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状元之路新课标A版数学理科详解答案2


状元之路 高考进行时 一轮总复习 新课标通用 A 版数学理科

答案与导解

第三节 变量间的相关关系、统计案例 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 n?n-1??n-2???n-m+1? n! n-m m-1 10 11 12 Cn 13 Cn 答案:□ □ □ □ +Cm n m! m!?n-m?! 学情自测

1. 解析: 重合的有 x+2y=0 与 2x+4y=0; 2x+y=0 与 4x+2y=0, ∴有 A2 5-2=18(条). 答案:C 2.解析:分两类:第一类 A,B,C 三门课都不选,有 C3 7=35(种)方案.第二类 A,B, 1 2 C 中选一门,剩余 7 门课中选两门,有 C3 C7=63(种)方案.故共有 35+63=98(种)方案. 答案:B 1 3.解析:如图,不同填法有:C1 C1 C2 =12(种). 3· 2· 1 1 1 C3 C2 C1 1 1 1 C2 C1 C1 1 1 1 C1 C1 C1 答案:B 4.解析:由等差数列性质,得 x+y=2z(x,y,z 为所取卡片标号),x,y 必同奇同偶, 2 2 不同取法有 2C3 C3=18(种). 答案:C 5.解析:采用特殊位臵法,先让两个不同的公益广告排在首尾两个位臵,再让 4 个商业 广告排在剩下的 4 个位臵,据分步计数原理可知共有 2A4 4=48(种)播放方式. 答案:48 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)方法一:(元素分析法) 先排甲有 6 种,其余有 A8 8种, 8 故共有 6· A8=241 920(种)排法. 方法二:(位臵分析法) 6 3 6 中间和两端有 A3 A6=336×720 8种排法,包括甲在内的其余 6 人有 A6种排法,故共有 A8· =241 920(种)排法. 方法三:(等机会法) 9 个人的全排列数有 A9 9种,甲排在每一个位臵的机会都是均等的,依题意,甲不在中间 6 9 及两端的排法总数是 A9× =241 920(种). 9 方法四:(间接法) 9 8 A9 -3· A8 8=6A8=241 920(种). (2)先排甲、乙,再排其余 7 人, 共有 A2 A7 2· 7=10 080(种)排法. (3)(插空法) 5 4 5 先排 4 名男生有 A4 A5=2 880(种) 4种方法,再将 5 名女生插空,有 A5种方法,故共有 A4· 排法. 答案:(1)241 920;(2)10 080;(3)2 880. 4 2 1 4 1 5 2 1 4 2 1 2 通关训练 1 解析:①A2 5A4=480;②A2A4A4=192;③A5A5-A2A4A4=408;④A4 A2A2+ 2 3 6 5 4 3 3 A4A3=120;⑤A6-2A5+A4=504;⑥A6-A5=60. 答案:①480;②192;③408;④120;⑤504;⑥60. 【例 2】 解析:(1)由于 A,B 必须当选,那么从剩下的 10 人中选取 3 人即可,有 C3 10= 120(种). 3 5 3 (2)全部选法有 C5 12种,A,B 全当选有 C10种,故 A,B 不全当选有 C12-C10=672(种). 答案:(1)120;(2)672. 通关训练 2 解析:(1)只需从其他 18 人中选 3 人即可,共有 C3 18=816(种); (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可,共有 C5 18=8 568(种); 4 3 (3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有 C1 2C18+C18=6 936(种);

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(4)方法一(直接法):至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类:一内四外; 4 2 3 3 2 4 1 二内三外;三内二外;四内一外,所以共有 C1 12C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656(种). 方法二(间接法):由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得 5 5 C20 -(C5 12+C8)=14 656(种). 答案:(1)816;(2)8 568;(3)6 936;(4)14 656. 【例 3】 解析:(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个, 问题转化为“4 个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分 2 1 2 步乘法计数原理,共有 C1 4C4C3×A2=144(种). (2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也 即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球” 是同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C2 4种方法. 1 2 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C3 4C1A2种方法; 2 2 2 2 C4C2 2 C4C2 2 3 1 2 第二类有序均匀分组有 2 · A2种方法.故共有 C2 · A2)=84(种). 4(C4C1A2+ A2 A2 2 答案:(1)144;(2)144;(3)84. 通关训练 3 解析:(1)若 1,3 不同色,则 1,2,3,4 必不同色,有 3A4 4=72 种涂色法;若 1,3 1 2 同色,有 C1 4C3A2=24 种涂色法.根据分类加法计数原理可知,共有 72+24=96 种涂色法. (2)排除法.先不考虑甲、乙同班的情况,将 4 人分成三组有 C2 4=6 种方法,再将三组同 3 3 学分配到三个班级有 A3=6 种分配方法,再考虑甲、乙同班的分配方法有 A3 =6 种,所以共 3 3 有 C2 A - A = 30 种分法. 4 3 3 答案:(1)B (2)C 考题调研 成功体验———————————————— 1 1 1.解析:构成所有的三位数的个数为 C1 9C10C10=900,而无重复数字的三位数的个数为 1 1 1 C9C9C8=648,故所求个数为 900-648=252,应选 B 项. 答案:B 2.解析:a=0 时,方程变为 2x+b=0,则 b 为-1,0,1,2 都有解;a≠0 时,若方程 ax2 +2x+b=0 有实数解,则 Δ=22-4ab≥0,即 ab≤1.当 a=-1 时,b 可取-1,0,1,2.当 a=1 时,b 可取-1,0,1.当 a=2 时,b 可取-1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个数为 4+4+3+2 =13. 答案:B 3.解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间 Ω={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1), (3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5), a a (9,7)}共有 20 个基本事件,而 lga-lgb=lg ,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使 lg 的 b b 值相等,则不同值的个数为 20-2=18(个),故选 C 项. 答案:C 4.解析:如图六个位臵 1 2 3 4 5 6 .若 C 放在第一个位臵,则满足条件的排法共有
5 A5 种情况;若

C 放在第 2 个位臵,则从 3,4,5,6 共 4 个位臵中选 2 个位臵排 A,B,再在余下 3 的 3 个位臵排 D,E,F,共 A2 4A3种排法;若 C 放在第 3 个位臵,则可在 1,2 两个位臵排 A, 3 B,其余位臵排 D,E,F,则共有 A2 2A3种排法或在 4,5,6,共 3 个位臵中选 2 个位臵排 A,B, 3 2 3 2 3 再在其余 3 个位臵排 D,E,F,共有 A2 3A3种排法;若 C 放在第 4 个位臵,则有 A2A3+A3A3种 2 3 排法;若 C 放在第 5 个位臵,则有 A4 A3种排法;若 C 放在第 6 个位臵,则有 A5 5种排法. 5 2 3 2 3 2 3 综上,共有 2(A5+A4A3+A3A3+A2A3)=480(种)排法. 答案:480 5.解析:方法一:从 12 名医生中任选 5 名,不同选法有 C5 12=792 种.不满足条件的有: 5 5 只去骨科和脑外科两科医生的选法有 C7=21 种, 只去骨科和内科两科医生的选法有 C5 8-C5= 5 55 种,只去脑外科和内科两科医生的选法有 C5 9-C5=125 种,只去内科一科医生的选法有 5 C5=1 种,故符合条件的选法有:729-21-55-125-1=590 种. 方法二:设选骨科医生 x 名,脑外科医生 y 名,

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则需选内科医生(5-x-y)人. (1)当 x=y=1 时,有 C1 C1 C3 3· 4· 5=120 种不同选法; (2)当 x=1,y=2 时,有 C1 C2 C2 3· 4· 5=180 种不同选法; 1 3 1 (3)当 x=1,y=3 时,有 C3· C4· C5=60 种不同选法; (4)当 x=2,y=1 时,有 C2 C1 C2 3· 4· 5=120 种不同选法; 2 2 1 (5)当 x=2,y=2 时,有 C3· C4· C5=90 种不同选法; (6)当 x=3,y=1 时,有 C3 C1 C1 3· 4· 5=20 种不同选法. 所以不同的选法共有 120+180+60+120+90+20=590 种. 答案:590 第三节 二项式定理 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 1 9-r ? r 9-2r - ?r=Cr 1.解析:Tr+1=Cr · ,令 9-2r=3 得 r=3. 9x 9(-1) x ? x? 3 故 x3 的系数为 C3 9(-1) =-84. 答案:A 2.解析:令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4=0, 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4=16,故 a0+a2+a4=8. 答案:B r r r r 3.解析:∵Tr+1=Cr n(3x) =3 Cnx , 5 5 6 6 由已知条件 3 Cn=3 Cn, n! n! 6 即 C5 =3× n=3Cn,∴ 5!?n-5?! 6!?n-6?! ∴n=7. 答案:B 3 6-r?-a?r r 4.解析:由 Tr+1=Cr ? x ? =Cr 6x 6(-a) x6- r, 2 ? ? 4 4 2 2 得 B=C6(-a) ,A=C6(-a) , 由 B=4A,a>0,解得 a=2. 答案:2 4-r?2?r r r 4-2r 5.解析:Tr+1=Cr 4x ? x? =2 C4x , r=2 时,可得常数项 22C2 4=24, 令 x=1 即可得各项系数和为 34=81. 答案:24 81 核心考点 引领通关———————————————— n-r? 1?r r - x- 【例 1】 解析:(1)通项为 Tr+1=Cr nx 3 ? 2? 3 ? 1?r n-2r, =Cr n -2 x ? ? 3 n-2r 因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有 =0,即 n=10. 3 n-2r 1 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 1 ? ?2 45 ∴所求的系数为 C2 10 -2 = . ? ? 4

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10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)根据通项公式,由题意得? 0≤r≤10, ? ?r∈Z. 10-2r 3 =k(k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k, 3 2 ∵r∈Z,∴k 应为偶数. ∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 1?2 2 1?5 1?8 -2 2 ? 5 ? 8 ? C10 ?-2? x ,C10?-2? ,C10?-2? x . 45 ? 1?2 2 答案:(1)n=10;(2) ;(3)C2 10 -2 x , ? ? 4 1?5 1?8 -2 5 ? 8 ? C10 ?-2? ,C10?-2? x . a - 6-r 6 通关训练 1 解析:二项式?x- 2 ?6 展开式的通项公式是 Tr+1=Cr (- a)rx 2r=Cr 6x 6x x ? ? -3r 2 (- a)r,当 r=2 时,Tr+1 为常数项,即常数项是 C6 a,根据已知 C2 6a=60,解得 a=4. 答案:4 【例 2】 解析:(1)令 x=1,得 1+a=2,∴a=1. 1?? 1?5 则原式为? ?x+x??2x-x? . 1 2x- ?5 求通项 对? x? ? 1?r - ? r Tr+1=C5· (2x)5 r· ?- x ? - - =(-1)r· 25 rCr x5 2r. 5· - 令 5-2r=-1,得 r=3,x 1 的系数为 (-1)3· 22· C3 5=-40. ? 1? 令 5-2r=1,得 r=2,x 的系数为(-1)2· 23· C2 5=80 与 x+ x 相乘可得常数项为 40. ? ? 2 2 (2)∵a0+a2+a4+?+a2n) -(a1+a3+a5+?+a2n-1) =(a0+a1+a2+?+a2n)(a0-a1+ a2-a3+?+a2n). 2 2 在? +x?2n 中,令 x=1,得 a0+a1+?+a2n=? +1?2n. ?2 ? ?2 ? 2 令 x=-1,得(a0-a1+a2-a3+?+a2n)=? -1?2n. ?2 ? ∴(a0+a2+a4+?+a2n)2-(a1+a3+?+a2n-1)2 2 ? 2-1?2n=?-1?2n= 1n. =? +1?2n· ?2 ? ?2 ? ? 2? 4 1 答案:(1)D;(2) n. 4 通关训练 2 解析:在已知等式中分别取 x=0、x=1 与 x=-1,得 a0=1,a0+a1+a2 +a3+a4+a5=35,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,因此有 2(a1+a3+a5)=35+1=244,a1+a3 +a5=122,a0+a1+a3+a5=123. 答案:B 【例 3】 解析:由题意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得 n=5. ?2x-1?10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, (1)由二项式系数的性质知, 即 C5 25· x5(- 10· x? ? - 1)5· x 5=-8 064. 令

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(2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, 1?r - ? ∵Tr+1=Cr (2x)10 r· 10· ?- x ? - - =(-1)rCr 210 r· x10 2r, 10· - -1 10-r+1 r ? 210 r≥Cr 2 , ?C10· 10 · ∴? r 10-r r+1 10-r-1 ?C10· 2 ≥C10 · 2 , ?
r r 1 ? ? ?C10≥2C10 , ?11-r≥2r, ? 得 即? r r+1 ?2C10≥C10 , ? ? ?2?r+1?≥10-r.


8 11 解得 ≤r≤ . 3 3 ∵r∈Z,∴r=3.故系数的绝对值最大的是第 4 项, T4=-C3 27· x4=-15 360x4. 10· 答案:(1)-8 064;(2)-15 360x4. 1 通关训练 3 解析:(1)由已知 Cm +2C1 n=11,∴m+2n=11, m ? m - 1 ? 2 2 x2 的系数为 C2 +2n(n-1) m+2 Cn= 2 m2-m 21 11-m ? ? 351 m- ?2+ . = +(11-m)? 4? 2 16 ? 2 -1?=? * ∵m∈N , ∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3. (2)由(1)知,当 x2 的系数取得最小值时,m=5,n=3, ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+a5x5, 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33, 令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得 2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30. 答案:(1)n=3;(2)30. 【例 4】 解析:(1)原式=4· 6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a -1 0 n 1 n-1 n-2 2 n =4(Cn5 +Cn5 +?+Cn 5 +Cn n 5+Cn)+5n-a -2 2 n 1 n-1 =4(C0 +?+Cn n5 +Cn5 n 5 )+25n+4-a, 显然正整数 a 的最小值为 4. 0 (2)1.028=(1+0.02)8≈C8 +C1 0.02+C2 0.022+C3 0.023≈1.172. 8· 8· 8· 答案:(1)4;(2)1.172 + 通关训练 4 证明:(1)∵32n 2-8n-9=32· 32n-8n-9 =9· 9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9 -1 n 1 n-1 =9(C0 +?+Cn 8+Cn 1)-8n-9 n8 +Cn8 n · n· - - n 1 n 1 n 2 2 =9(8 +Cn8 +?+Cn 8 )+9· 8n+9-8n-9 - n-3 n-2 =9×82(8n 2+C1 · 8 + ? + C n n )+64n n-2 1 n-3 n-2 =64[9(8 +Cn8 +?+Cn )+n], 显然括号内是正整数,∴原式能被 64 整除. (2)因为 n∈N*,且 n>2,所以 3n=(2+1)n 展开后至少有 4 项. - -1 - - - (2+1)n=2n+C1 2n 1+?+Cn 2+1≥2n+n· 2n 1+2n+1>2n+n· 2n 1=(n+2)· 2n 1, n· n · - 故 3n>(n+2)· 2n 1 (n∈N*,n>2). 考题调研 成功体验———————————————— r 2 2 2 1.解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 Cr 5x (0≤r≤5,r∈Z),则含 x 的项为 C5x 1 2 +ax· C5x=(10+5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1. 答案:D m 2.解析:由题意可知,a=Cm 2m,b=C2m+1,

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?2m?! ?2m+1?! 又∵13a=7b,∴13· =7· , m!m! m!?m+1?! 13 2m+1 即 = .解得 m=6.故选 B 项. 7 m+1 答案:B 1 ?n 3 5 n-r n-r 3.解析:?3x+ 展开式中的第 r+1 项为 Cr x- r=Cr xn- r,若展开式 n(3x) n3 2 2 x x? ? 5 中含常数项,则存在 n∈N+,r∈N,使 n- r=0,故最小的 n 值为 5,故选 B 项. 2 答案:B - 2(5-r) r 10-5r 4. 解析: 展开式的通项为 Tr+1=Cr (-2)rx 3r=Cr .令 10-5r=0, 得 r=2, 5x 5(-2) x 2 2 所以 T2+1=C5(-2) =40.故选 C 项. 答案:C 5.解析:当 x>0 时,f(x)=- x<0,则 1 1 f[f(x)]=?- x+ ?6=? x- ?6. x? ? x? ? 1 6-r r 6-r ? 3-r Tr+1=Cr ·- ?r=(-1)rCr · x- =(-1)rCr .令 3-r=0,得 r=3,此时 T4 6( x) 6x 6x 2 2 x? ? 3 3 =(-1) C 6=-20. 答案:A 第四节 随机事件的概率 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 1.解析:由条件知事件 M 包含:(正、反)、(反、正).事件 N 包含:(正、正)、(正、反)、 1 3 (反、正).故 P(M)= ,P(N)= . 2 4 答案:D 2.解析:A 中的两个事件不互斥,B 中两事件互斥且对立,C 中的两个事件不互斥,D 中的两个互斥而不对立. 答案:D 3.解析:事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值. 答案:A 4.解析:中国选手不输的概率为 0.41+0.27=0.68. 答案:0.68 5.解析:从{1,2,3,4,5}中任取一数 a,从{1,2,3}中任取一数 b,共有 5×3=15 种取法, 3 1 满足 a<b 的有(1,2),(1,3),(2,3)共 3 种,故所求概率 P= = . 15 5 1 答案: 5 核心考点 引领通关———————————————— 5+20 1 【例 1】 解析:(1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = ,用频率估计概率, 100 4 1 所以,甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 . 4 (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品牌产品是 75 75 15 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率为 = ,用频率估计概率, 145 29 15 所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29

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1 15 答案:(1) ;(2) . 4 29 通关训练 1 解析:摸一次彩票相当于做一次试验,某人摸中一等奖的概率是 0.001,只 能说明这个人抽一次,抽中一等奖的可能性是 0.001,而不能说这个人抽 1 000 次,必有 1 次 中一等奖,也不能说这个人每抽一次,就得奖金 10 000×0.001=10 元,因此选 C. 答案:C 【例 2】 解析:(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 用样本平均数估计,其估计值为 =1.9(分钟). 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3 分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”, 15 3 30 “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”. 将频率视为概率得 P(A1)= = , P(A2)= = 100 20 100 3 25 1 ,P(A3)= = . 10 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件,所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+ 3 3 1 7 P(A2)+P(A3)= + + = . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10 7 答案:(1)x=15,y=20,1.9 分钟;(2) . 10 1 1 通关训练 2 解析: 因为事件 A 与事件 B 是互斥事件, 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + 2 6 2 = . 3 2 答案: 3 【例 3】 解析:记事件 A={任取 1 球为红球},事件 B={任取 1 球为黑球},事件 C= 5 4 1 2 1 {任取 1 球为白球},事件 D={任取 1 球为绿球},∴P(A)= ,P(B)= = ,P(C)= = , 12 12 3 12 6 1 P(D)= . 12 5 1 9 3 (1)取出的小球是红球或黑球的概率为 P1=P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = = . 12 3 12 4 (2)方法一:取出的小球是红球或黑球或白球的概率为 P2=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+ 5 1 1 11 P(C)= + + = . 12 3 6 12 方法二:“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件, 1 11 故所求概率为 P2=1-P(D)=1- = . 12 12 3 11 答案:(1) ;(2) . 4 12 通关训练 3 解析: (1)对任一人, 其血型为 A, B, AB, O 型血的事件分别记为 A′, B′, C′,D′,它们是互斥的.由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′) =0.35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B′+D′.根 据互斥事件的加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64. (2)方法一:由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′+C′,且 P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36. 方法二: 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不能输给 B 型血的人”是

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对立事件,故由对立事件的概率公式,有 P( B′+D′ )=1-P(B′+D′)=1-0.64=0.36. 答案:(1)0.64;(2)0.36. 考题调研 成功体验———————————————— 3 1. 解析: 取出两个球的情况共有 10 种, 不全是红球的对立事件为全为红球, 其概率为 , 10 3 7 故所求概率为 1- = . 10 10 答案:C 2.解析:随机取出两个不同的数,共有 10 种情况,其中和为奇数的情况需要一奇一偶, 3 有 1,2;3,2;5,2;1,4;3,4;5,4,共 6 种情况,故所求概率为 . 5 答案:C 2 3 2 6 3.解析:分两种情况:第一局甲赢,概率为 ;第二局甲赢,概率为 × = ,故所求 5 5 5 25 2 6 16 概率为 + = . 5 25 25 答案:A 10 5 4.解析:共有 16 种情况,而|a-b|≤1 的情况共有 10 种,故所求概率为 = ,故选 16 8 C. 答案:C 5. 解析: 两次向下的面上的数字之积共有 4×4=16(种)可能, 数字之积为奇数的有(1,3), 12 3 (3,1),(1,1),(3,3),共 4 种可能,故数字之积为偶数有 12 种可能,概率为 = . 16 4 3 答案: 4 第五节 古典概型 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 ?x-μ?2 1 10 p(1-p) 11 np 12 np(1-p) 13 14 上方 15 x=μ 16 x=μ 17 答案: □ □ □ □ e- □ □ □ □ 2σ2 σ 2π
2 b 18 μ 19 越小 20 越大 21 22 N(μ,σ ) 23 0.682 6 24 0.954 4 25 0.997 4 1 □ □ □ □ f(x)dx □ □ □ □ ? ? a

学情自测 1.解析:∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6, D(X)=np(1-p)=1.28,解得 n=8,p=0.2. 答案:A 1 1 1 1 5 2.解析:E(X)=-1× +0× +1× =- ,故①正确;D(X)= ,故②不正确;由分 2 3 6 3 9 布列知③正确. 答案:C 3.解析:∵μ=0,∴P(ξ>2)=P(ξ<-2)=0.023, ∴P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954. 答案:C 1? 1 3 9 4.解析:∵X~B? ?3,4?,∴D(X)=3×4×4=16. 9 答案: 16 5.解析:两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32=9, 4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为 , 9

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4 A 中仅有一封信的投法种数是 C1 2×2=4,概率为 , 9 1 4 4 A 中有两封信的投法种数是 1, 概率为 , 故 A 邮箱的信件数 X 的数学期望是 ×0+ ×1 9 9 9 1 2 + ×2= . 9 3 2 答案: 3 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)由已知条件和概率的加法公式有 P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300) =0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700) =0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式, 得 P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300) =0.9-0.3=0.6. 由条件概率, 得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300) P?300≤X<900? 0.6 6 = = = . 0.7 7 P?X≥300? 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7 6 答案:(1)均值为 3,方差为 9.8;(2) . 7 A3 4 3 通关训练 1 解析:(1)3 名学生选择的选修课互不相同的概率:p1= 3 = ; 4 8 (2)设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ξ, 33 27 则 ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)= 3= , 4 64 2 C1 3 27 3 P(ξ=1)= 3 = , 4 64 2 C33 9 P(ξ=2)= 3 = , 4 64 C3 1 3 P(ξ=3)= 3 = . 4 64 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64 27 27 9 1 3 数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 64 64 64 64 4 3 3 答案:(1) ;(2) . 8 4

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【例 2】 解析:(1)随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 0.2 0.8 因为 X 服从两点分布,故 E(X)=p=0.8,D(X)=p(1-p)=0.8×0.2=0.16. (2)由题意知,命中次数 Y 服从二项分布, 即 Y~B(10,0.8), ∴E(Y)=np=10×0.8=8,D(Y)=np(1-p)=10×0.8×0.2=1.6. 答案:(1)均值为 0.8,方差为 0.16;(2)均值为 8,方差为 1.6. 3 1 通关训练 2 解析:(1)由 E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)= ,得 1-p= ,从而 n=6,p 2 2 1 = . 2 ξ 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 P 64 64 64 64 64 64 64 (2)记“需要补种沙柳”为事件 A,则 P(A)=P(ξ≤3),得 1+6+15+20 21 15+6+1 21 P(A)= = 或 P(A)=1-P(ξ>3)=1- = . 64 32 64 32 1 答案:(1)n=6,p= ,ξ 的分布列为 2 ξ 0 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 P 64 64 64 64 64 64 64 21 (2) . 32 【例 3】 解析:(1)X1 的概率分布列为 X1 1.2 1.18 1.17 1 1 1 P 6 2 3 1 1 1 E(X1)=1.2× +1.18× +1.17× =1.18. 6 2 3 由题设得 X~B(2,p),即 X 的概率分布列为 X 0 1 2 P p2 (1-p)2 2p(1-p) 故 X2 的概率分布列为 X2 1.3 1.25 0.2 P p2 (1-p)2 2p(1-p) 2 2 所以 E(X2)=1.3×(1-p) +1.25×2p(1-p)+0.2×p =1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+ 0.2×p2=-p2-0.1p+1.3. (2)由 E(X1)<E(X2),得-p2-0.1p+1.3>1.18, 整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3. 因为 0<p<1,所以当 E(X1)<E(X2)时, p 的取值范围是 0<p<0.3. 答案:(1)X1 的概率分布列为 X1 1.2 1.18 1.17 1 1 1 P 6 2 3 X2 的概率分布列为 X2 1.3 1.25 0.2 P p2 (1-p)2 2p(1-p) 2 E(X1)=1.18,E(X2)=-p -0.1p+1.3; ξ

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(2)0<p<0.3. 通关训练 3 解析:(1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为 Y1 P Y2 P 2 0.2 5 0.8 8 0.5 10 0.2 12 0.3

E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4, E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. x 100-x ? Y1?+D? (2)f(x)=D? 100 ? ? ? 100 Y2? x ?2 ?100-x?2 =? ?100? D(Y1)+? 100 ? D(Y2) 4 2 = [x +3(100-x)2] 1002 4 = (4x2-600x+3×1002). 1002 600 当 x= =75 时,f(x)=3 为最小值. 2×4 答案:(1)D(Y1)=4,D(Y2)=12;(2)f(x)的最小值为 3,此时 x=75. 考题调研 成功体验———————————————— 3 3 1 15 3 1.解析:E(X)=1× +2× +3× = = . 5 10 10 10 2 答案:A 2.解析:由题意可知涂漆面数 X 的可能取值为 0,1,2,3. 27 54 36 8 由于 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= , 125 125 125 125 27 54 36 8 150 6 故 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 125 125 125 125 125 5 答案:B 3.解析:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件 产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) 4 1 1 1 = × + × 16 16 16 2 3 = . 64 (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 4 1 11 1 P(X=400)=1- - = ,P(X=500)= , 16 16 16 16 1 P(X=800)= . 4 所以 X 的分布列为 X 400 500 800 11 1 1 P 16 16 4

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11 1 1 E(X)=400× +500× +800× =506.25. 16 16 4 3 答案:(1) ;(2)X 的分布列为 64 X 400 500 800 11 1 1 P 16 16 4 ,数学期望为 506.25. 4.解析:(1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲 队以 3∶2 胜利”为事件 A3, 由题意,各局比赛结果相互独立, 2?3 8 故 P(A1)=? ?3? =27, ?2?2?1-2?×2= 8 , P(A2)=C2 3 3 ? ? ? 3? 3 27 ?2?2?1-2?2×1= 4 . P(A3)=C2 4 3 ? ? ? 3? 2 27 8 4 所以,甲队以 3∶0 胜利、3∶1 胜利的概率都为 ,以 3∶2 胜利的概率为 . 27 27 (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意,各局比赛结果相互独立, ? 2?2?2?2×?1-1?= 4 . 所以 P(A4)=C2 4 1-3 ? ? ?3? ? 2? 27 由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= , 27 4 又 P(X=1)=P(A3)= , 27 4 P(X=2)=P(A4)= , 27 3 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= . 27 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 16 4 4 3 P 27 27 27 27 16 4 4 3 7 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9 8 8 4 答案:(1) , , ; 27 27 27 (2)X 的分布列为 X 0 1 2 3 16 4 4 3 P 27 27 27 27 7 ,数学期望为 . 9 开卷速查 开卷速查(01) 集合的概念与运算 一、选择题 1.解析:由题意,得 12-2×1+a≤0,即 a≤1,故选 A. 答案:A

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2. 解析: A={x|x(x-2)≤0 且 x≠0, x∈N}={x|0<x≤2, x∈N}={1,2}, B={0,1,2,3,4}. 又 3 A?C?B,故 1∈C,2∈C,集合 C 的个数为集合{0,3,4}的子集的个数,即 2 =8,故选 D. 答案:D 3.解析:∵A={-1,0,1},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2},∴A∩B={1},故选 B. 答案:B 4.解析:由题意,得 A={x|-1<x<3},B={a-1,a}.又 A∩B=B,故 B?A,所以 -1<a<3,且-1<a-1<3,解得 0<a<3,故选 A. 答案:A 5.解析:A={x|x≤-2 或 x≥2},B={x|-1<x<2},A∪B={x|x≤-2 或 x>-1}≠R, 排除 A;A∩B=?,排除 B;?RB={x|x≤-1 或 x≥2},故 A?(?RB),故选 C. 答案:C 6.解析:依题意及韦恩图可得 B∩(?UA)={5,6},故选 C.

答案:C 7.解析:∵A={x|-2≤x≤2},B={y|y≥0}, ∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0,2],故选 B. 答案:B 8.解析:∵A={x|x≥1},B={x|(x+2)(x-1)<0}={x|-2<x<1},∴A∩B=?,故选 A. 答案:A 9.解析:由题意,图中阴影部分表示集合 B∩(?RA). 3 又 A={x|1<x<2},B={x|0<x< },所以?RA= 2 {x|x≤1 或 x≥2},B∩(?RA)={x|0<x≤1},故选 D. 答案:D 10.解析:由题意得 M={x|x≥-a},N={x|1<x<3},所以?UN={x|x≤1,或 x≥3}.又 M∩(?UN)={x|x=1,或 x≥3},因此-a=1,a=-1,故选 A. 答案:A 二、填空题 11.解析:∵-3∈A,∴-3=a-2 或-3=2a2+5a. 3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3,与元素互异性矛盾,应舍去. 3 7 当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3. 2 2 3 ∴a=- 满足条件. 2 3 答案:- 2 b 12.解析:由于 a≠0,则 =0,故 b=0,从而 a2=1. a 又 a≠1,所以 a=-1,故 a2 014+b2 014=1. 答案:1 13.解析:A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 答案:-1 1 14.解析:不等式 x2+a≤(a+1)x 可化为(x-a)(x-1)≤0,由题意知不等式的解集为 7×?1+7? {x|1≤x≤a}. A 中所有整数元素构成以 1 为首项, 1 为公差的等差数列, 其前 7 项和为 2

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=28,所以 7≤a<8,即实数 a 的取值范围是[7,8). 答案:[7,8) 三、解答题 x-5 6 15.解析:由 ≥1,得 ≤0,解得-1<x≤5, x+1 x+1 所以 A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则 ?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, 所以 A∩(?RB)={x|3≤x≤5}, (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有 42-2×4-m=0, 解得 m=8,此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 故实数 m 的值为 8. 答案:(1){x|3≤x≤5};(2)8. 16.解析:(1)由已知得:A=[4,16]. 当 m=4 时,-x2+7x-10>0,解得 2<x<5, 故 B=(2,5),所以 A∩B=[4,5). (2)由-x2+(m+3)x-2(m+1)>0,得 (x-m-1)(x-2)<0, 若 m>1,则 B={x|2<x<m+1}, 所以?RB={x|x≤2 或 x≥m+1}. 因为 A??RB, 所以 m+1≤4,所以 1<m≤3. 若 m<1,则 B={x|m+1<x<2}, 所以?RB={x|x≤m+1 或 x≥2}, 此时 A??RB 成立. 综上所述,实数 m 的取值范围为(-∞,1)∪(1,3]. 答案:(1)[4,5);(2)(-∞,1)∪(1,3]. 开卷速查(02) 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题 1.解析:对于 A,其逆命题是:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y,必 有 x>y;对于 B,否命题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C, 其否命题是:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由于 x=-2 时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于 D,若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题,故 选 A. 答案:A a+b a+b a+ b 2.解析:由 a>0,b>0 不能得知 > ab,如取 a=b=1 时, = ab;由 > 2 2 2 a+b ab不能得知 a>0,b>0,如取 a=4,b=0 时,满足 > ab,但 b=0.综上所述,“a> 2 a+b 0,b>0”是“ > ab”的既不充分也不必要条件,故选 D. 2 答案:D 3.解析:由直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切得,圆心(0,a)到直线 x+y=0 的距 |a| 离等于圆的半径,即有 =1,a=± 2.因此,p 是 q 的充分不必要条件,故选 A. 2 答案:A 4.解析:方法一(直接法)当 a=0 时,原方程变形为一元一次方程 2x+1=0,有一个负 实根;当 a≠0 时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是 Δ=4-4a≥0,即 a≤1.设

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a≤1, ? ? 2 1 两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=- ,x1x2= ,当有一负实根时,?1 a a ? ?a<0

?a<0;

? ?-2<0, 有两个负实根时,? a 1 ? ?a>0

a≤1,

?0<a≤1.

综上所述,a≤1. 方法二:(排除法)当 a=0 时,原方程有一个负实根,可以排除 A、D;当 a=1 时,原方 程有两个相等的负实根,可以排除 B,所以选 C. 答案:C 5.解析:若 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x),所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,故 y=|f(x)| 的图像关于 y 轴对称,但若 y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称,如 y=f(x)=x2,而它不是奇函数, 故选 B. 答案:B 6.解析:由大边对大角可知,A<B?a<b. a b 由正弦定理可知 = ,故 a<b?sinA<sinB. sinA sinB 而 cos2A=1-2sin2A,cos2B=1-2sin2B, 又 sinA>0,sinB>0,所以 sinA<sinB?cos2A>cos2B. 所以 a<b?cos2A>cos2B,即“A<B”是“cos2A>cos2B”的充要条件,故选 C. 答案:C 7.解析:解|x+2|>2,即 x+2<-2 或 x+2>2,得 x<-4 或 x>0,所以 p:x<-4 1 或 x>0,故綈 p:-4≤x≤0;解 >1,得 2<x<3,所以 q:2<x<3,綈 q:x≤2 或 x≥3. 3-x 显然{x|-4≤x≤0} {x|x≤2,或 x≥3},所以綈 q 是綈 p 的必要不充分条件,故选 B. 答案:B 8.解析:∵x∈[0,1]时,f(x)是增函数, 又∵y=f(x)是偶函数, ∴x∈[-1,0]时,f(x)是减函数. 当 x∈[3,4]时,x-4∈[-1,0],∵T=2, ∴f(x)=f(x-4). ∴x∈[3,4]时,f(x)是减函数,充分性成立. 反之,x∈[3,4]时,f(x)是减函数,x-4∈[-1,0], ∵T=2,∴f(x)=f(x-4), ∴x∈[-1,0]时,f(x)是减函数. ∵y=f(x)是偶函数,∴x∈[0,1]时,f(x)是增函数,必要性亦成立. 答案:D 1 9.解析:由 2x2-5x-3≥0 得 x≤- 或 x≥3. 2 ∵x∈{3,a}是不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件,又根据集合元素的互 异性 a≠3, 1 ∴a≤- 或 a>3,故选 D. 2 答案:D 10.解析:p:“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”等价于 0<a<1.q:“函数 g(x)=(2- a)x3 在 R 上是增函数”等价于 2-a>0,即 a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子集,故选 A. 答案:A

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二、填空题 11.解析:A={x|x<4},由题意得 A B,结合数轴易得 a>4. 答案:(4,+∞) 12.解析:由 x2>1,得 x<-1 或 x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知 由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立,所以 a≤-1,即 a 的最大值为-1. 答案:-1 13.解析:对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b 正确;对于②,sin30° =sin150° A/?30° = 150° ,所以②错误;对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a?a=0 且 A1C2A/?A2C1,所 以③正确;④显然正确. 答案:①③④ 14.解析:∵x2-4x+n=0 有整数根, 4± 16-4n ∴x= =2± 4-n, 2 ∴4-n 为某个整数的平方且 4-n≥0, ∴n=3 或 n=4. 当 n=3 时,x2-4x+3=0,得 x=1 或 x=3; 当 n=4 时,x2-4x+4=0,得 x=2. ∴n=3 或 n=4. 答案:3 或 4 三、解答题 15.解析:(1)由-x2+6x+16≥0,解得-2≤x≤8; 所以当 p 为真命题时,实数 x 的取值范围为-2≤x≤8. (2)方法一:若 q 为真,可由 x2-4x+4-m2≤0(m>0),解得 2-m≤x≤2+m(m>0). 若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则[-2,8]是[2-m,2+m]的真子集, m>0, ? ? 所以?2-m≤-2, ? ?2+m≥8 (两等号不同时成立),得 m≥6.

所以实数 m 的取值范围是 m≥6. 方法二:设 f(x)=x2-4x+4-m2(m>0), m>0, ? ? 若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则有?f?-2?≤0, ? ?f?8?≤0 所以实数 m 的取值范围是 m≥6. 答案:(1)-2≤x≤8;(2)m≥6. 9 x- 4 x-2 1 5 1 9 16.解析:(1)当 a= 时,A={x| <0}={x|2<x< },B={x| <0}={x| <x< }, 2 5 2 1 2 4 x- x- 2 2 1 9 所以?UB={x|x≤ 或 x≥ }, 2 4 9 5 故(?UB)∩A={x| ≤x< }. 4 2 (2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}. 1 ①当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}. 3 ∵p 是 q 的充分条件,∴A?B. ?a≤2, ? 3- 5 1 ∴? 即 <a≤ . 2 3 2 ?3a+1≤a +2, ? (两等号不同时成立),解得 m≥6.

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1 ②当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,符合题意; 3 1 ③当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 ?a≤3a+1, ? 1 1 由 A?B 得? 2 ∴- ≤a< . 2 3 ? ?a +2≥2,

? 1 3- 5?. 综上所述,实数 a 的取值范围是?- , ? 2 ? ? 2 9 5 ? 1 3- 5?. 答案:(1){x| ≤x< };(2)?- , ? 4 2 2 ? ? 2
开卷速查(03) 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词 一、选择题 5π 1.解析:∵x=0 时,x3=x4,∴命题 p 为假命题,綈 p 为真命题.又∵x= 时,sinx 4 -cosx=- 2,∴q 为真命题. ∴綈 p∧q 为真命题,故选 B. 答案:B 2.解析:不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,所以綈 p 为假命题,綈 q 为真命 题,所以(綈 p)∨(綈 q)为真命题. 答案:D 3.解析:∵方程 x2+x+1=0 的判别式 Δ=12-4=-3<0, ∴x2+x+1<0 无解,故命题 p1 为假命题,綈 p1 为真命题; 由 x2-1≥0,得 x≥1 或 x≤-1,∴?x∈[1,2],x2-1≥0,故命题 p2 为真命题,綈 p2 为假命题. ∵綈 p1 为真命题,p2 为真命题,∴(綈 p1)∧p2 为真命题. 答案:C 4.解析:显然选项 A 正确;对于 B,由 x=1 可得 x2-3x+2=0;反过来,由 x2-3x+ 2=0 不能得知 x=1,此时 x 的值可能是 2,因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要 条件,选项 B 正确;对于 C,原命题的逆否命题是:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”,因此选 项 C 正确;对于 D,若 p∧q 为假命题,则 p,q 中至少有一个为假命题,选项 D 错误,故选 D. 答案:D 5.解析:若命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0 真,则 a≤1. 2 若命题 q:?x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0 真,则 Δ=4a -4(2-a)≥0,a≥1 或 a≤-2, 又 p 且 q 为真命题,所以 a=1 或 a≤-2. 答案:A 1 6.解析:sinθ= 是 θ=30° 的必要不充分条件,故选 D. 2 答案:D 7.解析:∵当 a· b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角, ?-x+1,x≤0, ? ∴命题 p 是假命题; 命题 q 是假命题, 例如 f(x)=? 综上可知, “p 或 q” ?-x+2,x>0, ? 是假命题. 答案:B 8.解析:若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题,则綈 p:?x∈R,mx2+1>0 与綈 q: ?x∈R,x2+mx+1≤0 均为真命题.根据綈 p:?x∈R,mx2+1>0 为真命题可得 m≥0,根

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据綈 q: ?x∈R, x2+mx+1≤0 为真命题可得 Δ=m2-4≥0, 解得 m≥2 或 m≤-2.综上, m≥2. 答案:A 9.解析:若 p∨q 为真命题,则 p、q 有可能一真一假,此时 p∧q 为假命题,故 A 错; 易知由“x=5”可以得到“x2-4x-5=0”,但反之不成立,故 B 正确;选项 C 错在把命题 的否定写成了否命题;特称命题的否定是全称命题,故 D 错. 答案:B - - 10.解析:∵y=2x 在 R 上是增函数,y=2 x 在 R 上是减函数,∴y=2x-2 x 在 R 上是 增函数,p1 为真,p2 为假,故 q1:p1∨p2 为真,q2:p1∧p2 为假,q3:(綈 p1)∨p2 为假,q4: p1∧(綈 p2)为真,故真命题是 q1,q4,故选 C. 答案:C 二、填空题 11.解析:由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,结合图像知 Δ=a2-4>0, 解得 a>2 或 a<-2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 12.解析:若綈 p 是假命题,则 p 是真命题,即关于 x 的方程 4x-2· 2x+m=0 有实数解. x x x 2 由于 m=-(4 -2· 2 )=-(2 -1) +1≤1, ∴m≤1. 答案:(-∞,1] 13.解析:因为命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,所以命题“p∧q”是假命题,命题 “p∧(綈 q)”是真命题,命题“(綈 p)∨q”是假命题,命题“(綈 p)∨(綈 q)”是真命题. 答案:②④ π? 14.解析:∵sinx+cosx= 2sin? ?x+4?∈[- 2, 2],故①?x0∈R,使 sinx0+cosx0=2 1 1 错误;④?x0∈R,使 sinx0+cosx0= 2正确;∵sinx+ ≥2 或 sinx+ ≤-2,故②对?x sinx sinx π 1 1 1 0, ?,tanx>0, >0,由基本不等式可得 tanx+ ∈R,sinx+ ≥2 错误;③对?x∈? 2 ? ? sinx tanx tanx ≥2 正确. 答案:③④ 三、解答题 15.解析:由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2 a ∴当命题 p 为真命题时,| |≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. 2 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0”, 2 即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2,或 a<-2}. 答案:{a|a>2,或 a<-2} 16.解析:(1)由 x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真命题时,1<x<3. 2 ? ? ?x -x-6≤0, ?-2≤x≤3, ? 由 2 解得? ?x +2x-8>0, ?x<-4或x>2, ? ? 即 2<x≤3.

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所以 q 为真时,2<x≤3. ?1<x<3, ? 若 p∧q 为真,则? ?2<x<3, ? ?2<x≤3 所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)设 A={x|x≤a,或 x≥3a},B={x|x≤2,或 x>3}, 因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,所以 A B. 所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1)(2,3);(2)(1,2]. 开卷速查(04) 不等关系与不等式 一、选择题 1.解析:因为 M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a2- 1)(a1-1)>0,所以 M>N,选 B. 答案:B 2.解析:因为 m<0,n>0,m+n<0,所以可取 m=-2,n=1,-n=-1,-m=2, 结合四个选项可知选 D. 答案:D 1 1 3.解析:因为 < <0,所以可取 a=-1,b=-2. a b a2=1,b2=4,a2<b2,故 A 项正确;又 ab=2,b2=4, 故 B 项正确;又 a+b=-3<0,故 C 项正确;又|a|+|b|=3,|a+b|=3,故 D 项不正确, 选 D. 答案:D 4.解析:由题意可取 a=-2,b=1,则 a2=4,b2=1 排除 A;取 a=1,b=2,则 ab2 b a 1 =4,a2b=2,排除 B, =2, = ,排除 D,选 C. a b 2 答案:C a+b+2 a+b+2ab 2?1-ab? 5.解析:M-N= - = . ?1+a??1+b? ?1+a??1+b? ?1+a??1+b? 1 ∵0<a< ,∴(1+a)>0,(1+b)>0,1-ab>0. b ∴M-N>0,即 M>N,选 A. 答案:A b-a 1 1 1 1 6.解析: < ? - <0? <0.若 a>b>1,则 a-1>0,b- a-1 b-1 a-1 b-1 ?a-1??b-1? b-a b- a 1 1 1>0,b-a<0,从而 <0,即 < .若 <0,则不一定能推出 a ?a-1??b-1? a-1 b-1 ?a-1??b-1? >b>1,还可能推出 b<a<1 或 a<1<b 等其他结论,选 A 项. 答案:A 1 1 1 1 7.解析:∵a>b>0,∴ > >0,∴a+ >b+ ,选 A 项. b a b a 答案:A a-c c b b-a 8.解析:∵c<b<a,且 ac<0,∴c<0,a>0,∴ < , >0, <0,但 b2 与 a a c ac b2 a2 a2 的关系不确定,故 < 不一定成立.选 C 项. c c 答案:C 1 1 9.解析:∵0<a<1,∴0<1-a<1,∴(1-a) >(1-a) ,选 A 项. 3 2 答案:A

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β π 10.解析:由已知得 0<2α<π,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α- <π,选 D 项. 6 3 6 3 答案:D 二、填空题 11.解析:∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0. 又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3. 答案:(-3,3) 1 1 b-a 12.解析: < ? <0?b-a 与 ab 异号, a b ab 因此①②④能使 b-a 与 ab 异号. 答案:①②④ 13.解析:∵-1<a<b<1,∴-2<a-b<0, ∴2>-(a-b)>0. 当-2<c<0 时,2>-c>0, ∴4>(-c)[-(a-b)]>0, 即 4>c· (a-b)>0; 当 c=0 时,(a-b)· c=0; 当 0<c<3 时,0<c· [-(a-b)]<6, ∴-6<(a-b)· c<0. 综上得,当-2<c<3 时,-6<(a-b)· c<4. 答案:(-6,4) 14.解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6, ∴ax=by,因此③也不正确. a 3 b 2 又∵ = =-1, = =-1, y -3 x -2 a b ∴ = ,因此⑤不正确. y x 由不等式的性质可推 出②④成立. 答案:②④ 三、解答题 15.解析:∵b-c=a2-6a+9=(a-3)2≥0, ∴b≥c. ?b+c=5a2-8a+11, ① ? 由? 2 ? ?b-c=a -6a+9, ② 由①+②得 b=3a2-7a+10, ∵b-a=3a2-7a+10-a =3a2-8a+10 4?2 14 =3? ?a-3? + 3 >0, ∴b>a. 由①-②得 c=2a2-a+1, 1 1 a- ?2+ >0, ∴c-a=2a2-2a+1=2? 2 ? ? 2 ∴c>a.综上:b≥c>a. 答案:b≥c>a

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16.解析:∵f(1)=0, ∴a+b+c=0,∴b=-(a+c). 又 a>b>c, ∴a>-(a+c)>c,且 a>0,c<0, a+c c c c ∴1>- > ,即 1>-1- > , a a a a 2c <-1, a ∴ c >-2, a c 1 解得-2< <- . a 2 c 1 答案:-2< <- a 2

? ? ?

开卷速查(05) 一元二次不等式及其解法 一、选择题 1 1 1 1.解析:由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由根与系数的关系得- + 2 3 2 1 1 b 1 1 ?- ?= ,- ×?- ?=- ,解得 a=-6,b=5, ? 3? a 2 ? 3? a 2 不等式 x -bx-a<0 即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3),故选 A. 答案:A 2.解析:①当 x-2>0 即 x>2 时,原不等式等价于(x-2)2≥4,解得 x≥4. ②当 x-2<0 即 x<2 时,原不等式等价于(x-2)2≤4,解得 0≤x<2,故选 B. 答案:B 3.解析:原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当 a>1 时得 1<x<a,此时解集中的整数为 2,3,4,则 4<a≤5,当 a<1 时得 a<x<1,则-3≤a<-2,故 a∈[-3,-2)∪(4,5],故选 D. 答案:D ? ?m+1<0, ? 4. 解析: ①m=-1 时, 不等式为 2x-6<0, 即 x<3, 不合题意. ②m≠-1 时, ?Δ<0, ? 13 解得 m<- ,故选 C. 11 答案:C 5.解析:由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图像与 x 轴交点为(- 3,0),(1,0),所以 f(-x)图像开口向下,与 x 轴交点为(3,0),(-1,0). 答案:B 6.解析:把不等式的左端看成关于 a 的一次函数, 记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), 则 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立, 易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0 ①, 且 f(1)=x2-3x+2>0 ②即可, 联立①②并解得 x<1 或 x>3.故选 C. 答案:C 7.解析:由导函数的图像知,当 x<0 时,f′(x)>0,即 f(x)在(-∞,0)上为增函数; 当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数,故不等式 f(x2-6)>1 等价于 f(x2-6) >f(-2)或 f(x2-6)>f(3),即-2<x2-6≤0 或 0≤x2-6<3,解得 x∈(2,3)∪(-3,-2),故 选 A 项. 答案:A 8.解析:∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,

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∴函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1 必有两个不同的零点. 又∵f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则 f(-2)f(-1)<0, 3 5 ∴(6a+5)(2a+3)<0,解得- <a<- . 2 6 又 a∈Z,∴a=-1,不等式 f(x)>1,即-x2-x>0,解得-1<x<0,故选 C. 答案:C b - =1, a 9.解析:由题意知 a<0 且-1,2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,故 c =-2, a

? ? ?

解得 b

=-a,c=-2a, 所以不等式 a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax,即为 a(x2+1)-a(x-1)-2a>2ax, 所以 x2-3x<0,解得 0<x<3. 答案:A 10.解析:不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则 Δ=(-2a)2-4a<0,即 a2-a<0,解得 0<a<1,所以不等式 at2+2t-3<1 转化为 t2+2t-3>0,解得 t<-3 或 t >1,故选 B. 答案:B 二、填空题 k-3 k-3 x-k 11.解析: >1,得 1- <0,即 <0, x-3 x-3 x-3 (x-k)(x-3)<0,由题意得 k=1. 答案:1 12.解析:原不等式即 x2-2x-a2+2a+4≤0,在 R 上解集为?, 所以 Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 1?n 1 1 13.解析:由题意是 x2+ x≥? = , 2 ?2?max 2 1 解得 x≥ 或 x≤-1. 2 又 x∈(-∞,λ],所以 λ 的取值范围是(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] 1 1? 1 1 2 14.解析:由 ax2+2x+c>0 的解集为? ?-3,2?知 a<0,且-3,2为方程 ax +2x+c=0 1 1 2 1 1 c 的两个根,由根与系数的关系得- + =- ,- × = ,解得 a=-12,c=2,∴-cx2+ 3 2 a 3 2 a 2x-a>0,即 2x2-2x-12<0,其解集为(-2,3). 答案:(-2,3) 三、解答题 15.解析:(1)∵f(1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0,即 a2-6a+3-b<0. Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b. ①当 Δ≤0,即 b≤-6 时,原不等式的解集为?. ②当 Δ>0, 即 b>-6 时, 方程 a2-6a+3-b=0 有两根 a1=3- 6+b, a2=3+ 6+b, 所以不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). 综上所述:当 b≤-6 时,原不等式的解集为?;当 b>-6 时,原不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). (2)由 f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,即 3x2-a(6-a)x-b<0. ∵不等式的解集为(-1,3), ∴-1 与 3 是方程 3x2-a(6-a)x-b=0 的两根.

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答案与导解

a? , ?-1+3=a?6- 3 ∴? b ?-1×3=-3,

?a=3- 3, ?a=3+ 3, 解得? 或? ?b=9, ?b=9.

答案:(1)当 b≤-6 时,解集为?;当 b>-6 时,解集为(3- 6+b,3+ 6+b)

?a=3- 3, ?a=3+ 3, (2)? 或? ?b=9, ?b=9. 16.解析:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)· (x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1,或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m =(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 答案:(1)当 a>0 时,解集为{x|x<-1,或 x>2}; 当 a<0 时,解集为{x|-1<x<2}; (2)f(x)<m.
开卷速查(06) 基本不等式 一、选择题 1.解析:∵a>b>1,∴lga>lgb>0, 1 (lga+lgb)> lga· lgb,即 Q>P. 2 a+b a+b 1 又 > ab,∴lg >lg ab= (lga+lgb)=Q, 2 2 2 即 R>Q.∴P<Q<R. 答案:B 1 1 2.解析:f(x)=4x+ =4x-5+ +5. 4x-5 4x-5 5 1 ∵x> ,∴4x-5>0,∴4x-5+ ≥2. 4 4x-5 3 故 f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是 x= . 2 答案:D a+b=1, ? ? 3.解析:由 a>0,b>0,ln(a+b)=0,得?a>0, ? ?b>0. 1 1 a+ b 1 1 1 故 + = = ≥ = =4. a b ab ab ?a+b?2 ?1?2 ? 2 ? ?2? 1 当且仅当 a=b= 时,上式取等号. 2 答案:C 1 a? x y 4.解析:(x+y)? a+ +a. ?x+y?=1+y· x

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ax y ∵x>0,y>0,a>0,∴1+ + +a≥1+a+2 a. y x 由 9≤1+a+2 a,得 a+2 a-8≥0, ∴( a+4)( a-2)≥0. ∵a>0,∴ a≥2,∴a≥4,∴a 的最小值为 4. 答案:B 4 4 5.解析:设 g(x)=5x+ x+m,由题意 g(x)的图像与 x 轴有交点,而 5x+ x≥4,故 m≤ 5 5 -4,故选 D. 答案:D 6.解析:方法一:由 x+3y-2=0,得 3y=-x+2. - + ∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3 x 2+1 9 9 =3x+ x+1≥2 3x·x+1=7. 3 3 9 当且仅当 3x= x,即 3x=3,即 x=1 时取得等号. 3 方法二:3x+27y+1=3x+33y+1≥2 3x· 33y+1=2 32+1=7. 答案:D 7.解析:由 x,y∈(0,2],xy=2, ?2-x??4-y? 10-2?2x+y? 10 得 a≥ = = -2. 2x+y 2x+y 2x+y 1 又由 2x+y≥2 2xy=4,∴a≥ . 2 答案:D + 8.解析:由 lg2x+lg8y=lg2,得 lg2x 3y=lg2. 1 1? 1 1 x 3y + (x+3y)=2+ + ≥4. ∴x+3y=1, + =? x 3y ? x 3y? 3y x 答案:C x+2 2xy 9.解析:依题意得 x+2 2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即 ≤2(当且仅当 x=2y 时 x+y x+2 2xy x+2 2xy 取等号),即 的最大值是 2;又 λ≥ ,因此有 λ≥2,即 λ 的最小值是 2. x+y x+y 答案:B 1 1 10.解析:由 ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0, + x y a+b?2 1 1 =log3a+log3b=log3(ab)≤log3? ? 2 ? =1,当且仅当 a=b= 3时“=”成立,则x+y的最大 值为 1. 答案:C 二、填空题 x+3z 11.解析:由已知条件可得 y= , 2 2 2 y2 x +9z +6xz 1?x 9z ? 1? x 9z ? 所以 = = ?z + x +6?≥ 2 × +6 =3, xz 4xz 4 4? z x ? 2 y 当且仅当 x=y=3z 时, 取得最小值 3. xz 答案:3 1 1 1 x2+ 2?? 2+4y2?=1+4+4x2y2+ 2 2≥1+4+2 4=9. 12.解析:? y ??x ? ? xy 1 2 当且仅当 4x2y2= 2 2时等号成立,即|xy|= 时等号成立. xy 2

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答案:9 13.解析:∵ab-4a-b+1=0, 4a-1 ∴b= ,ab=4a+b-1. a-1 ∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 4a-1 =6a+ · 2+1 a-1 [4?a-1?+3]×2 =6a+ +1 a-1 6 =6a+8+ +1 a-1 6 =6(a-1)+ +15. a-1 ∵a>1,∴a-1>0. 6 ∴原式=6(a-1)+ +15≥2 6×6+15=27. a-1 当且仅当(a-1)2=1,即 a=2 时等号成立. ∴最小值为 27. 答案:27 14.解析:由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 即( xy)2-2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)· ( xy+ 2)≥0. 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18. ∴xy 的最小值为 18. 答案:18 三、解答题 15.解析:∵a,b 都是正实数,log9(9a+b)=log3 ab,则 log3(9a+b)=log3(ab),得 9a 9 1? 9 1 36a b 36a b + =13+ + ≥13+2 +b=ab,即 + =1,∴4a+b=(4a+b)? ·=25,即 4a+ b a ? ? b a b a b a b≥25, 36a b 当且仅当 = ,即 b=6a 时等号成立.而 c>0,∴要使 4a+b≥c 恒成立,c 的取值范 b a 围为 0<c≤25. 答案:0<c≤25 16.解析:(1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张, 36 则共需分 批,每批价值为 20x 元, x 36 由题意 f(x)= · 4+k· 20x. x 16 1 由 f(4)=52 得 k= = , 80 5 144 ∴f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*). x 144 (2)由(1)知 f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*), x 144 ∴f(x)≥2 ×4x=48(元), x 144 当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立. x 故每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.

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144 答案:(1)f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*); x (2)每批购入 6 张书桌,可以使资金够用,理由略. 开卷速查(07) 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题 一、选择题 1.解析:由约束条件作出可行域,如图所示的阴影△ABC 区域(包括边界).

?x=-2, ?x=-2, ? ? 由? 得? 故 C(-2,2). ? ? ?x+2y=2 ?y=2. 1 作出直线 l0:y= x,平移直线 l0,当直线 l0 经过点 C(-2,2)时,z 取得最小值,且 zmin 3 =-2-3×2=-8,故选 D. 答案:D 2. 解析: 如图所示, 可行域是以 A(-1,2), B(1,0), C(3,2)为顶点的三角形区域(含边界). 作 出直线 3x+y=0(图中虚线),易知当直线 3x+y=0 平移到过 C 点时,该直线在 y 轴上的截距 最大,此时 z 取得最大值 11,选 B.

答案:B 3.解析:如图,当 x=m 经过且只有经过 x+y-3=0 和 y=2x 的交点 A(1,2)时,m 取到 最大值,此时 m=1.此题也可用筛选法.

答案:B 1 1 4.解析:不等式组表示的可行域如图所示,故面积为 · 1· 1= .故选 A. 2 2

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答案:A 5.解析:作出不等式组表示的平面区域 D,如图阴影部分所示.

?x+y-11=0, ? 由? 得交点 A(2,9). ? ?3x-y+3=0, 对 y=ax 的图像,当 0<a<1 时,没有点在区域 D 上. 当 a>1,y=ax 恰好经过 A 点时,由 a2=9,得 a=3.要满足题意,需满足 a2≤9,解得 1 <a≤3. 答案:A

6. 解析:不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数的几何意义是直线在 y 轴上截距的 1 ? 相反数,其最大值在点 A(2,0)处取得,最小值在点 B? ?2,3?处取得,即最大值为 6,最小值为 3 - . 2 答案:A

? ?x+y≤12, 7.解析:设当天派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,由题意得?10x+6y≥72, 0≤x≤8, ? ?0≤y≤7.
2x+y≤19, 设每天的利润为 z 元,则 z=450x+350y. 画出可行域如图阴影部分所示.

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由图可知 z=450x+350y=50(9x+7y),经过点 A 时取得最大值. ?x+y=12, ?x=7, ? ? 又由? 得? 即 A(7,5). ?2x+y=19, ?y=5, ? ? 所以当 x=7,y=5 时,z 取到最大值,zmax=450×7+350×5=4 900 元.

答案:C 8.解析:不等式组所表示的可行域如图所示,直线 AB 的方程为 x+y-2=0,过 Q 点 且与直线 AB 垂直的直线为 y-4=x-5,即 x-y-1=0,其与直线 x+y-2=0 的交点为 ?3,1?,而 B(1,1),A(0,2),因为3>1,所以点 Q 在直线 x+y-2=0 上的射影不在线段 AB ?2 2? 2 上,则|PQ|的最小值即为点 Q 到点 B 的距离,故|PQ|min= ?5-1?2+?4-1?2=5. 答案:A

9. 解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所示.要使 z =y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0, 于是有 a=1. 答案:B 10.解析:由题意知,直线 x+by+c=0 经过直线 2x+y=7 和直线 x+y=4 的交点,经 ?3+b+c=0, ? 过直线 2x+y=1 和直线 x=1 的交点,即经过点(3,1)和点(1,-1),所以? 解 ? ?1-b+c=0, 得 b=-1,c=-2. 答案:D

二、填空题 11.解析:由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域,所以当 x=2,y=0 时,目标函数 z=y-x 取得最小值-2. 答案:-2

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12. a? 解析:平面区域如图所示,A(a,2a),B? ?a,-2?. 1 5a 5 ∴S△OAB= × ×a= a2=5, 2 2 4 ∴a=2,即 A(2,4),B(2,-1). 4 又 mx-y+m=0 过定点(-1,0), 即 y=mx+m, 斜率 m 的最大值为过 A 点时的值为 2-?-1? 4 = . 3 4 答案: 3

13. 解析:根据不等式组得出平面区域,易知过点(3,0),(1,2)时,z=x-2y 分别取得最大值 和最小值,所以-3≤z≤3. 答案:[-3,3] 14.解析:作出可行域,如图所示阴影部分.

x-2y ?x+y?-3y 3y 3 = =1- =1- . x x+y x+y x+y +1 y y - 0 2 1? y 又 = 表示可行域内的点到原点连线的斜率, 且其最小值为点? ?3,3?与原点连线的斜 x x-0 1 x x 率 ,故 的最大值为 2, +1 的最大值为 3,从而 z 的最大值为 0. 2 y y 答案:0 三、解答题 15. z=

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解:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图). → 由于|OP|· cos∠AOP → → |OP|· |OA|cos∠AOP = → |OA| → → OP· OA = . → |OA| → → 而OA=(2,1),OP=(x,y), 2x+y → 所以|OP|· cos∠AOP= . 5 令 z=2x+y,则 y=-2x+z, 即 z 表示直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距.
? ?x-4y+3=0, 由图形可知,当直线经过可行域中的点 M 时,z 取到最大值,由? 得 ?3x+5y=25, ? M(5,2),这时 z=12, 12 12 5 → 此时|OP|· cos∠AOP= = , 5 5 12 5 → 故|OP|· cos∠AOP 的最大值等于 . 5 12 5 答案: 5 16.解析:方程 x2+ax+2b=0 的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数 y =f(x)=x2+ax+2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组

f?0?>0, ? ? ?f?1?<0, ? ?f?2?>0

b>0, ? ? ??a+2b+1<0, ? ?a+b+2>0.

? ?a+2b+1=0, 由? 解得 A(-3,1); ?a+b+2=0, ? ?a+b+2=0, ? 由? 解得 B(-2,0); ? ?b=0 ? ?a+2b+1=0, 由? 解得 C(-1,0). ?b=0, ?

∴在如图所示的坐标平面 aOb 内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不 包括边界). 1 1 (1)△ABC 的面积为 S△ABC= ×|BC|×h= h(h 为 A 到 Oa 轴的距离). 2 2 b-2 (2) 的几何意义是点(a,b)和点 D(1,2)连线的斜率. a-1 2-1 1 2-0 kAD= = ,k = =1. 1+3 4 CD 1+1

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b-2 <k . a-1 CD b-2 ?1 ? 1 b-2 ∴ < <1,即 ∈ ,1 . 4 a-1 a-1 ?4 ? (3)∵(a-1)2+(b-2)2 表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方, ∴(a-1)2+(b-2)2∈(8,17). 1 ? 1 答案:(1) h(h 为 A 到 Oa 轴的距离);(2)? ?4,1?; 2 (3)(8,17). 由图可知,kAD< 开卷速查(08) 函数及其表示 一、选择题 1.解析:A 项中 f(x)与 g(x)的定义域不同;B 项中 f(x)=|x|,g(x)=x,对应法则不同;C 项中 f(x)的定义域 R,而 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:D 1? 1 2.解析:∵f? ?16?=log416=-2, 1 -2 ? 1 ?? ∴f? ?f?16??=f(-2)=3 =9,选 B. 答案:B 3.解析:当 x≥6 时 f(x)=f(x-1)-f(x-2)=-f(x-3)=f(x-6),所以 f(2 013)=f(335×6 +3)=f(3)=-f(0)=0,故选 D. 答案:D ?1-x>0 ? 1 4.解析:要使函数有意义,需满足? ?- <x<1, 2 3 ?-3x +5x+2>0 ? 1 ? 故函数的定义域是? ?-3,1?. 答案:B 5.解析:由已知得 0≤16-4x<16,0≤ 16-4x< 16=4,即函数 y= 16-4x的值域是 [0,4). 答案:C 6.解析:g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以 g(x)=2x-1. 答案:B 7.解析:令 x=-3,y=1,则 f(-2)=f(1)+f(-3)-6. 又 f(1)=2,∴f(-3)=f(-2)+4. 令 x=-2,y=1, 则 f(-1)=f(1)+f(-2)-4, ∴f(-2)=f(-1)+2. 令 x=-1,y=1,f(0)=f(-1)+f(1)-2. 又 x=y=0 时,f(0)=0,∴f(-1)=0. ∴f(-3)=f(-2)+4=f(-1)+6=6.故选 C. 答案:C 8.解析:只有 C 项不满足,∵f(2x)=2x+1,而 2f(x)=2x+2,∴f(2x)≠2f(x). 答案:C 9.解析:当 x≥0 时,f(x)>f(1)=3,即 x2-4x+6>3,解得 0≤x<1 或 x>3;当 x<0 时,f(x)>f(1)=3,即 x+6>3,解得-3<x<0.故 f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞). 答案:A 1? 3 10.解析:由 2f(x)-f? ?x?=x2① 1? 1 2 令①式中的 x 变为 可得 2f? ?x?-f(x)=3x ② x

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2 由①②可解得 f(x)= 2+x2,由于 x2>0, x 因此由基本不等式可得 2 2 2 f(x)= 2+x2≥2 · x =2 2, x x2 当 x2= 2时取等号,因此其最小值为 2 2,值域为[2 2,+∞).选 B. 答案:B 二、填空题 11.解析:∵f(x+1)的定义域为[0,1], ∴0≤x≤1,∴1≤x+1≤2. 2 由 1≤3x-1≤2,得 ≤x≤1. 3 2 ? ∴f(3x-1)的定义域为? ?3,1?. 2 ? 答案:? ?3,1? 12.解析:由题意知 2x2+2ax-a-1≥0 恒成立. ∴x2+2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0. 答案:[-1,0] 1 13.解析:f(x)=log2 *log2x 3x-2

?log 3x-2?x≥1?, =? 2 ? ?log x ? ?3<x<1?.
2 2

1

1 ∴当 x≥1 时, ≤1,f(x)≤0; 3x-2 2 2 当 <x<1 时,log2 <f(x)<0. 3 3 ∴f(x)的值域为(-∞,0]. 答案:(-∞,0]

14. 1 解析:画出函数图像如图所示,由图像可知要使 a>b≥0,f(a)=f(b)同时成立,则 ≤b 2 1 1 ?2 <1,bf(a)=b· f(b)=b(b+1)=b2+b=? ?b+2? -4, 3 ∴ ≤b· f(a)<2. 4 3 ? 答案:? ?4,2? 三、解答题 15.解析:依题意有 x>0, l(x)= ?x-4?2+32= x2-8x+25,

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x x 所以 y= = 2 l?x? x -8x+25 1 = . 8 25 1- + 2 x x 1 4 ?2 9 8 25 由于 1- + 2 =25? ?x-25? +25, x x 8 25 3 5 所以 1- + 2 ≥ ,故 0<y≤ . x x 5 3 5 x ? 即函数 y= 的值域是? ?0,3?. l?x? 5? 答案:? ?0,3? 16.解析:(1)∵g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=0, ∵f(2)=3,∴g(f(2))=g(3)=2. (2)f(g(x))=(g(x))2-1 ??x-1?2-1,x>0, ? =? 2 ? ??2-x? -1,x<0.
2 ? ?x -2x,x>0, ∴f(g(x))=? 2 ?x -4x+3,x<0. ?

? ?f?x?-1,f?x?>0, g(f(x))=? ? ?2-f?x?,f?x?<0 ??x2-1?-1,x2-1>0, ? =? 2 2 ?2-?x -1?,x -1<0. ?
2 ? ?x -2,x>1或x<-1, ? ∴g(f(x))= 2 ?3-x ,-1<x<1. ?

答案:(1)f(g(2))=0,g(f(2))=2; 2 ? x>0, ?x -2x, ? (2)f(g(x))= 2 ?x -4x+3,x<0. ?
?x2-2,x>1或x<-1, ? g(f(x))=? 2 ?3-x , -1<x<1. ?

开卷速查(09) 函数的单调性与最值 一、选择题 1.解析:函数 y=ln(x+2)的定义域为(-2,+∞),且在定义域内单调递增,满足题意, 故选 A. 答案:A 2.解析:①是幂函数,其在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合题意;②中的函数是 1 由函数 y=log x 向左平移 1 个单位而得到的,因原函数在(0,+∞)上为减函数,故此项符合 2 题意;③当 x∈(0,1)时,y=|x-1|=1-x,故符合题意;④中的函数为指数函数,其底数大于 1,故其在 R 上单调递增,不符合题意,综上可知选择 B. 答案:B 3.解析:因为偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是增函数且 f(-1)=0,所以 f(2x-1)<0 可 化为 f(|2x-1|)<f(1),则有|2x-1|<1,解得 x 的取值范围是(0,1),故选 B. 答案:B

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a-2<0 ? ? 13 4.解析:由题意可知? 解得 a≤ . 1?2 ? 8 ? ??a-2?×2≤?2? -1, 答案:B 5.解析:∵g(lgx)>g(1),g(x)=-f(|x|), ∴-f(|lgx|)>-f(1).∴f(|lgx|)<f(1). 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, 1 ∴|lgx|<1.∴-1<lgx<1.∴ <x<10.选 C. 10 答案:C 6.解析:f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于 g(x),只有当 a>0 时,它有两个减区间(- ∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可,则 a 的取值范围 是 0<a≤1. 答案:D ? ?1-x≥0, 7.解析:由? 得函数的定义域是{x|-3≤x≤1},y2=4+2 1-x· x+3=4+ ?x+3≥0 ? 2 -?x+1?2+4,当 x=-1 时,y 取得最大值 M=2 2; m 2 当 x=-3 或 1 时,y 取得最小值 m=2,∴ = .故选 C. M 2 答案:C 8.解析:由(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0 知 f(x)在(0,+∞)上递增,∴f(4)<f(6)?f(-4)>f(- 6). 答案:C 9.解析:∵f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0)=0,令 y=-x,则有 f(x)+f(-x)=f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是 R 上的奇函数. 设 x1<x2,则 x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0. ∴f(x)在 R 上是减函数. ∴f(x)在[a,b]有最小值 f(b). 答案:C 10.解析:由于函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后得到的图像关于 y 轴对称,故函数 y 1? ?5? =f(x)的图像本身关于直线 x=1 对称,所以 a=f? ?-2?=f?2?.当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2 -x1)<0 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c.故选 D. 答案:D 二、填空题

11. 解析:y=-(x-3)|x| 2 ? ?-x +3x,x>0, ? = 2 ?x -3x,x≤0. ? 3? 作出该函数的图像,观察图像知递增区间为? ?0,2?.

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3? 答案:? ?0,2? 12.解析:画出图像易知 y=|2x-1|的递减区间是(-∞,0],依题意应有 m≤0. 答案:(-∞,0] ?1?? ?1? 13.解析:由 f? ??x??<f(1),得?x?>1, 1 1 ∴ >1 或 <-1,∴0<x<1 或-1<x<0. x x 答案:(-1,0)∪(0,1) ax+2a2-2a2+1 2a2-1 14.解析:f(x)= = a- , x+2a x+2a 其对称中心为(-2a,a). ?2a2-1>0, ?2a2-1>0, ? ? ∴? ?? ?a≥1. ? ? ?-2a≤-2 ?a≥1 答案:[1,+∞) 三、解答题 15.解析:(1)设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=? ?a-x2?-?a-x1? 1 1 x2-x1 = - = >0, x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. 1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?, 1 ? 又 f(x)在? ?2,2?上单调递增, 1? 1 2 ∴f? ?2?=2,f(2)=2,解得 a=5. 2 答案:(1)证明略;(2) . 5 x ? 16.解析:(1)f(1)=f? ?x?=f(x)-f(x)=0,x>0. x? ?x2?,∵x2>1,∴f?x2?>0. (2)设 0<x1<x2,则由 f? = f ( x ) - f ( y ) ,得 f ( x ) - f ( x ) = f 2 1 ?y? ?x1? ?x1? x1 ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 36? (3)∵f(6)=f? ? 6 ?=f(36)-f(6),∴f(36)=2, 原不等式化为:f(x2+3x)<f(36), ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, x+3>0, ? ?1 ∴? x >0, ? ?x +3x<36,
2

3 17-3 解得 0<x< . 2

? 3 17-3?. 故原不等式的解集为?0, ? 2 ? ? ? 3 17-3?. 答案:(1)0;(2)增函数,证明略;(3)?0, ? 2 ? ?
开卷速查(10) 函数的奇偶性与周期性 一、选择题

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2 ? ?1-x >0, 1.解析:由? 得-1<x<1,且 x≠0. ?|x+3|-3≠0, ?

答案与导解

∴函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). lg?1-x2? lg?1-x2? ∵f(x)= = , x |x+3|-3 lg?1-x2? ∴f(-x)= =-f(x). -x ∴f(x)是奇函数. 答案:A 2.解析:当 x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)]=x3-ln(1-x),故选 C. 答案:C π? 3.解析:选项 A 中函数 y=cos2x 在区间? ?0,2?上单调递减,不满足题意; 选项 C 中的函数为奇函数; 选项 D 中的函数为非奇非偶函数,故选 B 项. 答案:B 4.解析:∵f(-x)=-f(x), -x x ∴ =- , ?-2x+1??-x-a? ?2x+1??x-a? 1 ∴(2a-1)x=0,∴a= . 2 答案:A 5.解析:∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1), 又∵f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1),而当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2, ∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故选 A. 答案:A 6.解析:∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 答案:A 7.解析:由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x) =f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 答案:C 8.解析:函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1). 由 f(1)=-f(-1)≥1,得 f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3,则 f(-1)=f(2), 2a-3 2 由 ≤-1,解得-1<a≤ . 3 a+1 答案:C x ? ?f?x?-g?x?=e , ? 9.解析:由题意,得 -x ?-f?x?-g?x?=e , ?

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答案与导解

? 解得? e +e ?g?x?=- 2
x

ex-e x f?x?= , 2
- -x

故 g(0)=-1, f(x)为 R 上的增函数, 0<f(2)<f(3), 故 g(0)<f(2)

.

<f(3). 答案:D 10.解析:由 f(x+1)=-f(x),知 f(x)是周期函数,且最小正周期为 2. 7? ? 1? ? 1? ?1? 故 f? ?2?=f?4-2?=f?-2?=f?2?, 7? ? 1? ?1? f? ?3?=f?2+3?=f?3?, 7? ? 7 3 3 -2+ ?=f?- ?=f? ?. f? = f 5? ? 5? ?5? ?5? ? 7? ?7? ?7? 3 1 1 又因为 > > ,所以 f? ?5?<f?2?<f?3?. 5 2 3 答案:B 二、填空题 11.解析:令 h(x)=f(x)+x2,∴h(1)=f(1)+1=2. h(-1)=f(-1)+1=-2,∴f(-1)=-3, ∴g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案:-1 12.解析:∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数, |1-m|>|m|, ? ? ∴?-2≤1-m≤2, ? ?-2≤m≤2, 1 解得-1≤m< . 2

1 答案:-1≤m< 2 13.解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,因此 f(-x)+f(x)=0.当 x=0 时,可得 f(0) =0,可得 b=-1,此时 f(x)=2x+2x-1,因此 f(1)=3.又 f(-1)=-f(1),所以 f(-1)=-3. 答案:-3 3 x- ?关于 14.解析:由 f(x)=f(x+3)?f(x)为周期函数,且 T=3,①为真命题;又 y=f? ? 4? (0,0)对称, 3? 3 y=f? ?x-4?向左平移4个单位得 y=f(x)的图像, 3 - ,0?对称,②为真命题; 则 y=f(x)的图像关于点? ? 4 ? 3 ? 又 y=f? ?x-4?为奇函数, 3? 3? ? ∴f? ?x-4?=-f?-x-4?, 3 3? 3? ?3 f? ?x-4-4?=-f?4-x-4?=-f(-x), 3? ? 3? ∴f? ?x-2?=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f?x-2?=f(-x),∴f(x)为偶函数,不可能为 R 上 的单调函数.所以③为真命题,④为假命题. 答案:①②③ 三、解答题

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15.解析:(1)当 a=0 时,f(x)=x2,对任意的 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2 =x =f(x),∴f(x)为偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (a≠0,x≠0), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)方法一:要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,等价于 f′(x)≥0 在 x∈[2,+∞) 上恒成立, a 即 f′(x)=2x- 2≥0 在 x∈[2,+∞)上恒成立. x 故 a≤2x3 在 x∈[2,+∞)上恒成立. ∴a≤(2x3)min=16. ∴a 的取值范围是(-∞,16]. 方法二:设 2≤x1<x2,则 a a 2 f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- x1 x2 ?x1-x2? = [x1x2(x1+x2)-a]. x1x2 要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>0,即 a<x1x2(x1+x2)恒成立, 又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16]. 答案:(1)a=0 时,f(x)为偶函数,a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数,理由略;(2)(-∞,16]. -x ex a e a 16.解析:假设存在实数 a(a>0),使得 f(x)为偶函数,由 f(-x)=f(x)得 + x= + -x. a e a e 1? x ? 1? -x ∴? ?a-a?e -?a-a?e =0, 1? x -x ∴? ?a-a?(e -e )=0, 1 ∴a- =0,即 a=± 1. a - 而 a>0,∴a=1,∴f(x)=ex+e x. 任取 x1<x2,且 x1>0 ,x2>0, f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2 1 1 =ex1-ex2+ - ex1 ex2 1 =(ex1-ex2)?1-ex +x ?. ? 1 2? ∵x1<x2,且 x1>0,x2>0,∴ex1-ex2<0,ex1+x2>1, 1 ∴(ex1-ex2)?1-ex +x ?<0, ? 1 2? ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数. 答案:存在 a=1 使得 f(x)为偶函数,此时 f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是 增函数.
2

开卷速查(11) 幂函数与二次函数 一、选择题 1.解析:由幂函数的性质知:①图像过(1,1)点,可排除 A、D 项;②当指数 0<α<1 时为增速较缓的增函数,故可排除 C 项,从而选 B 项.

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答案:B 2 1 1 =2α,即 2α=2- ,∴α=- . 2 2 2 1 1 1 ∴f(x)=x- .∴f(4)=4- = . 2 2 2 答案:C 3.解析:函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b]上递增, 2.解析:由已知,得 f?1?=1, ? ? 由已知条件?f?b?=b, ? ?b>1,
2 ? ?b -3b+2=0, ? 即 解得 b=2. ?b>1. ?

答案:C 4.解析:若 a>0,则 bc>0,根据选项 C、D,c<0,此时只有 b<0,二次函数的对称 b 轴方程 x=- >0,选项 D 有可能;若 a<0,根据选项 A,c<0,此时只能 b>0,二次函 2a b 数的对称轴方程 x=- >0,与选项 A 不符合;根据选项 B,c>0,此时只能 b<0,此时 2a b 二次函数的对称轴方程 x=- <0,与选项 B 不符合.综合知只能是选项 D. 2a 答案:D 5.解析:f(x)=-x2+4x+a 在 x∈[0,1]上的最小值为 f(0)=a,故 a=-2. ∴f(x)=-x2+4x-2,它在[0,1]上的最大值为 f(1)=-12+4×1-2=1,选 C. 答案:C 6.解析:∵f(x)=|2-x2|且 f(a)=f(b), ∴|2-a2|=|2-b2|. 由 f(x)=|2-x2|的图像可知 2-a2=b2-2. ∴a2+b2=4>2ab.∴ab<2. 又∵ab>0,∴ab∈(0,2). 答案:A 7.

?x2+4x,x≥0, ? 解析:函数 f(x)=? 2 ? ?4x-x ,x<0 的图像如图. 知 f(x)在 R 上为增函数, 故 f(2-a2)>f(a), 即 2-a2>a. 解得-2<a<1. 答案:C 1? ?1? 1 1 1 8. 解析: 因为函数 f(x)=x 在(0, +∞)上是增函数, 又 0<a<b< < , 故 f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a?. 2 b a 答案:C 9.解析:由已知可得二次函数图像关于直线 x=1 对称,则 f(-3)=f(5),c=f(0)=f(2), 5? 二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)=f(5)>f? ?2?>f(2)=f(0)=c. 答案:D

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10.解析:二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0,f′(x)=2a(x -1)≤0,x∈[0,1],所以 a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 答案:D 二、填空题 11.解析:∵0<0.71.3<0.70=1,1.30.7>1.30=1, ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m, ∴幂函数 y=xm 在(0,+∞)上单调递增,故 m>0. 答案:(0,+∞) 3 3 x+ ?2+49 (a≠0),方程 a?x+ ?2+49=0 的 12.解析:设二次函数的解析式为 f(x)=a? ? 2? ? 2? 49 两个根分别为 x1,x2,则|x1-x2|=2 - =7, a 2 ∴a=-4,故 f(x)=-4x -12x+40. 答案:f(x)=-4x2-12x+40 13.解析:因为 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,所以 b=0,则 f(x)=x2+1,解不等式 (x-1)2+1<x,即 x2-3x+2<0 得 1<x<2. 答案:0 {x|1<x<2} 1 14.解析:由 x≥0,y≥0,x=1-2y≥0 知 0≤y≤ , 2 2 2 2 2 2 ? 令 t=2x+3y =3y -4y+2,则 t=3? ?y-3? +3. 1? 1 3 在? ?0,2?上递减,当 y=2时,t 取到最小值,tmin=4. 3 答案: 4 三、解答题 π 2 3 4 3 15.解析:(1)当 θ=- 时,f(x)=x2- x-1=?x- ?2- , 6 3 3? 3 ? 3 4 ∴当 x= 时,f(x)min=- ; 3 3 2 3 当 x=-1 时,f(x)max= . 3 (2)由于函数的对称轴是 x=-tanθ,要使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数,必须且 只需-tanθ≤-1 或-tanθ≥ 3,即 tanθ≥1 或 tanθ≤- 3, π π? ?π π? 故 θ∈? ?-2,-3?∪?4,2?. 4 2 3 答案:(1)f(x)min=- ,f(x)max= ; 3 3 π π? ?π π? (2)θ∈? ?-2,-3?∪?4,2?. 16.解析:由题意,得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点,且 a<0,则 2 ? ?0=a×?-3? +?b-8?×?-3?-a-ab,
? 2 ?0=a×2 +?b-8?×2-a-ab. ? ? ?a=-3, 解得? ?b=5. ? ∴f(x)=-3x2-3x+18. (1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减,

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∴当 x=0 时,y=18; 当 x=1 时,y=12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)令 g(x)=-3x2+5x+c. 5 ? ∵g(x)在? ?6,+∞?上单调递减,要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,则需要 g(1)≤0. 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 答案:(1)[12,18];(2)c≤-2. 开卷速查(12) 指数与指数函数 一、选择题 aπ π 1.解析:由题意有 3a=9,则 a=2,所以 tan =tan = 3,故选 D. 6 3 答案:D - 2x 1,x≥1, ? ? 2.解析:f(x)=??1?x-1 故选 B. , x < 1. ? 2 ?? ? 答案:B 1 3.解析:设 y=f(x),t=2x+1,则 y= ,t=2x+1,x∈(-∞,+∞),t=2x+1 在(-∞, t +∞)上递增,值域为(1,+∞). 1 因此 y= 在(1,+∞)上递减,值域为(0,1). t 答案:A 1?x 4.解析:∵1-x∈R,y=? ?3? 的值域是正实数集, 1?1-x ∴y=? ?3? 的值域是正实数集. 答案:B - - - 5.解析:由 f(a)=3 得 2a+2 a=3,两边平方得 22a+2 2a+2=9,即 22a+2 2a=7,故 f(2a)=7. 答案:B - 6.解析:由题意,f(x)=2|x|=2| x|=f(-x),即 f(x)为偶函数.

?f?-1?=f?1?, ? 故?f?-2?=f?2?, ? ?f?- 2?=f? 2?.

显然 x≥0 时, f(x)=2x 单调递增, 所以 f(-1)=f(1)<f(- 2)=f( 2)

<f(-2)=f(2). 答案:D 7.解析:如果函数 f(x)的定义域为[-1,1],则 0<a<1 时 f(x)在 x=1 处取得最大值,所 1 1 1 以 f(1)≤ , 解得 ≤a<1; a>1 时, f(x)在 x=-1 处取得最大值, 所以 f(-1)≤ , 解得 1<a≤2, 2 2 2 故选 C. 答案:C

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答案与导解

8.解析:由题意知 a>1,又 f(-4)=a3,f(1)=a2,由单调性知 a3>a2,∴f(-4)>f(1). 答案:A 4 - + 9.解析:由 22x 1<ax 1?(2x-1)lg2<(x+1)lga?x· lg -lg(2a)<0. a ? ?f?1?<0, 4 设 f(x) = x· lg - lg(2a) , 由 x ∈ [ - 1,1] 时 , f(x) < 0 恒 成 立 , 得 ? ? a ?f?-1?<0 ?

?lga-lg?2a?<0, ? 4 ?-lga-lg?2a?<0
答案:A 10.

4

?a> 2为所求的范围.

1?x ?1?x 的图像,如图所示. 解析:画出函数 y1=? 和 y = 2 ?2? ?3? 1?a ?1?b 由? ?2? =?3? 结合图像,可得 a<b<0,或 a>b>0,或 a=b=0. 答案:B 二、填空题 1 3 1 1 1 11.解析:原式=(2x )2-(3 )2-4x- · x+4x- · x 4 2 2 2 2 1 1 1 1 =4x -33-4x- +1+4x- + 2 2 2 2 1 1 =4x -27-4x +4x0 2 2 =-27+4 =-23. 答案:-23 12.解析:令 x+2 012=0,则 x=-2 012, 此时 y=a0+2 012=1+2 012=2 013. ∴恒过定点(-2 012,2 013). 答案:(-2 012,2 013) 5-1 13.解析:∵a= <1,∴f(x)=ax 是递减函数. 2 由 f(m)>f(n),得 m<n. 答案:m<n 14.解析:由 f(1)=9 得 a2=9,∴a=3. - 因此 f(x)=3|2x 4|, 又∵g(x)=|2x-4|的递减区间为(-∞,2], ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,2]. 答案:(-∞,2] 三、解答题 1?|x| 1 15.解析:(1)g(x)= |x|+2=? ?2? +2, 2

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1?|x| ∵|x|≥0,所以 0<? ?2? ≤1,即 2<g(x)≤3. ∴g(x)的值域是(2,3]. 1 -2=0. 2|x| 当 x≤0 时,显然不满足方程. 1 即只有 x>0 时,满足 2x- x-2=0. 2 整理,得(2x)2-2· 2x-1=0,(2x-1)2=2, x 故 2 =1± 2. ∵2x>0,∴2x=1+ 2,即 x=log2(1+ 2). 答案:(1)(2,3];(2)log2(1+ 2). 16.解析:(1)把 A(1,6),B(3,24)代入 f(x)=b· ax,得 ?6=ab, ?a=2, ? ? ? 结合 a>0,且 a≠1,解得? 3 ? ? a, ?24=b· ?b=3. x ∴f(x)=3· 2. 1?x ?1?x (2)要使? ?2? +?3? ≥m 在(-∞,1]上恒成立, 1?x ?1?x 只需保证函数 y=? ?2? +?3? 在(-∞,1]上的最小值不小于 m 即可. 1?x ?1?x ∵函数 y=? ?2? +?3? 在(-∞,1]上为减函数, 1?x ?1?x 5 ∴当 x=1 时,y=? ?2? +?3? 有最小值6. 5 ∴只需 m≤ 即可. 6 5 答案:(1)f(x)=3· 2x;(2)m≤ . 6 (2)由 f(x)-g(x)=0,得 2x- 开卷速查(13) 对数与对数函数 一、选择题 lg9 lg4 2lg3 2lg2 1.解析:(log29)· (log34)= × = × =4. lg2 lg3 lg2 lg3 答案:D 2.解析:由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得 ?x+2≤10, ? lg(x+2)≤lg10,则? 解得-2<x≤8, ?x+2>0, ? 故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(-2,8]. 答案:C 3.解析:f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2. ∴f(x)=log2x. 答案:A 4.解析:a=log23.6=log43.62=log412.96,y=log4x(x>0)是单调增函数,而 3.2<3.6< 12.96, ∴a>c>b. 答案:B log2|-x| log2|x| log2|x| 5. 解析: 由于 =- , 所以函数 y= 是奇函数, 其图像关于原点对称. 当 x x -x x>0 时,对函数求导可知函数图像先增后减,结合选项可知选 C 项. 答案:C 6.解析:y=lnt 是单调递增函数,则只需研究函数 t=4+3x-x2 的单调递减区间,并注

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答案与导解

3 3 ? ? 当 x≥4 时, 意 t>0 的限制. t=4+3x-x2 的单调递减区间为? t≤0, 所以区间? ?2,+∞?, ?2,4? 符合题意. 答案:D 7.解析:∵x+ 2 1 1 +1=x-1+ +2≥ x-1 x-1

1 ?x-1?· +2=4.∴y≤-2. x-1 答案:A 1 1 1 1 13 1 - ?=log <log 1,即-1<f?- ?<0, 8.解析:依题意得 f(3)=log 2=-1<0,log 2<f? ? 2? 2 2 ? 2? 22 2 1? 1 又 f(0)=log 1=0,因此有 f(3)<f? ?-2?<f(0). 2 答案:C 9.解析:∵1<log23<2, ∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2) =f(log23+3)=2log23+3 =2log23· 23=3×8=24. 答案:D 10.解析:由题可知函数 f(x)=ax+logax 在[1,2]上是单调函数,所以其最大值与最小值 之和为 f(1)+f(2)=a+loga1+a2+loga2=loga2+6,整理可得 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a= -3(舍去),故 a=2. 答案:C 二、填空题 1 11.解析:由题意得 0<log a<1, 2 1 解得 <a<1. 2 1 ? 答案:? ?2,1? 12.解析:由题意 f(x)=f(4-x),∴x2-ax+a2=(4-x)2-a(4-x)+a2,整理得 a=4. 答案:4 1 1 ? ? 2lgx 4lgx 8lgx ? 1? ? 1 13.解析:f(x)+f? = lgx+ lgx+ lgx + lgx+ lgx+ 1+4 1+8 ? ?1+2 1+4 1+8lgx?=3. ? x? ?1+2 答案:3 1 14.解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)+f(x)=0,f(log 125)=f(-log25)=- 8 5 1 f(log25)=f(log25-2)=2log25-2-1= -1= . 4 4 1 答案: 4 三、解答题 15.解析:(1)∵f(x)=x2-x+b. ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b, 由已知(log2a)2-log2a+b=b, ∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1.∴a=2. 又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4.∴b=4-a2+a=2. 故 f(x)=x2-x+2. 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2

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1?2 7 =? ?log2x-2? +4. 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4 2 ? ??log2x? -log2x+2>2, (2)由题意,? ? 2 ?log2?x -x+2?<2 ?
?x>2,或0<x<1, ? ? ?0<x<1. ?-1<x<2 ?

7 答案:(1)f(log2x)的最小值为 ,此时 x= 2; 4 (2)0<x<1. a?x 16.解析:(1)由 ax-bx>0 及 a>1>b>0,得? ?b? >1,故 x>0. 所以,f(x)的定义域为(0,+∞). (2)令 g(x)=ax-bx,由 a>1>b>0 知,g(x)在(0,+∞)上为增函数. 当 x∈(1,+∞)时,f(x)取到一切正数等价于 x∈(1,+∞)时,g(x)>1. 故 g(1)=1,得 a-b=1.① 又 f(2)=lg2,故 a2-b2=2.② 3 1 由①②解得 a= ,b= . 2 2 3 1 答案:(1)(0,+∞);(2)存在 a= ,b= . 2 2 开卷速查(14) 函数的图像 一、选择题 1.解析:当 x=a2 时,y=lga2=2lga=2b,所以点(a2,2b)在函数 y=lgx 图像上. 答案:D x+3 2.解析:y=lg =lg(x+3)-1 可由 y=lgx 的图像向左平移 3 个单位长度,向下平移 10 1 个单位长度而得到. 答案:C 3.解析:显然该函数为奇函数,又 x>1 时 y>0,故选 D. 答案:D 4.解析:易知该函数为偶函数,且当 x 足够大时 y>0,故选 A. 答案:A π π π π 5.解析:当 x=0 时,y=1;当 x= 时,y= ;当 x=- 时,y=- ,观察各选项可知 2 2 2 2 B 正确. 答案:B 6.解析:如图所示,由图像可得两函数图像有两个交点,故方程有且仅有两个根.

答案:C 7.解析:如图所示,由图可知,当-1≤a≤1,即|a|≤1 时不等式恒成立.

答案:B

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8.解析:图像甲是一个指数函数的图像,它应满足②;图像乙是一个对数函数的图像, 它应满足③;图像丁是 y=x 的图像,满足①. 答案:D 9.解析:∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 f(-x)=sin(-x)· ln|-x|=-sinx· ln|x| =-f(x),∴f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,排除 C、D 两选项.又∵f(1)=0,且当 0 <x<1 时,f(x)<0,∴排除 B 选项,故选 A. 答案:A 10.解析:由图像可知,函数 f(x)为奇函数且关于直线 x=1 对称,所以 f(1+x)=f(1-x), 所以 f[1+(x+1)]=f[1-(x+1)],即 f(x+2)=f(-x).故①②正确. 答案:C 二、填空题 x+1 1 1 11.解析:f(x)= =1+ ,把函数 y= 的图像向上平移 1 个单位,即得函数 f(x)的图 x x x 1 像.由 y= 的对称中心为(0,0),可得平移后的 f(x)图像的对称中心为(0,1). x 答案:(0,1) 12.解析:当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b, ?-k+b=0, ?k=1, ? ? 则? 得? ?b=1, ?b=1. ? ? ∴y=x+1. 当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2)2-1, ∵图像过点(4,0), 1 ∴0=a(4-2)2-1,得 a= . 4 x+1,-1≤x≤0, ? ? 答案:f(x)=?1 2 ?4?x-2? -1,x>0 ?

13. 解析:画出分段函数 f(x)的图像如图所示,结合图像可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的 实根,也即函数 y=f(x)的图像与 y=k 有两个不同的交点,k 的取值范围为(0,1). 答案:(0,1) 14.解析:按图像逐个分析,注意 x、y 的取值范围. 答案:④②①③ 三、解答题 15.解析:(1)设 f(x)图像上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y) 1 在 h(x)的图像上,即 2-y=-x- +2, x 1 ∴y=f(x)=x+ (x≠0). x a+1 a+1 a (2)g(x)=f(x)+ =x+ ,g′(x)=1- 2 . x x x ∵g(x)在(0,2]上为减函数, a+1 ∴1- 2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即 a≥3,故 x a 的取值范围是[3,+∞).

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1 答案:(1)f(x)=x+ (x≠0);(2)[3,+∞). x 16.解析:(1)证明:设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0),点 P 关于直 线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). ∵f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0, ∴P′也在 y=f(x)的图像上, ∴函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],∴f(-x)=-2x-1. 又∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], ∴f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7,而 f(4+x)=f(-x)=f(x), ∴f(x)=2x+7,x∈[-4,-2]. ? ?2x+7,x∈[-4,-2], ∴f(x)=? ?-2x-1,x∈?-2,0]. ?
?2x+7,x∈[-4,-2], ? 答案:(1)证明略;(2)f(x)=? ?-2x-1,x∈?-2,0]. ?

开卷速查(15) 函数与方程 一、选择题 1.解析:由于 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理,知函数 f(x) 的零点在区间(0,1)内. 答案:C 2.解析:令 f(x)=0,得 x=0 或 cosx2=0,因为 x∈[0,4],所以 x2∈[0,16]. π π 3π 5π 7π 9π 2 2 ? 由于 cos? ?2+kπ?=0(k∈Z),故当 x =2, 2 , 2 , 2 , 2 时,cosx =0,所以零点个数为 6. 答案:C 3.解析:由 f(x)-2=0,得 f(x)=2,由图像可知,对于 A 项,当 f(x)=2 时,x=0,不 成立;对于 B 项,当 f(x)=2 时,无解,对于 C 项,当 f(x)=2 时,x>0,不成立,故选 D. 答案:D 1?x 4.解析:根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数 f(x)=? ?3? -log2x 在(0,+∞) 上单调递减,函数 f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点.若有零点的话,零点左侧的函数值恒 正,右侧的函数值恒负,对于 0<x1<x0,f(x1)的值恒为正值. 答案:A 5.

解析: g(x)=4x+2x-2 的零点, 即函数 y=4x 与函数 y=-2x+2 图像交点的横坐标(如图), 1 由图知 g(x)的零点 x0 满足 0<x0< . 2 1 又 f(x)=4x-1 的零点为 ,∴选 A. 4 答案:A

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6. 解析:f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵f(a)=0,∴f(x)=0 只有一个实根,当 0<x0<a 时,恒有 f(x0)<0. 1 另解:x=a 为 y=2x 与 y=log x 的交点横坐标, 2 1 1 ∴0<x0<a 时 2x0< log x0,∴2x0-log x0<0, 2 2 ∴f(x0)<0. 答案:B 1 7.解析:画出函数 y=2x 与 y=log x 的图像可知,满足条件的 c 只能在函数 f(x)的零点 2 的左边,故不可能出现 x0<c. 答案:D 8.解析:作出函数 y=2sinπx 与 y=x-1 的图像,如图所示.由图像可知,两个函数的 图像有 5 个交点,即 f(x)=2sinπx-x+1 有 5 个零点,故选 B.

答案:B 9.解析:函数 f(x)=x3-3x+a 的导函数 f′(x)=3x2-3,相应二次方程 3x2-3=0 有两 根 x=± 1,函数存在一个极大值 f(-1)=2+a>0,还有一个极小值 f(1)=-2+a<0,结合以上 可求 a 的取值范围是(-2,2). 答案:B 1 ? ?log2 ?x+1?,x∈[0,1?, 10.解析:当 x≥0 时,f(x)=? 画出示意图,如图所示,

? ?1-|x-3|,x∈[1,+∞?,

因为该函数为奇函数,利用函数图像关于原点对称,画出在 R 上的图像,函数 F(x)=f(x) -a(0<a<1)的零点,即方程 a=f(x)的根,即直线 y=a 和函数 f(x)的图像的交点的横坐标,可 以发现交点有 5 个,最左边的两个和最右边的两个之和为 0,只有中间一个是直线 y=a 和函 1 数在(-1,0]上的图像的交点的横坐标,当 x∈(-1,0]时,f(x)=-log (1-x),令 f(x)=a,得 x 2 a a =1-2 ,故函数 F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 1-2 . 答案:B 二、填空题 1 1 11.解析:由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, 2 2 x 故 f(x)=2 +x 的零点 a∈(-1,0). 因为 g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2;

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1? 1 1 h? ?2?=-1+2=-2<0,h(1)=1>0, 1 ? 故 h(x)的零点 c∈? ?2,1?,因此 a<c<b. 答案:a<c<b x ? ?2 -1,x>0, 12.解析:画出 f(x)=? 2 的图像,如图. ?-x -2x,x≤0 ?

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图像得:0<m<1,即 m∈(0,1). 答案:(0,1) 13.解析:函数 f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=2 014x+log2 014x 1 ? 在区间? 又 f(x)为增函数, 因此在(0, +∞)内有且仅有一个零点. 根 ?0,2 014?内存在一个零点, 据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数在 R 上的零点的个数为 3. 答案:3 1 2 14.解析:∵函数 f(x)的定义域为(0,+∞),∴函数 f′(x)= + 2>0,即函数 f(x)在(0, x x 2 +∞)上单调递增.由 f(2)=ln2-1<0,f(e)=lne- >0,知 x0∈(2,e),∴[x0]=2. e 答案:2 三、解答题 8?2 8 15.解析:∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9? ?a-9? +9>0, ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. 1 f( - 1)· f(3) = (1 - 3a + 2 + a - 1)· (9 + 9a - 6 + a - 1) = 4(1 - a)(5a + 1)≤0. 所以 a≤ - 或 5 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1.所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0, 即 x2+x=0, 得 x=0 或 x=-1, 方程在[-1,3]上有两根, 不合题意, 故 a≠1. 1 (2)当 f(3)=0 时,a=- , 5 6 2 13 此时 f(x)=x - x- . 5 5 13 6 2 令 f(x)=0,即 x2- x- =0,解之得 x=- 或 x=3,方程在[-1,3]上有两根,不合题 5 5 5 1 意,故 a≠- . 5 1 综上所述,存在实数 a,其范围是 a<- 或 a>1. 5 1 答案:存在,a 的范围是 a<- 或 a>1 5 e2 16.解析:(1)方法一:∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x 等号成立的条件是 x=e,∴g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点.

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e2 方法二:作出 g(x)=x+ (x>0)的图像如图所示, x 可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e. 方法三:由 g(x)=m 得 x2-mx+e2=0. m ? ? 2 >0, 此方程有大于零的根,故?

? ?Δ=m2-4e2≥0,

? ?m>0, 等价于? ?m≥2e,或m≤-2e, ? 故 m≥2e. (2)方法一:若 g(x)-f(x)=0 有两相异的实根,

即 g(x)与 f(x)的图像有两个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ (x>0)的图像. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)的图像有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 方法二:令 F(x)=g(x)-f(x), 则由已知 F(x)=g(x)-f(x)有两个零点. e2 又 F′(x)=g′(x)-f′(x)=1- 2+2x-2e x 2x3+?1-2e?x2-e2 = x2 ?x-e??2x2+x+e? = , x2 ∵x2>0 恒成立,2x2+x+e>0 恒成立, ∴当 x>e 时 F′(x)>0,x<e 时 F′(x)<0,故 F(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上 为增函数. ∴F(x)=g(x)-f(x)在 x=e 处取得极小值, 若 F(x)=g(x)-f(x)有两个零点,则 F(e)<0. e2 即 e+ +e2-2e· e-m+1<0, e 即 m>-e2+2e+1. 答案:(1)m≥2e;(2)m>-e2+2e+1.

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开卷速查(16) 函数的应用 一、选择题 1.解析:设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20, B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1= , 5 1 t=150 时,150k2-150k1-20=150× -20=10. 5 答案:A 2.解析:注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,用定性分析 法不难得到答案 D. 答案:D 3.解析:由题图可得营运总利润 y=-(x-6)2+11, y 25 则营运的年平均利润 =-x- +12, x x y 25 ∵x∈N*,∴ ≤-2 x· +12=2, x x 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”. x ∴x=5 时营运的平均利润最大. 答案:C 4.解析:依题意可设甲销售 x 辆,则乙销售(15-x)辆,总利润 S=L1+L2,则总利润 S = 5.06x - 0.15x2 + 2(15 - x) = - 0.15x2 + 3.06x + 30 = - 0.15(x - 10.2)2 + 0.15×10.22 + 30 (x≥0).∴当 x=10 时,Smax=45.6(万元). 答案:B x ?2 ? y ? 5. 解析: 设铁丝分成的两段长分别为 x, y(x>0, y>0), x+y=2.面积之和为 S=? ?4? +π?2π? ?2-x?2 π+4 2 1 1 1 8 2 = x2+ = x - x+ ,当 S 取得最小值时,x= . 16 4π 16π π π π+4 答案:D a 1 a 1 6.解析:由已知条件可得 ae5n= ,e5n= .由 aent= ,得 ent= ,所以 t=15,m=15-5 2 2 8 8 =10. 答案:B 7.解析:设每个售价定为 x 元,则利润 y=(x-80)· [400-(x-90)· 20]=-20[(x-95)2- 225], ∴当 x=95 时 y 最大. 答案:A 8.解析:A 选项,y=2x,当 x=2 时,y=4,与题设坐标相差太远,舍去;B 选项,当 x=2 时,y=3,与题设坐标相差太远,舍去;C 选项,当 x=2 时,y=2,x=4 时,y=6, 与题设坐标相差太远,舍去,故选择 D. 答案:D 9 . 解析: 设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额为分段函数,由题意,得 y = 0 ?x≤800?, ? ? ??x-800?×14% ?800<x≤4 000?, ? x ?x>4 000?. ?11%· 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元, 现知某人共纳税 420 元, 所以稿费应在 800~4 000 元之间, ∴(x-800)×14%=420.∴x=3 800(元). 答案:C 10.解析:依题意,设在 A 地销售 x 辆汽车,则在 B 地销售 16-x 辆汽车,则总利润 y

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21 212 x- ?2+0.1× +32,∵x∈[0,16]且 x =4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1? ? 2? 4 ∈N,∴当 x=10 或 11 时,总利润 ymax=43 万元,故选 C. 答案:C 二、填空题 1 11.解析:当 t=0.5 时,y=2,∴2=e k, 2 ∴k=2ln2,∴y=e2tln2, 当 t=5 时,∴y=e10ln2=210=1 024. 答案:2ln2 1 024 12.解析:设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 9, 0<x≤3, ? ? 3<x≤8, 则 y=?8+2.15?x-3?+1, ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8. 由 y=22.6,解得 x=9. 答案:9 13.解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600,则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b -2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486, 当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S 最大=486. 答案:30 cm、20 cm 14.解析:设新价为 b,依题意,有 b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)· 25%,化简得 b 5 5 a = a.∴y=b· 20%· x= a· 20%· x,即 y= x (x∈N*). 4 4 4 a 答案:y= x (x∈N*) 4 三、解答题 3 600-3 000 15.解析:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,未租出的车辆数为 =12, 50 所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x(x≥3 000)元,则租赁公司的月收益为 x-3 000? f(x)=?100- (x-200),整理,得 50 ? ? 1 f(x)= (8 000-x)(x-200) 50 1 =- x2+164x-32 000 50 1 =- (x-4 100)2+304 200. 50 故当 x=4 100 时,f(x)最大,最大值为 f(4 100)=304 200, 即当每辆车的月租金定为 4 100 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 304 200 元. 答案:(1)88 辆;(2)月租金 4 100 元,最大月收益 304 200 元. 16.解析:(1)y=g(t)· f(t) 1 =(80-2t)· (20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|) ? ??30+t??40-t?,0≤t<10, =? ??40-t??50-t?,10≤t≤20. ? (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225;

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当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 所以第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1 225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小值为 600 元. ? ??30+t??40-t?,0≤t<10, 答案:(1)y=? ??40-t??50-t?,10≤t≤20. ? (2)最大值为 1 225 元,最小值为 600 元. 开卷速查(17) 变化率与导数、导数的计算 一、选择题 1.解析:y′=-3x2+6x,y′|x=1=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程 为 y-2=3(x-1),整理得 y=3x-1. 答案:A cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π 1 2.解析:y′= = ,所以 y′|x= = = 4 π ?sinx+cosx?2 1+sin2x 1+sin 2 1 . 2 答案:B -4ex -4 3. 解析: y′= x ≥-1(当且仅当 ex=1, 即 x=0 时取等号), 即-1≤tanα 2= 1 ?e +1? x e +2+ x e 3π <0,所以 ≤α<π. 4 答案:D 4.解析:∵y′=2x+a, ∴k=y′|x=0=a=1,将(0,b)代入切线:0-b+1=0. ∴b=1,故 a=1,b=1. 答案:A 5.解析:∵f′(x)=4ax3+2bx 为奇函数,∴f′(-1)=-f′(1)=-2. 答案:B 6.解析:f′(x)=x2+2ax+a2-4,因为 a≠0,所以 f′(x)不是偶函数,排除第一、二个 f′?0?=0, ? ? 1 图像,由于开口向上,所以第三个图像是 f′(x)的图像,? 2a a=-2,f(x)= x3- 3 - >0. ? ? 2 2 2x2+1,f(1)=- .选 C. 3 答案:C 7.解析:∵f′(x)=(x-a1)(x-a2)· ?· (x-a8)+x· [(x-a1)(x-a2)· ?· (x-a8)]′, ∴f′(0)=a1a2· ?· a8. ∵{an}为等比数列,a1=2,a8=4, ∴f′(0)=a1a2· ?· a8=(a1a8)4=84=212. 答案:C 8.解析:∵f′(x)=sinθx2+ 3cosθx, π? ∴f′(1)=sinθ+ 3cosθ=2sin? ?θ+3?. 5π? π ?π 3π? ∵θ∈? ?0,12?,∴θ+3∈?3, 4 ?, π? ? 2 ? ? π? ∴sin? ?θ+3?∈? 2 ,1?,∴2sin?θ+3?∈[ 2,2]. 答案:D

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9.解析:y=f′(x)=ex-ae x,∵y=f′(x)为奇函数, - ∴f′(0)=1-a=0,∴a=1,∴f′(x)=ex-e x, 3 - 由 ex-e x= ,得 ex=2,∴x=ln2. 2 答案:C 10.解析:当 x>1 时,设函数 f(x)图像上任意一点 P(x,lnx),它与原点 O 的连线的斜率 1-lnx lnx 为 k= ,则 k′= 2 .令 k′=0,得 x=e.当 x∈(0,e)时,k′>0;当 x∈(e,+∞)时, x x 1 1 1 k′<0,所以 kmax= .画出函数 y=f(x)与 y=ax 的图像,如图所示.由图像可知,当 ≤a< e 4 e 时,两函数的图像有两个不同的交点,即方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实数根,故选 B.

答案:B 二、填空题 11.解析:f′(x)=2f′(1)+2x.令 x=1,得 f′(1)=2f′(1)+2,即 f′(1)=-2.令 x=0, 得 f′(0)=2f′(1)=-4. 答案:-4 12.解析:y′=x2+2bx+4,∵y′≥0 恒成立, ∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2. 答案:[-2,2] f?x?+2 13.解析:由 y= =h(x)知 g?x? f′?x?g?x?-?f?x?+2?g′?x? y′=h′(x)= , [g?x?]2 f′?5?g?5?-?f?5?+2?g′?5? 得 h′(5)= [g?5?]2 3×4-?5+2?×1 5 = = . 42 16 f?5?+2 5+2 7 7 5 又 h(5)= = = ,所以切线方程为 y- = (x-5),即 5x-16y+3=0. 4 4 4 16 g?5? 答案:5x-16y+3=0 14.解析:f′(x)=-x2+f′(1)· x-f′(2), ? ?f′?1?=-1+f′?1?-f′?2? ∴? ?f′?2?=-4+2f′?1?-f′?2?, ? ∴f′(2)=-1,f′(1)=1. 1 1 ∴f(x)=- x3+ x2+x+5,f′(x)=-x2+x+1. 3 2 ∴f′(0)=1,f(0)=5. ∴曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x+5. 答案:x-y+5=0 三、解答题 1 15.解析:∵f(x)= x,∴f′(x)= . 2 x

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1? ?1 1? ∴切线 l 的斜率为 k=f′? ?4?=1,切点为 T?4,2?. 1 ∴切线 l 的方程为 x-y+ =0. 4 9 ∵切线 l 与直线 g(x)=kx+ 平行, 4 9 ∴k=1,即 g(x)=x+ . 4 9 1 9 f(x)的图像上的点到直线 g(x)=x+ 的最短距离为切线 l:x-y+ =0 与直线 x-y+ =0 4 4 4 之间的距离, 9 1 | - | 4 4 ∴所求最短距离为 = 2. 2 答案: 2 7 16.解析:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x b 1 2a- = , ?a=1, 2 2 ? 3 于是 解得? 故 f(x)=x- . x b 7 ? b = 3. ? a+ = , 4 4 3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y- x 3 1+ 2?(x-x0), y0=? x ? 0? 3? ? 3? 即 y-? (x-x0). ?x0-x0?=?1+x2 0? 6 令 x=0,得 y=- , x0 6? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x0?. 令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x0| 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ? x ? 2 0? =6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为定值, 且此定 值为 6. 3 答案:(1)f(x)=x- ;(2)定值为 6,证明略. x

? ? ?

开卷速查(18) 导数的应用(一) 一、选择题 e 1.解析:函数定义域为(0,+∞),f′(x)=1+ >0,故单调增区间是(0,+∞). x 答案:A 2.解析:依题意得,当 x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当 x∈(c,e)时,f′(x)<0;当 x∈(e, +∞)时,f′(x)>0.因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞) 上是增函数,又 a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a). 答案:C

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2 1 x-2 3.解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=- 2+ = 2 ,当 x=2 时,f′(x)=0; x x x 当 x>2 时,f′(x)>0,函数 f(x)为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,函数 f(x)为减函数,所以 x =2 为函数 f(x)的极小值点. 答案:D 1-lnx 4.解析:f′(x)= 2 ,当 x>e 时,f′(x)<0,则 f(x)在(e,+∞)上为减函数,f(a)>f(b). x 答案:A 5.解析:因为 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以-1,1 为函 数的极值点.又 f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上 f(x)max =1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上 f(x)max-f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小 值是 20. 答案:A 6. 解析: 设 f(x)=x3-3x+c, 对 f(x)求导可得, f′(x)=3x2-3, 令 f′(x)=0, 可得 x=± 1, 易知 f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.若 f(1)=1-3+c=0, 可得 c=2;若 f(-1)=-1+3+c=0,可得 c=-2. 答案:A 7.解析:因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,所以 f(1)+f′(1)=0;选项 D 中,f(1)>0,f′(1)>0,不满足 f′(1)+f(1)=0. 答案:D 8.解析:由 F(x)=xf(x),得 F′(x)=f(x)+xf′(x)=xf′(x)-f(-x)<0,所以 F(x)在(-∞, 0]上单调递减,又可证 F(x)为偶函数,从而 F(x)在[0,+∞)上单调递增,故原不等式可化为 -3<2x-1<3,解得-1<x<2. 答案:A 9.解析:由题意知,函数 f(x)=x(lnx-ax)=xlnx-ax2 有两个极值点,即 f′(x)=lnx+1 -2ax=0 在区间(0,+∞)上有两个根. -2ax+1 1 令 h(x)=lnx+1-2ax,则 h′(x)= -2a= ,当 a≤0 时 h′(x)>0,f′(x)在区 x x 间(0,+∞)上递增,f′(x)=0 不可能有两个正根, 1? 1 1 ? ∴a>0.由 h′(x)=0, 可得 x= , 从而可知 h(x)在区间? 在区间? ?0,2a?上递增, ?2a,+∞? 2a 1? 1 1 1 1 上递减.因此需 h? ?2a?=ln2a+1-1=ln2a>0,即2a>1 时满足条件,故当 0<a<2时,h(x) 1 =0 有两个根 x1,x2,且 x1< <x2.又 h(1)=1-2a>0, 2a 1 ∴x1<1< <x2,从而可知函数 f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,在区 2a 间(x2,+∞)上递减. 1 ∴f(x1)<f(1)=-a<0,f(x2)>f(1)=-a>- .故选 D 项. 2 答案:D 10.解析:令 F(x)=x2f(x), ex 则 F′(x)=x2f′(x)+2xf(x)= , x e2 F(2)=4· f(2)= . 2 ex 由 x2f′(x)+2xf(x)= , x x ex-2x2f?x? e 得 x2f′(x)= -2xf(x)= , x x ex-2F?x? ∴f′(x)= . x3

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x 2ex e ?x-2? = . x x ∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)的最小值为 φ(2)=e2-2F(2)=0. ∴φ(x)≥0. 又 x>0,∴f′(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)单调递增. ∴f(x)既无极大值也无极小值.故选 D 项. 答案:D 二、填空题 11.解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根,即 Δ=4m2-12×(m+6)>0.所 以 m>6 或 m<-3. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 12.解析:求导得 f′(x)=-3x2+2ax,由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0,即-3×4 +2a×2=0,故 a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得 f(x)在(-1,0) 上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以对 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 答案:-4 13.解析:∵y′=3x2+6ax+3b, ?3×22+6a×2+3b=0, ?a=-1, ? ? ∴? ?? 2 ? ? ?3×1 +6a+3b=-3 ?b=0. 2 2 ∴y′=3x -6x,令 3x -6x=0,则 x=0 或 x=2. ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 答案:4 14.解析:由函数 y=f(x)的导函数的图像可知: (1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数; (2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值. 故②③正确. 答案:②③ 三、解答题 15.解析:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, ?ex-1?. f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· 2? ? 令 f′(x)=0 得,x=-ln2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. - 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2). 答案:(1)a=4,b=4;(2)f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2) - 上单调递减,f(x)的极大值为 4(1-e 2). 16.解析:(1)当 a=1 时,f′(x)=6x2-12x+6, 所以 f′(2)=6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y=6x-8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值, f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a), 令 f′(x)=0,得到 x1=1,x2=a,

令 φ(x)=ex-2F(x),

则 φ′(x)=ex-2F′(x)=ex-

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当 a>1 时, x 0 (0,1) 1 0 f′(x) + f(x) 0 单调 递增 极大值 3a-1 单调 递减 极小值 a2(3-a) 单调 4a3 递增 比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 ?0,1<a≤3, ? g(a)=? 2 ?a ?3-a?,a>3. ? 当 a<-1 时, x 0 (0,1) f′(x) - f(x) 0 单调递减 3a-1 单调递增 -28a3-24a2 得 g(a)=3a-1.

(1,a) -

a 0

(a,2a) +

2a

1 0 极小值

(1,-2a) +

-2a

3a-1, a<-1, ? ? 综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为 g(a)=?0, 1<a≤3, ? ?a2?3-a?, a>3. 3a-1, a<-1, ? ? 答案:(1)y=6x-8;(2)最小值为 g(a)=?0, 1<a≤3, ? ?a2?3-a?, a>3. 开卷速查(19) 导数的应用(二) 一、选择题 1.解析:∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, xf′?x?-f?x? -2f?x? f?x? ∴? x ?′= ≤ ≤0. x2 x2 ? ? f?x? f?a? f?b? 则函数 在(0,+∞)上是单调递减的,由于 0<a<b,则 ≥ .即 af(b)≤bf(a). x a b 答案:A 2.解析:由题意得,总成本函数为 C=C(x)=20 000+100x, x2 ? ?300x- 2 -20 000 ?0≤x≤400?, 总利润 P(x)=?

?60 000-100x ?x>400?, ?

? ?0≤x≤400?, ?300-x 又 P′(x)=? ?-100 ?x>400?, ? 令 P′(x)=0,得 x=300,易知 x=300 时,总利润 P(x)最大. 答案:D 1 1 3.解析:f′(x)= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx) 2 2 x =e cosx, π π 当 0≤x≤ 时,f′(x)≥0,且只有在 x= 时,f′(x)=0, 2 2

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π? ∴f(x)是? ?0,2?上的增函数, π? 1 π ∴f(x)的最大值为 f? ?2?=2e2, 1 f(x)的最小值为 f(0)= . 2 π ? ?1 1 π? ∴f(x)在? ?0,2?上的值域为?2,2e2?. 答案:A 4.解析:由 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),知 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. 又 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,由奇、偶函数的性质知,当 x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0. 答案:B 1? 1 5.解析:依题意得,当 x< 时,f′(x)>0,因此,函数 f(x)在? ?-∞,2?上是增函数. 2 1 又 f(3)=f(-2),且-2<0< , 2 1 ? 于是有 f(-2)<f(0)<f? ?2?,即 c<a<b. 答案:B 6.解析:f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3),令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(-1,3)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.

所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24,极大值为 f(-1)=8. 而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图像大致如图所示.故要使方程 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5] ?m<8, ? 上有 3 个零点, 只需函数 f(x)在[-2,5]内的函数图像与直线 y=m 有 3 个交点, 故? 即 ? ?m≥1, m∈[1,8). 答案:D 7.解析:∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0, ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数, ∴当 a<x<b 时 f(x)-g(x)>f(a)-g(a), ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 答案:C 8.解析:令 g(x)=x3-3x,x∈[0,2],则 g′(x)=3x2-3,令 g′(x)=0,得 x=1,当 0 <x<1 时,g′(x)<0;当 1<x<2 时,g′(x)<0,所以 g(x)在 x=1 处取得极小值,也是最 小值,此时 g(1)=1-3=-2,又因为 g(0)=0,g(2)=8-6=2,所以 g(x)的最大值为 2.所以 g(x)的值域为[-2,2],故选 A. 答案:A 9. 解析: 根据函数 f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2 0- 2 1)(x-x0), 可知其导数 f′(x)=(x-2)(x -1)=(x+1)(x-1)(x-2), 令 f′(x)<0 得 x<-1 或 1<x<2. 因此 f(x)的单调减区间是(-∞,-1),(1,2). 答案:C

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1 1 1 1 1 10.解析:由题意,得 0<m<1,n>1,|log m|=|log n|,则 log m=-log n,即 log m 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 +log n=0,得 mn=1,m= ,故 m+3n= +3n.令 g(x)=3x+ (x>0),则 g′(x)=3- 2.由 2 n n x x 3 3 3 g′(x)=0 得 x= ;由 g′(x)>0 得 x> ,由 g′(x)<0 得 0<x< ,所以 g(x)在[1,+ 3 3 3 ∞)上单调递增,g(x)在[1,+∞)上的最小值为 g(1)=4.由于 n>1,所以 m+3n 的取值范围是 (4,+∞),故选 D. 答案:D 二、填空题 11.解析:f′(x)=3x2-x-2,令 f′(x)=0,得 2 3x2-x-2=0,解得 x=1 或 x=- . 3 2 7 157 11 - ?= ,f(-1)= ,f(2)=7, 又 f(1)= ,f? 2 ? 3? 27 2 7 7 故 f(x)min= ,∴a< . 2 2 7 ? 答案:? ?-∞,2? 12. 解析: 由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可, 又 f′(x) 2 =3x -6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0, 得 x1=0, x2=2, 当 x<0 时, f′(x)>0; 当 0<x<2 时, f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x)取得极大值,即 f(x)极大值=f(0)=-a;当 x=2 时, f(x)取得极小值,即 f(x)极小值=f(2)=-4-a, ?-a>0, ? 所以? 解得-4<a<0. ?-4-a<0, ? 答案:(-4,0) 13.解析:设商场销售该商品所获利润为 y 元,则 y=(p-20)Q=(p-20)(8 300-170p-p2) =-p3-150p2+11 700p-166 000(p≥20), ∴y′=-3p2-300p+11 700. 令 y′=0 得 p2+100p-3 900=0, ∴p=30 或 p=-130(舍去),则 p,y,y′变化关系如下表: p (20,30) 30 (30,+∞) 0 y′ + - y 极大值 ∴当 p=30 时,y 取极大值为 23 000 元. 又 y=-p3+150p2+11 700p-166 000 在(20,+∞)上只有一个极值,故也是最值. ∴该商品零售价定为每件 30 元,所获利润最大为 23 000 元. 答案:30 23 000 14.解析:因为对任意 x1、x2∈(0,+∞), g?x1? ? g?x1? f?x2? k 不等式 ≤ 恒成立,所以 ≥? . k k+1 k+1 ? f?x2? ?max e2x 因为 g(x)= x , e - - - - 所以 g′(x)=(xe2 x)′=e2 x+xe2 x· (-1)=e2 x(1-x). 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 所以当 x=1 时,g(x)取到最大值,即 g(x)max=g(1)=e; e2x2+1 因为 f(x)= ,当 x∈(0,+∞)时, x

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1 1 f(x)=e2x+ ≥2e,当且仅当 e2x= , x x 1 即 x= 时取等号,故 f(x)min=2e. e g?x1?? e 1 所以? ? f?x2? ?max=2e=2. k 1 所以 ≥ .又因为 k 为正数,所以 k≥1. k+1 2 答案:[1,+∞) 三、解答题 15.解析:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+ 2)· (kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-lnk,x2=-2. ①若 1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时, F′(x)>0.即 F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)上 的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2-x2 1-4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - ②若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0 ,即 F(x)在(-2,+∞)上单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - - ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2· (k-e2)<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2]. 答案:(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)[1,e2]. 1 16.解析:(1)f′(x)=ex- . x+m 由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0, 所以 m=1. 1 于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)=ex- . x+1 1 函数 f′(x)=ex- 在(-1,+∞)上单调递增,且 f′(0)=0. x+1 因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0. 1 当 m=2 时,函数 f′(x)=ex- 在(-2,+∞)上单调递增. x+2 又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 1 由 f′(x0)=0 得 ex0= ,ln(x0+2)=-x0, x0+2

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?x0+1?2 1 故 f(x)≥f(x0)= +x0= >0. x0+2 x0+2 综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 答案:(1)m=1,f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)证明略. 开卷速查(20) 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.解析:原式=?0-6f(x)dx+?6f(x)dx,

?

?0

∵原函数为偶函数,∴在 y 轴两侧的图像对称. ∴对应的面积相等.8×2=16,故选 D. 答案:D 3 2 2.解析:依题意得?x (3t2-10t+6)dt=(t3-5t2+6t)|x 0=x -5x +6x=0,由此解得 x=0

?0

或 x=2 或 x=3. 又 x>0,因此集合 P={2,3},集合 P 的非空子集的个数是 22-1=3,选 B. 答案:B 3.解析:f(x)=(x+1)2+m-1,∵f(x)的最小值为-1, ∴m-1=-1,即 m=0,∴f(x)=x2+2x. 1 3 1 3 2 1 16 2 x +x2?|2 f(x)dx=?2(x2+2x)dx=? . 1= ×2 +2 - -1= ? 3 ? ? 3 3 3 ? ?
1 1

答案:B 4.解析:两幂函数图像交点坐标是(0,0),(1,1), 1 5 所以 S=?1(x -x3)dx= . 12 ? 2
0

答案:D

5. 解析:如图,所求面积为阴影部分面积,其面积为四边形 ABDE 的面积减去不规则图形 ABCE 的面积,故 S= 1 2 ?4 2 4 x -x |2-2lnx|4 (x-1)dx-?4 dx=? 2- ? 2 ? ? x ? ?
2 2

2lnx|4 2=4-2ln2,选 D. 答案:D 2 0.06 6.解析:由物理知识 F=kx 知,1=0.01k,∴k=100,则 W=∫0.06 0 100xdx=50x |0 = 0.18(J). 答案:A ?y=x2, ? 7.解析:由? 得交点为(0,0),(1,1).所以所求图形的面积 S=?1 (x2-x3)dx= 3 ?y=x ?0 ? 1 1 1 ?1x3-1x4?|1 4 ? 0=3-4=12. ?3 答案:A 1 1? 1 ?x 8.解析:y=?x (sint+cost· sint)dt=?x sintdt+ ?x sin2tdt=(-cost)|x 0 + -2cos2t | 0 =- ? ? 2 2 ? ? ?
0 0 0

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1 1 1 cosx+1- cos2x+ =- (cosx+1)2+2,故当 cosx=-1 时,ymax=2. 4 4 2 答案:B ? ?2-x?x≥0?, 2 9.解析:f(x)=2-|x|=? ? -1f(x)dx= ?2+x?x<0?, ? ? 1 1 0-1f(x)dx+ 2f(x)dx= 0-1(2+x)dx+ 2(2-x)dx=?2x+ x2?|0 +?2x- x2?|2=3.5. -1 ? ? ? ? 2 2 ?0 ? ? ? ? ? ? ?
0 0

答案:C 1 ? 1 10.解析:函数 y= (x>0)图像与 y=2 的交点坐标为? ?2,2?,阴影部分面积可由直线 x x 1 1 = 分为两部分,故阴影部分面积为 S 阴影=S1+S2= ×2+ 2 2 错误!错误!dx=1+(lnx)错误!错误!=1-ln错误!=1+ln2.矩形面积为 2, 则点 M 取自 E 1+ln2 内的概率为 P= . 2 答案:C 二、填空题 x3 2 -cosx?|1 11.解析:?1-1(x2+sinx)dx=? -1= . 3 ? ? 3 ? 2 答案: 3 3 3 12.解析:∵f(1)=lg1=0,∴f[f(1)]=f(0)=0+?a3t2dt=t3|a 0=a ,∴a =1,∴a=1.

?0

答案:1 8 2 2? 13.解析:根据定积分的性质?1? ?π 1-x +6x ?dx= 8 1 8 π 1 1-x2dx+2?13x2dx= × +2×x3|0 =4. π? π 4 ? ?
0 0

?0

答案:4 14.解析:函数的导数为 f′(x)=3x2-2x+1,所以 f′(1)=3-2+1=2,即切线方程为 2 ? ?y=x , ? y-2=2(x-1),整理得 y=2x.由 解得交点坐标为(0,0),(2,2), 所以切线与函数 g(x) ?y=2x, ? 1 8 4 x2- x3?|2 =x2 围成的图形的面积为?2(2x-x2)dx=? 0=4- = . 3 ? ? 3 3 ? 4 答案: 3 三、解答题 15.解析:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1, 所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S=?1(x-x2)dx x2 x3? 1 | =? ?2-3? 0 1 1 = - 2 3 1 = . 6 又可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0,x′2=1-k, S -k 2 所以 =∫1 0 (x-x -kx)dx 2
1

?0

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1-k 2 x3? 1-k 1 3 | ? 2 x - 3 ? 0 =6(1-k) . 1 又知 S= , 6 1 所以(1-k)3= . 2 =? 3 3 1 4 于是 k=1- =1- . 2 2 4 2 16 . 解 析 : (1) 由 题 意 知 , f′(x) = 3x2 + 2ax + b , f(1) = - 2 , 且 f′(1) = 0 , 即 ? ? ?1+a+b=-2, ?a=0, ? 解得? ?3+2a+b=0, ?b=-3. ? ? (2)由(1)可知,f(x)=x3-3x. 作出曲线 y=x3-3x 的草图如图, 答案:1- 3

所求面积为阴影部分的面积, 由 x3-3x=0 得曲线 y=x3-3x 与 x 轴的交点坐标是(- 3, 0),(0,0)和( 3,0),而 y=x3-3x 是 R 上的奇函数,所以函数图像关于原点成中心对称. 所以所求图形的面积为 S=2∫ 30[0-(x3-3x)]dx 1 4 3 2? 9 | =-2? ?4x -2x ? 30=2. 9 答案:(1)a=0,b=-3;(2) . 2 开卷速查(21) 任意角、弧度制及任意角的三角函数 一、选择题 π 3 cos 6 2 π 1.解析:由 tanα= = = 3,故角 α 的最小正值为 ,选 C. π 1 3 sin 6 2 答案:C 2.解析:165° 是第二象限角,因此 sin165° >0 正确;280° 是第四象限角,因此 cos280° >0 正确; 170° 是第二象限角, 因此 tan170° <0, 故 C 错误; 310° 是第四象限角, 因此 tan310° <0 正确. 答案:C 3π π θ 3π 3.解析:由于 θ 是第三象限角,所以 2kπ+π<θ<2kπ+ (k∈Z),kπ+ < <kπ+ (k 2 2 2 4 θ θ θ π θ 3π ∈Z);又|cos |=-cos ,所以 cos ≤0,从而 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ ,(k∈Z),综上可知 2kπ 2 2 2 2 2 2 π θ 3π θ + < <2kπ+ ,(k∈Z),即 是第二象限角. 2 2 4 2 答案:B 1 1 4.解析:设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则 2r+l=4,则面积 S= rl= r(4-2r)=-r2 2 2 l 2 2 +2r=-(r-1) +1,∴当 r=1 时 S 最大,这时 l=4-2r=2,从而 α= = =2. r 1

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答案:A 5. 解析: 依题意可知 α 角的终边在第三象限, 点 P(-4, a)在其终边上且 sinα· cosα= 易得 tanα= 3或 3 4 ,则 a=-4 3或- 3. 3 3 3 , 4

答案:C 6.解析:在第三象限,sinα<0,cosα<0,tanα>0,则可排除 A、C、D,故选 B. 答案:B -8m 4 7.解析:∵r= 64m2+9,∴cosα= =- , 2 5 64m +9 2 4m 1 1 ∴m>0,∴ = ,即 m= . 2 64m2+9 25 答案:B 3π 3π 8.解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 是第四象限的角, 4 4 3π cos 4 7π ∵tanθ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ= . 3π 4 sin 4 答案:D x x 4 4 9.解析:由题意,得 2 = (x<0),解得 x=-3,因此,tanα= =- ,故选 D. 5 x 3 x +16 答案:D 5 10.解析:取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cosθ=± , 5 3 故 cos2θ=2cos2θ-1=- . 5 答案:B 二、填空题 y 11.解析:P(4,y)是角 θ 终边上一点,由三角函数的定义知 sinθ= ,又 sinθ= 16+y2 2 5 - , 5 y 2 5 ∴ 2=- 5 ,解得 y=-8. 16+y 答案:-8 12.解析:由题意知,tanα<0,cosα<0,所以 α 是第二象限角. 答案:二 π π 1 3 cos ,sin ?,即 Q? , ?. 13.解析:根据题意得 Q? 3? ? 3 ?2 2 ? 1 3 答案:? , ? ?2 2 ? 3 3 4 14.解析:由题意知 tanα=- ,∴α 在第二象限或第四象限,故 sinα= ,cosα=- 或 4 5 5 3 4 sinα=- ,cosα= , 5 5 2 2 ∴2sinα+cosα= 或- . 5 5 2 2 答案: 或- 5 5 三、解答题

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2π 15.解析:(1)∵α=120° = ,r=6, 3 2π ∴ AB 的弧长为 l= ×6=4π. 3 1 1 (2)∵S 扇形 OAB= lr= ×4π×6=12π, 2 2 1 2 2π 1 3 S△ABO= r · sin = ×62× =9 3, 2 3 2 2 ∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12π-9 3. 答案:(1)4π;(2)12π-9 3. 3 4? 16.解析:(1)∵A 点坐标为? ?5,5?, 4 ∴tanα= . 3 2 sin α+sin2α sin2α+2sinαcosα ∴ 2 = cos α+cos2α 2cos2α-sin2α 2 sin α sinα +2× cos2α cosα = sin2α 2- 2 cos α 2 tan α+2tanα = 2-tan2α 16 8 + 9 3 = =20. 16 2- 9 (2)设 A 点的坐标为(x,y), ∵△AOB 为正三角形, ? π? ? π?? ∴B 点坐标为? ?cos?α+3?,sin?α+3??,且 C(1,0). π? 2? ? π? ?2 ∴|BC|2=? ?cos?α+3?-1? +sin ?α+3? π? =2-2cos? ?α+3?. π π? 而 A、B 分别在第一、二象限,∴α∈? ?6,2?. π π 5π? , . ∴α+ ∈? 3 ?2 6 ? π? ? 3 ? ∴cos? ?α+3?∈?- 2 ,0?. ∴|BC|2 的取值范围是(2,2+ 3). 答案:(1)20;(2)(2,2+ 3). 开卷速查(22) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、选择题 1.解析:sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0. ∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0.∴cosθ<0. 答案:B 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 2.解析:sin2x+1= 2 = = . sin x+cos2x tan2x+1 5 答案:B

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sinα+cosα tanα+1 1 3.解析:∵ = = ,∴tanα=-3. sinα-cosα tanα-1 2 2tanα 3 ∴tan2α= = . 1-tan2α 4 答案:B 1 4.解析:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+sin2α= , 25 π ? 又 α∈? ?-4,0?,sinα+cosα>0, 1 所以 sinα+cosα= . 5 答案:B π 3 ? 5.解析:cos? ?2-φ?=sin φ= 2 , π 1 又|φ|< ,则 cosφ= ,所以 tanφ= 3. 2 2 答案:D 2sin2α 6.解析:由 2tanα· sin α=3 得, =3, cosα π 即 2cos2α+3cosα-2=0,又- <α<0, 2 1 3 解得 cosα= (cosα=-2 舍去),故 sin α=- . 2 2 答案:B 5 sinα 5 7.解析:由诱导公式可得:tan(π-α)=-tanα,∴tanα=- ,∴ =- ,又∵sin2 12 cosα 12 +cos2α=1,α 是第四象限角, 5 ∴sinα=- ,故选 D. 13 答案:D 4 8.解析:(sinα+cosα)2= =1+2sinαcosα, 9 5 ∴2sinαcosα=- .又∵sinα>0,∴cosα<0, 9 ∴α 为钝角,三角形为钝角三角形. 答案:A π ? ?π ? π 9.解析:∵? ?3+α?+?6-α?=2, π ? ?π ?π ?? ∴sin? ?6-α?=sin?2-?3+α?? π ? =cos? ?3+α? 1 = . 3 2π 7 2?π ? ? 则 cos? ? 3 +2α?=2cos ?3+α?-1=-9. 答案:A 10.解析:由同角三角函数关系式 1-sin2α=cos2α 及题意可得 cosα≠0 且 1-sinα≠0, 1+sinα cosα cosα 1 cosα 1 ∴ = ,∴ =- ,即 = . cosα 2 1-sinα 1-sinα sinα-1 2 答案:A 二、填空题 11.解析:∵sinθ<0,tanθ>0,∴θ 为第三象限角,

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∴cosθ=-

4?2 3 1-? ?-5? =-5.

3 答案:- 5 12.解析:原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0. 答案:0 13. 解析: 由诱导公式可知 cos(2π-α)=cosα, sin(π-α)=sinα, 由 sin2α+cos2α=1 可得, 2 sinα=± , 3 π 2 - ,0?,∴sinα=- . ∵α∈? ? 2 ? 3 2 答案:- 3 2π? ? π ?π ?? 14.解析:sin? ?α- 3 ?=sin?-2-?6-α?? π π -α?? =-sin?2+? ? ?6 ?? π ? 2 =-cos? ?6-α?=-3. 2 答案:- 3 三、解答题 tanα 15.解析:(1)由 =-1,得 tanα=3, tanα-6 2cosα-3sinα 2-3tanα 7 = =- . 15 3cosα+4sinα 3+4tanα (2)1-3sinαcosα+3cos2α 1-3sinαcosα+3cos2α = cos2α+sin2α 2 tan α-3tanα+4 2 = = . 5 tan2α+1 7 2 答案:(1)- ;(2) . 15 5 16.解析:(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sinα=- . 5 cosα tanα (2)原式= · -sinα -cosα sinα 1 = = , sinα· cosα cosα 4 由余弦函数的定义得 cosα= . 5 5 故所求式子的值为 . 4 3 5 答案:(1)- ;(2) . 5 4 开卷速查(23) 三角函数的图像与性质 一、选择题 1 1 π π 1.解析:∵cosx- ≥0,得 cosx≥ ,∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 3 3 答案:C

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π? ? π? 2.解析:∵y=sin? ?x-2?=-cosx,∴T=2π,在?0,2?上是增函数,图像关于 y 轴对称, 为偶函数. 答案:D π? 2π π π 3. 解析: 由 T=π= 得 ω=1, 所以 f(x)=sin? 则 f(x)的对称轴为 2x- = +kπ(k ?2x-3?, 2ω 3 2 5π kπ 5π ∈Z),解得 x= + (k∈Z),所以 x= 为 f(x)的一条对称轴. 12 2 12 答案:C πx π? π πx π 7π 3 4.解析:当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin? ? 6 -3?≤1,所以函数的最大值 3 6 3 6 2 为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. 答案:A π? ?π? ? π ? ?π ? ?π ? 5.解析:由 f? ?8?=-2,得 f?8?=-2sin?2×8+φ?=-2sin?4+φ?=-2,所以 sin?4+φ? π π π π 3π π =1.因为|φ|<π,所以 φ= .由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈ 4 2 4 2 8 8 Z. 答案:C π π? ? π π ? ? π π? 6.解析:∵x∈? ?-3,4?,则 ωx∈?-3ω,4ω?,要使函数 f(x)在?-3,4?上取得最小值 π π π 3π 3 3 -2,则- ω≤- 或 ω≥ ,得 ω≥ ,故 ω 的最小值为 . 3 2 4 2 2 2 答案:B π? π 7.解析:函数 f(x)=sin? ?ωx+4?的图像可看作是由函数 f(x)=sin x 的图像先向左平移4个 π? 1 单位得 f(x)=sin? ?x+4?的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的ω倍,纵坐标不变得 π? π? ?π ? ?π 5π? ? 到的,而函数 f(x)=sin? ?x+4?的减区间是?4, 4 ?,所以要使函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上 π 1 π × ≤ , 4 ω 2 1 5 是减函数,需满足 解得 ≤ω≤ . 2 4 5π 1 × ≥π, 4 ω

? ? ?

答案:A

?φ+π?? , 则 2cos ? 3x+?φ+π?? = 8 . 解 析 : 由 已 知 得 f(x) = 2cos ? 3 x + ? ? 3?? ? ? 3?? π π π ? ?? ? ? ? ? 2cos? ?- 3x+?φ+3??恒成立,展开得 sin 3xsin?φ+3?=0 恒成立.故 sin?φ+3?=0 恒成立, 只有选项 D 符合. 答案:D

cosx 9.解析:y=sinx| |= sinx

? ? π ?0,x=2, ? <x<π. ?-cosx,π 2

π cosx,0<x< , 2

答案:B π π 2x+ ?+cos?2x+ ? 10.解析:∵y=sin? 4? 4? ? ? = π? 2sin? ?2x+2?

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= 2cos2x, π kπ 0, ?单调递减,对称轴为 2x=kπ,即 x= (k∈Z). ∴y= 2cos2x 在? ? 2? 2 答案:D 二、填空题 4π π 13π 11. 解析: 由题意知, 2× +φ=kπ+ , k∈Z, 解得 φ=kπ- , k∈Z.当 k=2 时, |φ|min 3 2 6 π = . 6 π 答案: 6 12.解析:由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1)为最小值,f(x2)为最大值,|x1-x2|的最 小值为半个周期. 答案:2 7π? ? 5π? 13.解析:由? ?kπ+12?-?kπ-12?=π 得函数 f(x)的周期为 π,则 ω=2. 答案:2 14.解析:∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2× +φ=kπ+ ,∴φ=kπ+ . 12 2 3 π π π? π ? ? ∵φ∈? ?-2,2?,∴φ=3,∴y=sin?2x+3?. 由图像及性质可知②④正确. 答案:②④ 三、解答题 1 15.解析:(1)∵f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+ cos4x 2 1 = (sin4x+cos4x) 2 π? 2 = sin? ?4x+4?, 2 π 2 ∴f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 π? 2 (2)∵f(α)= ,∴sin? ?4α+4?=1. 2 π ? π ?9π 17π? ∵α∈? ?2,π?,∴4α+4∈? 4 , 4 ?. π 5π 9π ∴4α+ = ,故 α= . 4 2 16 π 2 9π 答案:(1)最小正周期为 ,最大值为 ;(2)α= . 2 2 16 3 16.解析:(1)f(x)= - 3sin2ωx-sinωxcosωx 2 1-cos2ωx 1 3 = - 3· - sin2ωx 2 2 2 3 1 = cos2ωx- sin2ωx 2 2 π? =-sin? ?2ωx-3?. π 2π π ∵图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,又 ω>0,∴ =4× . 4 2ω 4

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∴ω=1. π? (2)由(1)知 f(x)=-sin? ?2x-3?. 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 π 3 3 ? ∴- ≤sin? ?2x-3?≤1,∴-1≤f(x)≤ 2 . 2 3π? 3 ∴f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1. 3 答案:(1)1;(2)最大值 ,最小值-1. 2 开卷速查(24) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 一、选择题 π? 1.解析:由图像的平移得 g(x)=cos? ?x+2?=-sinx. 答案:A π? 2.解析:平移后的函数解析式是 y=cos2? ?x-4?=sin2x=2sinxcosx,故函数 f(x)的表达式 可以是 f(x)=2cosx. 答案:B π 3.解析:将函数 f(x)=sinωx 的图像向右平移 个单位长度,得到的图像对应的函数解析 4 π ω π ? ? ? ?3π ? 式为 f(x)=sinω? ?x-4?=sin?ωx- 4 ?.又∵函数图像过点? 4 ,0?, 3ωπ ωπ? ωπ ωπ ∴sin? ? 4 - 4 ?=sin 2 =0,∴ 2 =kπ,即 ω=2k(k∈Z),∵ω>0,∴ω 的最小值为 2. 答案:D π? 4.解析:由图可知,A=2,f? ?3?=2, 2π 2π +φ?=2,sin? +φ?=1, ∴2sin? ?3 ? ?3 ? 2π π π ∴ +φ= +2kπ(k∈Z),φ=- +2kπ(k∈Z), 3 2 6 π ? ? 1? ∴f(0)=2sin φ=2sin? ?-6+2kπ?=2×?-2?=-1. 答案:C 1 2π 5π 5.解析:由函数的图像可得 T= - ,∴T=π, 4 3 12 5π ? 则 ω=2,又图像过点? ?12,2?, 5π ? ∴2sin? ?2×12+φ?=2, π π 2x- ?, ∴φ=- +2kπ,k∈Z,∴f(x)=2sin? 3? ? 3 π 5π ? 其单调递增区间为? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z,取 k=0,即得选项 D. 答案:D 3 3 6.解析:∵f(x)的图像经过点?0, ?,∴sinθ= . 2 2? ? π π? π 又∵θ∈? ?-2,2?,∴θ=3. π? ∴f(x)=sin? ?2x+3?.

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π? 由题知 g(x)=f(x-φ)=sin? ?2?x-φ?+3?, 又图像经过点?0, 3? , 2? π? 3 ∴g(0)=sin? ?-2φ+3?= 2 . 5π 3 当 φ= 时满足 g(0)= ,故选 B. 6 2 答案:B 二、填空题

?

5π? π 7.解析:依题意,将函数 y=sin? ?ωx+ 6 ?(ω>0)的图像向右平移3个单位长度后,所对 5π π ? π? 5π ? 应的函数是 y=sin? ?ωx+ 6 -3ω?(ω>0),它的图像与函数 y=sin?ωx+4?的图像重合,所以 6 π π 7 7 - ω= +2kπ(k∈Z),解得 ω= -6k(k∈Z).因为 ω>0,所以 ωmin= . 3 4 4 4 7 答案: 4 π? ?2? x π? 1 ?6 ? ?4 ? ?2 ? 8.解析:y=sinx― ― →y=sin? ― →y=sin? ― →y=sin x― ― →y ?x+3?― ?2+3?,或 y=sinx― 2 2π x π 1 x+ ?=sin? + ?. =sin ? 3? ?2 3? 2? 答案:(4)(2)(或((2)(6))) π? 9 . 解 析 : 函 数 f(x) = 2sin ? ?2x+4? 的 图 像 向 右 平 移 φ(φ > 0) 个 单 位 后 变 为 f(x) = π 1 ? 2sin ? ?2x+4-2φ? , 再 将 图 像 上 每 一 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 2 倍 后 , 得 到 f(x) = π π π π π ? 2sin? ?4x+4-2φ?,其图像关于直线 x=4对称,则 4×4+4-2φ=kπ+2(k∈Z), 3π kπ 3 ∴φ= - (k∈Z),当 k=0 时,φ 的最小正值为 π. 8 2 8 3 答案: π 8 2π 10.解析:由函数 f(x)的最小正周期为 2π 且 ω>0,可得 2π= ,∴ω=1.又函数 f(x)= ω π π ? Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在 x= 取得最大值 2,则 A=2,且 sin? ?6+φ?=1, 6 π π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z,∴φ= +2kπ,k∈Z, 6 2 3 π π ? ∴φ= .故 f(x)=2sin? ?x+3?. 3 1 将函数 y=f(x)图像上各点的横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变,得到函数的解析式为 y 2 π π π ? ? ? = 2sin ? ?2x+3? , 又 把 函 数 y = 2sin ?2x+3? 的 图 像 向 右 平 移 3 个 单 位 , 得 到 g(x) = π π π? ? x- ? ? 2sin?2? ? ? 3?+3?,∴g(x)=2sin?2x-3?. π? 答案:2sin? ?2x-3? 三、解答题 π? π? ? 11.解析:(1)∵f(x)=sin? ?4x+4?+cos?4x-4? π? ?π ? =sin? ?4x+4?+cos?4-4x?

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π? ?π ?π ?? =sin? ?4x+4?+sin 2-?4-4x?

?

?

π? =2sin? ?4x+4?. ∴f(x)的最大值为 2. π π kπ π (2)令 4x+ =kπ+ (k∈Z),则 x= + (k∈Z). 4 2 4 16 ∵x=m 是函数 f(x)的对称轴, kπ π ∴m= + (k∈Z). 4 16 kπ π 答案:(1)2;(2)m= + (k∈Z). 4 16 π 3π 12.解析:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 4 4 π π cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 π ? 即 cos? ?4+φ?=0, π π 又|φ|< ,∴φ= . 2 4 π T π ωx+ ?依题意, = , (2)由(1)得,f(x)=sin? 4 ? ? 2 3 π 2π ? 又 T= ,故 ω=3,∴f(x)=sin? ?3x+4?. ω π? 函数 f(x)的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin? ?3?x+m?+4?. π π kπ π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z),即 m= + (k∈Z), 4 2 3 12 π 从而,最小正实数 m= . 12 π? π π 答案:(1) (2)f(x)=sin? ?3x+4? 12 4 开卷速查(25) 简单的三角恒等变换 一、选择题 1 sinθ cosθ 1 1 1.解析:由 tanθ+ = + = =4,得 sinθcosθ= ,则 sin2θ=2sinθcosθ tanθ cosθ sinθ sinθcosθ 4 1 1 =2× = . 4 2 答案:D 3 2.解析:方法一:∵sinα+cosα= , 3 1 ∴(sinα+cosα)2= , 3 2 2 ∴2sinαcosα=- ,即 sin2α=- . 3 3 3 又∵α 为第二象限角且 sinα+cosα= >0, 3 π 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+ π(k∈Z), 2 ∴2α 为第三象限角,

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∴cos2α=- 1-sin22α=- 方法二:由 sinα+cosα=

5 . 3

3 , 3 1 两边平方得 1+2sinαcosα= , 3 2 ∴2sinαcosα=- . 3 ∵α 为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0, ∴sinα-cosα= ?sinα-cosα?2 15 = 1-2sinαcosα= . 3

?sinα+cosα= 33, 由? 15 ?sinα-cosα= 3 ,
∴cos2α=2cos2α-1=- 答案:A

? ?sinα= 得? ?cosα= ?
5 . 3

3+ 15 , 6 3- 15 . 6

3.解析:由于 α,β 都为锐角,所以 cosα= 1-sin2α= 3 10 cosβ= 1-sin2β= . 10 所以 cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα· sinβ= π 所以 α+β= . 4 答案:A π? 1 2 4.解析:∵α∈? ?0,2?,且 sin α+cos2α=4, 1 1 ∴sin2α+cos2α-sin2α= ,∴cos2α= , 4 4 1 1 ∴cosα= 或- (舍去), 2 2 π ∴α= ,∴tanα= 3. 3 答案:D π π? ?π ? 5.解析:∵θ∈? ?4,2?,∴2θ∈?2,π?. 1 ∴cos2θ=- 1-sin22θ=- , 8 1-cos2θ 3 ∴sinθ= = . 2 4 答案:D π π 6.解析:∵α+ +β- =α+β, 4 4 π π ? ∴α+ =(α+β)-? ?β-4?, 4 π? ? ? π?? ∴tan? ?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? 2 , 2

2 5 , 5

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π? tan?α+β?-tan? ?β-4? π? 1+tan?α+β?tan? ?β-4?

3 . 22 答案:C 7.解析:f(x)=sinx+ 3cosx 1 3 =2? sinx+ cosx? 2 ?2 ? π ? =2sin? ?x+3?, π π π π 5π 由- ≤x≤ ,得- ≤x+ ≤ . 2 2 6 3 6 π π 所以当 x+ = 时,f(x)有最大值 2, 3 2 π π 当 x+ =- 时,f(x)有最小值-1. 3 6 答案:D π +2x? 1-cos? 2 ? ? 1+sin2x π 2? ? 8.解析:f(x)=sin ?x+4?= = , 2 2 1 1 a=f(lg5)= + sin(2lg5), 2 2 1 ? b=f? ?lg5?=f(-lg5) 1 1 = + sin(-2lg5) 2 2 1 1 = - sin(2lg5), 2 2 ∴a+b=1.选 C 项. 答案:C 3-sin70° 3-cos20° 9.解析: = 2-cos210° 2-cos210° 3-?2cos210° -1? = 2 2-cos 10° 2?2-cos210° ? = =2.故选 C. 2 2-cos 10° 答案:C 10.解析:f(x)=1+2sinxcosx-2cos2x-m=0 有解, π? x∈? ?0,2?,即 sin2x-cos2x=m 有解, π? 2sin? ?2x-4?=m 有解, π π 3 π 0, ?,2x- ∈?- , π?, ∵x∈? ? 2? 4 ? 4 4 ? π ? ∴ 2sin? ?2x-4?∈[-1, 2]. 答案:C 二、填空题 π? ? π? 1 11.解析:∵α∈? ?0,2?,cos?α+4?=3>0, =

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π? π ?π π? ∴α∈? ?0,4?,α+4∈?4,2?, π? 2 2 ∴sin? ?α+4?= 3 , π π? cosα=cos? ?α+4-4? π? π ? π? sinπ =cos? ?α+4?cos4+sin?α+4?· 4 2+4 = . 6 2+4 答案: 6 π 12.解析:∵α 为锐角,即 0<α< , 2 π π 5π ∴ <α+ < , 3 3 6 π? 1 ∵cos? ?α+3?=5, π? π? 2 6 ∴sin? 1-cos2? ?α+3?= ?α+3?= 5 , π π π α- ?=sin? +?α-6?? ∴cos? ?? ? 6? ?2 ? π 2 6 ? =sin? ?α+3?= 5 . 2 6 答案: 5 1 13.解析:由题意知 sinα-cosα= , 2 3 两边平方得 sin2α= , 4 7 ∴(sinα+cosα)2=1+sin2α= . 4 π ? 又 α∈? ?0,2?, 7 ∴sinα+cosα= , 2 cos2α-sin2α cos2α = π? 2 sin? ?α-4? 2 ?sinα-cosα? =- 2(sinα+cosα) 14 =- . 2 14 答案:- 2 π 14.解析:由题意知,C-A= ,且 C+A=π-B, 2 π B ∴A= - , 4 2 π B? B? 2? B ∴sinA=sin? ?4- 2 ?= 2 ?cos 2 -sin 2?, 1 1 ∴sin2A= (1-sinB)= , 2 3

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又 sinA>0,∴sinA= 3 3 三、解答题 答案:

3 . 3

π? 15.解析:f(x)=sin2x+ 3(1-2sin2x)+1=sin2x+ 3cos2x+1=2sin? ?2x+3?+1. 2π =π. 2 π π π 5π π 由正弦函数的性质知,当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,函 2 3 2 12 12 π? 5π π? ? 数 y=sin? ?2x+3?为单调递增函数,∴函数 f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). π π? π ? 2π? (2)∵x∈? ?-6,6?,∴2x+3∈?0, 3 ?, π π 2x+ ?∈[0,1],∴f(x)=2sin?2x+ ?+1∈[1,3]. ∴sin? 3 3? ? ? ? ∴f(x)的值域为[1,3]. 5π π? 答案:(1)最小正周期为 π,递增区间为? ?kπ-12,kπ+12? (k∈Z);(2)[1,3]. π ? ?π ? 16.解析:(1)∵f(x)=cos? ?3+x?cos?3-x? 1 3 1 3 =? cosx- sinx?? cosx+ sinx? 2 2 ?2 ??2 ? 1 2 3 2 = cos x- sin x 4 4 1+cos2x 3-3cos2x = - 8 8 1 1 = cos2x- , 2 4 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π. 2 (2)h(x)=f(x)-g(x) 1 1 = cos2x- sin2x 2 2 π 2 ? = cos?2x+4? ?, 2 π 2 当 2x+ =2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值 . 4 2 h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为 π {x|x=kπ- ,k∈Z}. 8 2 π 答案:(1)π;(2)h(x)的最大值为 ,此时 x 的集合为{x|x=kπ- ,k∈Z}. 2 8 (1)函数 f(x)的最小正周期 T= 开卷速查(26) 正弦定理和余弦定理 一、选择题 a b b 5 1 5 1.解析:根据正弦定理, = ,则 sinB= sinA= × = ,故选 B 项. sinA sinB a 3 3 9 答案:B a b 1 3 2.解析:由正弦定理 = 得: = , sinA sinB sinA sinB

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1 3 3 又∵B=2A,∴ = = , sinA sin2A 2sinAcosA 3 ∴cosA= ,∴∠A=30° , 2 ∴∠B=60° ,∠C=90° ,∴c= 12+? 3?2=2. 答案:B 1 1 3.解析:∵ acsinB= ,∴ac=2, 2 2 2 2 又 2b=a+c,∴a +c =4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 答案:C 4. 解析: 在△ABC 中, 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos∠ABC=2+9-2× 2 2 AC BC 5 3 ×3× =5,即得 AC= 5.由正弦定理 = ,即 = ,所以 sin∠ 2 sin∠ABC sin∠BAC sin ∠ BAC 2 2 3 10 BAC= . 10 答案:C 1 1 5.解析:根据正弦定理:asinBcosC+csinBcosA= b 等价于 sinAcosC+sinCcosA= ,即 2 2 1 sin(A+C)= . 2 5π π 又 a>b,∴∠A+∠C= ,∴∠B= .故选 A 项. 6 6 答案:A 6.解析:依题意由正弦定理得 sinC= 3sinA,又 B=30° , 3 3 1 3 ∴sinC= 3sin(150° -C)= cosC+ sinC,即- sinC= cosC,∴tanC=- 3,又 0° 2 2 2 2 <C<180° ,因此 C=120° . 答案:A 7.解析:针对 asinA+csinC- 2asinC=bsinB 利用正弦定理边角互化可得 a2+c2- 2ac=b2,即 a2+c2-b2= 2ac, a2+c2-b2 2ac 2 π ∴cosB= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 4 答案:B 8.解析:∵a=3bsinA,∴由正弦定理得 sinA=3sinBsinA, 1 1 1 1 1 ∴sinB= .∵ac=3,∴△ABC 的面积 S= acsinB= ×3× = ,故选 A. 3 2 2 3 2 答案:A 9.解析:由 sinC=2 3sinB,根据正弦定理,得 c=2 3b, 代入 a2-b2= 3bc,得 a2-b2=6b2,即 a2=7b2. 由余弦定理得 b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 6b2 3 cosA= = = 2= 2 , 2bc 2b· 2 3b 4 3b 又∵0° <A<180° ,∴A=30° . 答案:A a2+c2-b2 a2+?c+b??c-b? 10.解析:在△ABC 中,由余弦定理得 cosB= = , 2ac 2ac

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∵a= 3,b+c=4,∠B=30° ,∴

3+4?c-b? 3 = ,即 3+4(c-b)=3c,3+c=4b,结合 2 2 3c

13 b+c=4 解得 c= .∴选 A. 5 答案:A 二、填空题 11.解析:∵(a+b+c)(a+b-c)=ab, ∴(a+b)2-c2=ab, a2+b2-c2 1 ∴a2+b2-c2=-ab,∴cosC= =- . 2ab 2 2π 又∵0<C<π,∴C= . 3 2π 答案: 3 12.解析:由余弦定理知 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos120° ,即 49=25+BC2+5BC,解 1 1 3 15 3 得 BC=3.故 S△ABC= AB· BCsin120° = ×5×3× = . 2 2 2 4 15 3 答案: 4 BC AB 1 AB 2 13.解析:∵ = ,∴ = ,∴AB= sinC. sinA sinC π sinC 3 sin 3 又∵sinB=2sinC,∴sin(A+C)=2sinC, π 3 ? ∴sin? ?3+C?=2sinC,∴tanC= 3 , π 1 2 1 3 ∴C= ,∴sinC= ,∴AB= × = . 6 2 3 2 3 答案: 3 3

3 5 4 12 14. 解析: 因为 cosA= , cosB= , 所以 sinA= , sinB= , sinC=sin(A+B)=sinAcosB 5 13 5 13 4 5 3 12 56 +cosAsinB= × + × = , 5 13 5 13 65 56 3× 65 14 b c bsinC 由正弦定理 = ,得 c= = = . sinB sinC sinB 12 5 13 14 答案: 5 三、解答题 15.解析:(1)由已知及正弦定理得 sinA=sinBcosC+sinCsinB. 又 A=π-(B+C),故 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC. 由①②和 C∈(0,π)得 sinB=cosB, π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsinB= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 4 2 2 又 a +c ≥2ac,

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4 故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 因此△ABC 面积的最大值为 2+1. π 答案:(1) ;(2) 2+1. 4 16 . 解析: (1) 由已知得-cos(A + B) + cosAcosB - 3sinAcosB = 0 ,即有 sinAsinB- 3 sinAcosB=0, 因为 sinA≠0,所以 sinB- 3cosB=0, 又 cosB≠0,所以 tanB= 3, π 又 0<B<π,所以 B= . 3 2 (2)由余弦定理,有 b =a2+c2-2accosB. 1?2 1 1 因为 a+c=1,cosB= ,有 b2=3? ?a-2? +4. 2 1 1 又 0<a<1,于是有 ≤b2<1,即有 ≤b<1. 4 2 π 1 答案:(1) ;(2) ≤b<1. 3 2 开卷速查(27) 解三角形应用举例 一、选择题 1.解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120° ,在△ACB 中,由余弦定理得 AB2 1? 2 =AC2+BC2-2AC· BCcos120° =2a2-2a2×? ?-2?=3a ,∴AB= 3a. 答案:B

2. 15 解析:如图,由条件知 AB=24× =6,在△ABS 中,∠BAS=30° ,AB=6,∠ABS= 60 BS AB 180° -75° =105° ,所以∠ASB=45° .由正弦定理知 = , sin30° sin45° AB 所以 BS= sin30° =3 2. sin45° 答案:B 3. 解析: 设轮船 A、 B 航行到下午 2 时时所在的位臵分别是 E、 F, 则依题意有 CE=25×2 =50,CF=15×2=30,且∠ECF=120° , EF= CE2+CF2-2CE· CFcos120° 2 2 = 50 +30 -2×50×30cos120° =70. 答案:D 4. 解析: 如图所示, 由已知可知, 四边形 CBMD 为正方形, CB=20 m, 所以 BM=20 m. 又 在 Rt△AMD 中,

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DM=20 m,∠ADM=30° , 20 ∴AM=DMtan30° = 3(m). 3 20 3 ∴AB=AM+MB= 3+20=20?1+ ?(m). 3 3? ? 答案:A 5.

解析:如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 AD=80t, BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200-80t,问题就是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理,得 DE2=BD2+BE2-2BD· BEcos60° 2 2 =(200-80t) +2 500t -(200-80t)· 50t =12 900t2-42 000t+40 000. 70 当 t= 时,DE 最小. 43 答案:C 6.解析:如图,由题意可得,∠ACB=120° ,AC=2,AB=3.

设 BC=x,则由余弦定理可得 AB2=BC2+AC2-2BC· ACcos120° , 2 2 2 即 3 =2 +x -2×2xcos120° ,整理得 x2+2x=5, 解得 x= 6-1(负值舍掉). 答案:D 7.解析:设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,∠A=60° ,AC=h,AB 2 2 2 2 =100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h) =h +100 -2· h· 100· cos60° ,即 h +50h-5 000 =0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案:A 8. 解析: 因为∠ACE=2θ, 所以∠BAC=θ, AC=BC=30, 因为∠ADE=4θ, 所以∠CAD AC 30 =2θ,所以 AD=CD=10 3,在△ACD 中,2CD· cos2θ=AC,所以 cos2θ= = = 2CD 2×10 3 3 ,所以 2θ=30° ,所以 θ=15° . 2 答案:A

9. 解析:如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30° ,由余 2 2 2 2 弦定理得( 3) =x +3 -2x· 3· cos30° ,整理,得 x -3 3x+6=0,解得 x= 3或 2 3.

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答案:C

10. 解析:如图,易知,在△ABC 中,AB=20,∠CAB=30° ,∠ACB=45° ,根据正弦定理 BC AB 得 = , sin30° sin45° 解得 BC=10 2(海里). 答案:A 二、填空题 11.解析:如图所示,

依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,所以∠CAD=∠CDA=15° ,从而 CD=CA=10, 5 在直角三角形 ABC 中,得 AB=5,于是这艘船的速度是 =10(海里/小时). 0.5 答案:10

12. 解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO=45° ,∠AOB =75° , ∴∠OAB=60° . AO 20 20 6 由正弦定理知, = ,∴AO= (米). sin45° sin60° 3 20 6 答案: 3 15 13.解析:轴截面如图,则光源高度 h= =5 3(m). tan60°

答案:5 3 14.解析:由于物体做匀速直线运动,根据题意,PQ=QR,不妨设其长度为 1.在 Rt△ 2 OP POQ 中,OQ=sin∠OPQ,OP=cos∠OPQ,在△OPR 中,由正弦定理得 = , sin120° sin∠ORP 1 OQ OQ 3 在△ORP 中, = ,两式两边同时相除得 =tan∠OPQ= . sin30° sin∠ORQ OP 2 3 答案: 2 三、解答题 15.解析:(1)在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC=162+102 -2×16×10cosC,① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D,整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcosD=142+ 2 2 14 -2×14 cosC.②

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1 由①②得:142+142-2×142cosC=162+102-2×16×10×cosC,整理得 cosC= . 2 ∵∠C 为三角形的内角,∴C=60° , 又∠C=∠D,AD=BD, ∴ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 S△ABD= AD· BDsinD, 2 1 S△ABC= AC· BCsinC. 2 ∵AD· BD>AC· BC,且 sinD=sinC, ∴S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择小李的设计使建造费用最低. 答案:(1)14;(2)小李的设计建造费用最低,理由略. 12 16.解析:(1)在△ABC 中,因为 cosA= , 13 3 5 4 cosC= ,所以 sinA= ,sinC= . 5 13 5 从而 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC 5 3 12 4 63 = × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC 由正弦定理 = ,得 sinC sinB AC 1 260 4 AB= ×sinC= × =1 040(m). sinB 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离 12 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2 13 -70t+50), 1 040 35 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 130 37 BC AC (3)由正弦定理 = ,得 sinA sinB AC 1 260 5 BC= ×sinA= × =500(m). sinB 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ ,所以为 50 43 14 1 250 625? 使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在? ? 43 , 14 ?(单位: m/min)范围内. 1 250 625? 35 答案:(1)1 040 m;(2) (min);(3)应控制在? ? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围内. 37 开卷速查(28) 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1.解析:a+(-a)=0,故③错,其余等式均正确,故选 C.

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答案:C 2.解析:当 a,b,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当 a,b,c 为非零向量共 线时不能构成三角形. 答案:A → → → 3.解析:在△CEF 中,有EF=EC+CF,因为点 E 为 DC 的中点, → 1→ 所以EC= DC. 2 → 2→ 因为点 F 为 BC 的一个三等分点,所以CF= CB. 3 → 1 → 2 → 1→ 2 → 1→ 2 → 所以EF= DC+ CB= AB+ DA= AB- AD. 2 3 2 3 2 3 答案:D → → → → → → 4.解析:由OA+OB+CO=0 得OA+OB=OC,由 O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向 量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形,且∠CAO=60° ,故 A=30° . 答案:A → → → → 5.解析:∵PA+PB+PC=AB, → → → → → ∴PA+PB+PC=PB-PA, → → → ∴PC=-2PA=2AP, ∴P 是 AC 边的一个三等分点. 答案:D → → → → → → → → 6.解析:①式的等价式是AB-BC=DA-CD,左边=AB+CB,右边=DA+DC,不一 → → → → → → → → → 定相等;②式的等价式是AC-BC=AD-BD,AC+CB=AD+DB=AB成立;③式的等价式 → → → → → → 是AC-DC=AB+BD,AD=AD成立. 答案:C

7.解析: → → → → 如图,∵在正六边形 ABCDEF 中,CD=AF,BF=CE, → → → → → → ∴BA+CD+EF=BA+AF+EF → → → → =BF+EF=CE+EF → =CF. 答案:D → → → → → → 8.解析:∵CD=CA+AD,CD=CB+BD, → → → → → ∴2CD=CA+CB+AD+BD. → → 又∵AD=2DB, → → → 1→ ∴2CD=CA+CB+ AB 3 1 → → → → =CA+CB+ (CB-CA) 3 2→ 4→ = CA+ CB. 3 3 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,即 λ= . 3 3 3 答案:A

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x· y 1 9.解析:(特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面 BC 的直线,易得 = . x+y 3 答案:B 10.解析:设 AB 的中点为 D, → → → 由 5AM=AB+3AC, → → → → 得 3AM-3AC=2AD-2AM,

→ → 即 3CM=2MD,如图所示, → 3→ 故 C,M,D 三点共线,且MD= CD,也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 5 3 3 ,则△ABM 与△ABC 的面积比为 . 5 5 答案:C 二、填空题 → → → → → → 11. 解析: 由|AB+AC|=|AB-AC|可知, AB⊥AC, 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线, → 1→ 因此,|AM|= |BC|=2. 2 答案:2 → → → → → → → → 12.解析:∵OA+OC=OB+OD,∴OA-OB=OD-OC, → → ∴BA=CD.∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 → → → → → → 13.解析:由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB与CB不共线,可得 A,C,D 共线, 且 B 不在此直线上. 答案:④ 14.解析:因为 8a+kb 与 ka+2b 共线,所以存在实数 λ,使 8a+kb=λ(ka+2b),即(8 ? ?8-λk=0, -λk)a+(k-2λ)b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? 解得 k=± 4. ?k-2λ=0, ? 答案:± 4 三、解答题 → 1→ → 15.解析:(1)延长 AD 到 G,使AD= AG,连接 BG、CG,得到?ABGC,所以AG=a+ 2 b,

→ 1→ 1 AD= AG= (a+b), 2 2 2 1 → → AE= AD= (a+b), 3 3 → 1→ 1 AF= AC= b, 2 2 → → → 1 BE=AE-AB= (a+b)-a 3

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1 = (b-2a), 3 1 → → → 1 BF=AF-AB= b-a= (b-2a). 2 2 2 → → (2)由(1)可知,BE= BF,所以 B,E,F 三点共线. 3 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 答案:(1)AD= (a+b);AE= (a+b),AF= b,BE= (b-2a),BF= (b-2a);(2)证明 2 3 2 3 2 略. → → → 16.解析:(1)证明:由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2 → → → ∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD, 又∵AB 与 BD 有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. → → (2)由(1)可知BD=e1-4e2,且BF=3e1-ke2, → → ∵B,D,F 三点共线,得BF=λBD, 即 3e1-ke2=λe1-4λe2, ? ?λ=3, 得? 解得 k=12,∴k=12. ?-k=-4λ, ? 答案:(1)证明略;(2)k=12. 开卷速查(29) 平面向量基本定理及坐标运算 一、选择题 → → → → → → 1.解析:BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 答案:B 2.解析:由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b, 得 1×m=2×(-2)?m=-4,从而 b=(-2,-4), 那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 答案:C → → → → → → 3.解析:∵AC=-3CB,∴OC-OA=-3(OB-OC). 1→ 3→ 1 3 → ∴OC=- OA+ OB,即 c=- a+ b. 2 2 2 2 答案:A → → → → 4.解析:∵OC=(-2,1),BA=(2,-1),∴OC∥BA,又 A,B,C,O 不共线, ∴OC∥AB.①正确; → → → ∵AB+BC=AC,∴②错误; → → → ∵OA+OC=(0,2)=OB,∴③正确; → → → ∵OB-2OA=(-4,0),AC=(-4,0),∴④正确. 答案:C 3m-2 5.解析:由题意知向量 a,b 不共线,故 m≠ ,解得 m≠2. 2 答案:D 1 6.解析:由已知得 DE= EB, 3

又∵△DEF∽△BEA,

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1 ∴DF= AB. 3 1 2 即 DF= DC.∴CF= CD. 3 3 2 2 → → → → ∴CF= CD= (OD-OC) 3 3 2 1 1 ? b- a = ? 3?2 2 ? 1 1 = b- a. 3 3 1 1 2 1 → → → ∴AF=AC+CF=a+ b- a= a+ b. 3 3 3 3 答案:B 1 7.解析:可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4-3×2=0,∴λ= . 2 答案:B 1 1 2 8.解析:∵a∥b,∴(1-cosθ)(1+cosθ)= ,即 sin2θ= ,又∵θ 为锐角,∴sinθ= , 2 2 2 θ=45° . 答案:B 9.解析:m∥n?( 3b-c)cosA-acosC=0,再由正弦定理得 3sinBcosA=sinCcosA+ 3 cosCsinA? 3sinBcosA=sin(C+A)=sinB,即 cosA= . 3 答案:C 4 → → → → → → → → → 10.解析:依题意,设BO=λBC,其中 1<λ< ,则有AO=AB+BO=AB+λBC=AB+λ(AC 3 → → → -AB)=(1-λ) AB+λAC. → → → → → 又AO=xAB+(1-x) AC,且AB,AC不共线, 1 ? 于是有 x=1-λ∈? ?-3,0?, 1 ? 即 x 的取值范围是? ?-3,0?. 答案:D 二、填空题 x ? 11.解析:a-2b=? ?8-2x,2-2?,2a+b=(16+x,x+1), x ? (16+x),整理得 x2=16,又 x>0,所以 x=4. 由题意得(8-2x)· (x+1)=? ?2-2?· 答案:4 12.解析:P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中,b=(1+2n,-2+3n). ?-1+m=1+2n, ?m=-12, ? ? 则? 得? ?1+2m=-2+3n. ?n=-7. ? ? 此时 a=b=(-13,-23). 答案:{(-13,-23)} 13.解析:若点 A,B,C 能构成三角形, → → 则向量AB,AC不共线. → → → ∵AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), → → → AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), ∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1

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OC 1 → → 14.解析:∵AB=2DC,∴△DOC∽△BOA,且 = , OA 2 1 2 2 2 2 1 → → → → a+ b?= a+ b. ∴AO= AC= (AD+DC)= ? 3 3 3? 2 ? 3 3 2 1 答案: a+ b 3 3 三、解答题 → → 15.解析:(1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1), → → ∵A,B,C 三点共线,∴AB∥AC. ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → → (2)∵AC=2AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2). ?a-1=4, ?a=5, ? ? ∴? 解得? ? ? ?b-1=-4, ?b=-3. ∴点 C 的坐标为(5,-3). 答案:(1)a+b=2;(2)C(5,-3). 16.解析:(1)∵a=(1,0),b=(2,1),∴a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), ∵ka-b 与 a+3b 平行, 1 ∴3(k-2)+7=0,即 k=- 3 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=? ?-3,-1?, a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 1 答案:(1) 58;(2)k=- ,反向. 3 开卷速查(30) 平面向量的数量积及应用 一、选择题 1.解析:依题意得,-(x+1)-2×1=0,得 x=-3,故 a+b=(-2,2)+(1,-1)=(- 1,1),所以|a+b|= ?-1?2+12= 2. 答案:C → → → → 2.解析:AB· BC=|AB|· |BC|· cos(π-∠ABC)=2×2×cos120° =-2,故选 D. 答案:D → → → → → 3.解析:n· BC=n· (BA+AC)=n· BA+n· AC=(1,-1)· (-1,-1)+2=0+2=2. 答案:B → → 4.解析:∵AB· BC=1,且 AB=2, 1 → → → ∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|BC|cos B=- . 2 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB, 1? 即 9=4+BC2-2×2×? ?-2?. ∴BC= 3. 答案:A 5.解析:将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a· b=0; 2 3 1 将|a-b|= |a|两边同时平方得 b2= a2, 3 3

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?a+b?· ?a-b? a2-b2 1 所以 cosθ= = = . 4 2 2 |a+b|· |a-b| a 3 答案:B

6. 解析:建系如图. → 设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC),BC=(xC-xB,yC), → BD=(-xB,1), → → ∵BC= 3 BD, → → → → ∴xC-xB=- 3xB?xC=(1- 3)· xB,yC= 3,AC=((1- 3)xB, 3),AD=(0,1),AC· AD = 3. 答案:D 7. 解析: ∵|a+b|=|a|-|b|∴(a+b)2=(|a|-|b|)2, 即 a2+2a· b+b2=|a|2-2|a||b|+|b|2, ∴a· b =-|a||b|.∵a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 ,∴cos〈a,b〉=-1,∴〈a,b〉=π,此时 a 与 b 反向 共线,因此 A 错误.当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不共线,因此 B 错误.若|a+b|=|a|-|b|, 则存在实数 λ=-1,使 b=-a,满足 a 与 b 反向共线,故 C 正确.若存在实数 λ,使得 b= λa,则|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只有当-1≤λ≤0 时,|a+b| =|a|-|b|才能成立,否则不能成立,故 D 错误. 答案:C 8.解析:由已知条件可以知道,△ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处,因此 π π π → → △ABC 是直角三角形,且∠A= .又|OA|=|CA|,所以∠C= ,∠B= ,AB= 3,AC=1,故 2 3 6 π 3 → → → BA在BC上的射影|BA|cos = . 6 2 答案:A → → ? AB AC ? → → → + 9.解析:∵非零向量AB与AC满足? · BC=0,∴∠BAC 的平分线垂直于 BC, → →? ?|AB| |AC|? ∴AB=AC. → → AB AC 1 π 又∵cos∠BAC= · = ,∴∠BAC= . 3 → → 2 |AB| |AC| ∴△ABC 为等边三角形. 答案:A 1 → → 2 1 → → 1 → → → 10.解析:∵G 是△ABC 的重心,∴AG= × (AB+AC)= (AB+AC),∴AG2= (AB2 3 2 3 9 1 →2 →2 →2 → → →2 →2 → 2 →2 → → → → + AC + 2 AB · AC ) = ( AB + AC - 4) .又∵ AB + AC = | AB | + | AC | ≥2| AB |· | AC | , | AB |· | AC 9 → → → → → → |· cos120° =-2,|AB|· |AC|=4,∴|AB|2+|AC|2≥8,当且仅当|AB|=|AC|时取等号. 4 → 1 → 2 ∴AG2≥ (8-4)= ,∴|AG|≥ ,故选 C. 9 9 3 答案:C 二、填空题 11.解析:设向量 a,b 的夹角为 θ.由(a+b)⊥a 得(a+b)· a=0,即|a|2+a· b=0,∵|a|=2, ∴a· b=-4,∴|a|· |b|· cosθ=-4, 1 2π 又|b|=4,∴cosθ=- ,即 θ= . 2 3

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2π ∴向量 a,b 的夹角为 . 3 2π 答案: 3 12.解析:∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, 2 ∴a· b=|a|· |b|· cos45° = |b|, 2 2 ∴|2a-b|2=4-4× |b|+|b|2=10. 2 ∴|b|=3 2. 答案:3 2

13. → → 解析:∵CM=MD,∴M 为 CD 的中点, → → 1 → → 1→ ∴AM=AD+ DC=AD+ AB. 2 2 → → → → → → 1→ → ∵ND=2BN,∴N 为 BD 的一个三等分点,靠近 B 点,∴AN=AB+BN=AB+ BD=AB 3 1 → → 1 → 2→ + (AD-AB)= AD+ AB. 3 3 3 13 → → ? → 1 → ? ?1 → 2 → ? 1 → 2 1 → 2 5 → → 1 1 5 ∴AM· AN=?AD+2AB?· AD= + + ×cos60° = . ?3AD+3AB?=3AD +3AB +6AB· 3 3 6 12 13 答案: 12 → → 14.解析:∵AB· AC<0,∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC= |a||b|sin∠BAC= . 2 4 1 ∴sin∠BAC= ,∴∠BAC=150° . 2 答案:150° 三、解答题 15.解析:(1)证明:由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 2 2 2 又∵a =b =|a| =|b|2=1, ∴2-2a· b=2,即 a· b=0.故 a⊥b. (2)∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1), ?cosα+cosβ=0, ? ∴? ?sinα+sinβ=1, ? 由此得 cosα=cos(π-β). 由 0<β<π, 得 0<π-β<π, 又 0<α<π, 故 α=π-β.代入 sinα 1 5π π +sinβ=1,得 sinα=sinβ= ,而 α>β,∴α= ,β= . 2 6 6 5π π 答案:(1)证明略;(2)α= ,β= . 6 6 1? 16.解析:f(x)=? ( 3sinx,cos2x) ?cosx,-2?· 1 = 3cosxsinx- cos2x 2 3 1 = sin2x- cos2x 2 2

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π π =cos sin2x-sin cos2x 6 6 π ? =sin? ?2x-6?. 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= = =π, ω 2 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的性质, π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π π 5π π 1 ? 当 2x- = ,即 x= 时,f? ?2?=2, 6 6 2 1 ∴f(x)的最小值为- . 2 π 1 ? 因此,f(x)在? ?0,2?上的最大值是 1,最小值是-2. 1 答案:(1)π;(2)最大值为 1,最小值为- . 2 开卷速查(31) 复 数 一、选择题 1.解析:∵z=1+i,∴ z =1-i,∴z2+ z 2=(z+ z )2-2z z =4-4=0,∴z2+ z 的虚部为 0. 答案:A 10i?3-i? 10?1+3i? 10i 2.解析:由 = = =1+3i 得,该复数对应的点为(1,3). 10 3+i ?3+i??3-i? 答案:A 3. 解析: 因为复数(a+i)2=(a2-1)+2ai, 所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2-1,2a), ?a2-1=0, ? 又因为该点在 y 轴负半轴上,所以有? 解得 a=-1. ? ?2a<0, 答案:B ?1+2i??2+i? 2+4i+i+2i2 5i 5 4.解析: = = =- . 2 ?1-i?2 -2i -2i 答案:B 2+i -2i2+i i?1-2i? 1 1 5.解析:由已知得 z= = = =i,|z|+ =|i|+ =1-i. z i 1-2i 1-2i 1-2i 答案:B 1 3? z z· z z2 3 1 3 1 3 - + i=- + i=- z ,故选 D. 6.解析: = = 2=? + i?2=? 4 4 ? ? | z | 2 2 2 2 2 ? ? z z· z 答案:D 7.解析:由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集, ∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 答案:B 2 2 ? ? ? ?x -y =-3, ?x=1, ?x=-1, 2 ? 8.解析:设(x+yi) =-3+4i(x,y∈R),则 解得? 或? ?xy=2, ?y=2, ?y=-2. ? ? ? 答案:B
2

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9.解析:∵z=(1+i)· i3=(1+i)· (-i)=1-i,∴复数 z 的共轭复数是 z =1+i,故选 D. 答案:D 10.解析:z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,若其对应的点在第四象限,则 a+2>0, 1 1 且 1-2a<0,解得 a> .即“a> \”是“点 M 在第四象限\”的充要条件. 2 2 答案:C 二、填空题 11.解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3), → 故|AB|= ?-1-1?2+?3-1?2=2 2. 答案:2 2 12.解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则有 a2+b2=5. 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. ?3a-4b=0 ? 3 由题设得? 得 b= a 代入得 4 ?4a+3b≠0 ?
? ? ?a=4, ?a=-4, 3 ?2 ? ? a =25,a=± a2+? 4 ,∴ 或 ?4 ? ?b=3 ? ? ?b=-3.

∴ z =4-3i 或 z =-4+3i. 答案:± (4-3i) 13.解析:(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R. 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 答案:4+2i

14. 解析:|z-2|= ?x-2?2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3. y? 3 由图可知? ?x?max= 1 = 3. 答案: 3 三、解答题 → 15.解析:∵AB=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1). → CD=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3), ∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i, ∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i, ? ? ?a-4=1, ?a=5, 又 z1+z2=1+i,∴? ∴? ?b-4=1, ?b=5. ? ? ∴z1=4-i,z2=-3+2i, 1+i 1-i 1+i 1-i ?1+i??4+i? ?1-i??-3-2i? 3+5i -5+i 46 ∴ + = + = + = + =- + 2 2 2 2 z1 z2 17 13 221 4-i -3+2i 4 +1 ?-3? +2 82 i. 221 (2)由(1)得 z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∵z1+z2 为纯虚数,z1-z2 为实数,

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答案与导解

a-4=0, ? ? ?a=4, ? ∴?b-4≠0, ∴? ? ?b=2. ? ?2-b=0, 46 82 答案:(1)- + i;(2)a=4,b=2. 221 221 16.解析:(1)设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), a b 1 ω=a+bi+ =?a+a2+b2?+?b-a2+b2?i, ? ? ? a+bi ? b ∵ω 是实数,∴b- 2 =0. a +b2 又 b≠0,∴a2+b2=1.∴|z|=1,ω=2a. 1 ∵-1<ω<2,∴- <a<1, 2 1 - ,1?. 即 z 的实部的取值范围是? ? 2 ? 1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = =- i. 1+z 1+a+bi ?1+a?2+b2 a+1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 为纯虚数. 2 1 ? 答案:(1)|z|=1,z 的实部的取值范围是? ?-2,1?;(2)证明略. 开卷速查(32) 数列的概念与简单表示法 一、选择题 1.解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进 2n + 行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式,an=(-1)n 1· ,故 a10 2n+1 20 =- . 21 答案:C 2.解析:观察数列可知,后一项是前两项的和,故 x=5+8=13. 答案:C 3.解析:方法一:由已知整理,得(n+1)an=nan+1, an+1 an ?an? an a1 ∴ = .∴数列? n ?是常数列,且 = =1. n 1 ? ? n+1 n ∴an=n. an n 方法二(累乘法):n≥2 时, = , an-1 n-1 an-1 n-1 = , an-2 n-2 ? a3 3 = , a2 2 a2 2 = , a1 1 an 以上各式两边分别相乘,得 =n. a1 又∵a1=1,∴an=n. 答案:D 4.解析:∵an+1>an, ∴(n+1)2+k(n+1)+2>n2+kn+2,

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答案与导解

即 k>-(2n+1)对于 n∈N*都成立. 而-(2n+1)当 n=1 时取到最大值-3,所以 k>-3. 答案:D 1 1 5.解析:由已知,得 a1=1,a2=2,a3=2,a4=1,a5= ,a6= ,a7=1,a8=2,a9 2 2 1 1 1 =2,a10=1,a11= ,a12= ,即 an 的值以 6 为周期重复出现,故 a17= . 2 2 2 答案:C ?n+6??n-1? 6. 解析: 因为 an-an-1=n+2(n≥2), 所以 an=5+ , 所以 a2 012-5= 1009×2 2 011. 答案:D 7.解析:当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, ∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1, 即 an+2=4an+1, ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列. ? ?1?n=1?, 又 a2=3S1=3a1=3,∴an=? n-2 ?3×4 ?n≥2?. ? - ∴当 n=6 时,a6=3×46 2=3×44. 答案:A 1+a1 1-3 1 8.解析:a1=2,a2= =-3,a3= =- , 2 1-a1 1+3 1 1 1- 1+ 2 1 3 a4= = ,a5= =2,?, 1 3 1 1+ 1- 2 3 故 4 是数列{an}的周期,a1· a2· a3· ?· a2 013 503 =(a1a2a3a4) · a2 013=(a1a2a3a4)· a1=2. 答案:C an+2 + 9.解析:因为 an+1an=2n,所以 an+1an+2=2n 1,两式相除得 =2.又 a1a2=2,a1=1, an a10 a8 a6 a4 所以 a2=2,则 · · · =24,即 a10=25. a8 a6 a4 a2 答案:B 10.解析:方法一:由 n(an+1-an)=an 得 nan+1=(n+1)an, 4 可得 3a4=4a3,已知 a3=π,则 a4= π. 3 2 又由 2a3=3a2,得 a2= π, 3 π 10 10 由 a2=2a1,得 a1= ,故 S4=a1+a2+a3+a4= π,tanS4=tan π= 3. 3 3 3 方法二:∵由 n(an+1-an)=an, an+1 an 得 nan+1=(n+1)an 即 = , n+1 n an an-1 an-2 a3 π ∴ = = =?= = . n n-1 n-2 3 3 π π 10 10 ∴an= n,∴S4=a1+a2+a3+a4= (1+2+3+4)= π,tanS4=tan π= 3. 3 3 3 3 答案:B 二、填空题 + + 11.解析:由已知条件可得 Sn+1=2n 1,∴Sn=2n 1-1.

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当 n=1 时,a1=S1=3; + 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1-1-2n+1=2n. ? ?3 ?n=1?, ∵n=1 时不适合 an,∴an=? n ?2 ?n≥2?. ?
?3 ?n=1?, ? 答案:? n ? ?n≥2? ?2 12.解析:∵an+1-an=2n-1, ∴a2-a1=1,a3-a2=3,?,an-an-1=2n-3,n≥2. ∴an-a1=1+3+5+?+(2n-3). ?n-1??2n-2? 2 ∴an=20+ =n -2n+21. 2 答案:n2-2n+21 13.解析:由题意知 2?k ?2?k-1 k?k+4?? ?3? ≥?k-1??k+3??3? ,

? ? 2? ?2? ?k?k+4?? ?3? ≥?k+1??k+5??3?
k

k+1



解得 10≤k≤1+ 10.∵k∈N*,∴k=4. 答案:4 2 1 14.解析:当 n=1 时,a1= a1- ,∴a1=-1. 3 3 当 n≥2 时, 1 2 1 2 an-1- ? an=Sn-Sn-1= an- -? 3 3 ? 3 3 ? 2 2 = an- an-1, 3 3 an ∴ =-2, an-1 ∴数列{an}是首项为-1,公比为-2 的等比数列, 2 1 - - ∴an=-(-2)n 1,Sn=- ×(-2)n 1- . 3 3 2 1 - - 由 1<- ×(-2)k 1- <9,得-14<(-2)k 1<-2, 3 3 又 k∈N*,∴k=4. 答案:-1 4 三、解答题 15.解

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