此时,若绕道而行,要 15 分钟到达学校,从节省时间考虑, 王老师应选择绕道去学校,还是选择是通过拥挤的道口去学校? (2)若在王老师等人的维持下几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序 期间,每分钟仍有 3 人通过道口),结果王老师比拥挤情况下提前 6 分钟通过道口问维持秩序的时间是多少? 解: 1、36/3=12 12+7=19
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19 大于 15 所以应该选择绕道去学校 2、设维持秩序时间为χ,根据题意得: 3χ+9(36/3-6-χ)=36, 得χ=3 所以维持秩序的时间是 3 分钟。

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