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几何概型的常见题型


几 何 概 型 的 常 见 题 型
1.与长度有关的几何概型
例 1.在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos A.

?x

1 3

B.

2

?

C.

1 2

2 2 D.

3

的值介于 0 到

1 之间的概率为( 2

).

分析: 在区间 [ ?1,1] 上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间 [ ?1,1] 的任意一 个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的 概率只与自变量 x 的取值范围的区间长度有关,符合几何概型的条件. 解:在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x ,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos 需使 ?

?
2

2 3 3 2 2 2 2 2 ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 , 3 3 3 ?x 1 由几何概型知使 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2

?

?x

??

?



?

?

?x

?

?

?x 1 的值介于 0 到 之间, 2 2

2 符合条件的区间长度 1 P? ? 3 ? . 故选 A. 所有结果构成的区间长 度 2 3

2.与面积有关的几何概型
例 2.(2009 辽宁卷·文) ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1 , O 为 AB 的中点,在长方 形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A. )

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多 个,所以符合几何概型. 解:长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到 O 的距离大于 1 的面积为 2 ? 则取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为

?
2

? 2
C



D A

O

B

取到的点到O的距离大于 1的面积 P( A) ? ? 长方形ABCD的面积
.

2? 2

?
2 ? 1?

?
4

图1

1

故选 B.

3.与角度有关的几何概型
例 3.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心为起点做射线 OC ,求使得 ?AOC 和 ?BOC 都不 小于 30°的概率? 分析: 此题关键是搞清过 O 作射线 OC 可以在扇形的任意位置, 而且是等 可能的,因此基本事件的发生是等可能的. 解:记事件 A 是“做射线 OC ,使得 ?AOC 和 ?BOC 都不小于 30°”,

B M

O C N
A

图2

?AON ? ?BOM ? ?MON ? 300 ,则符合条件的射线 OC 应落在扇形 MON 中,
所以 P( A) ?

?MON的度数 300 1 ? ? . ?AOB的度数 900 3

4.与体积有关的几何概型
例 4.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大? 分析: 病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的, 取得的 1 升水可以看作构成事件的区域, 5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可以用体积比公式计算其概率. 解:“取出 1 升水,其中含有病毒”这一事件记作事件 A, 则 P( A) ?

取出的水的体积 1 . ? ? 0.2. 所有水的体积 5

从而所求的概率为 0.2.

5.与线性规划有关的几何概型
例 5.小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家在 下午 6: 00~7: 00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的 概率是多少? 分析:该题题意明确,但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由 于晚报送到和晚饭开始都是随机的, 设晚报送 到和晚饭开始的时间分别为 x、 y ,然后把这 两个变量所满足的条件写成集合的形式, 把问 题转化为线性规划问题进行求解. 解:设晚报送到和晚饭开始的时间分别为

x、 y .用 (x,y) 表示每次试验的结果,则所
2

有可能结果为: ? ? ( x, y) 5 : 30 ? x ? 6 : 30,6 ? y ? 7 , 即为图 3 中正方形 ABCD 的面积;记晚报在晚餐开始之前被送到为事件 A ,则事件 A 的结 果 为 : A ? ( x, y) 5 : 30 ? x ? 6 : 30,6 ? y ? 7, x ? y , 即 为 图 2 中 阴 影 部 分 区 域 .

?

?

?

?

1 1 1 7 S ABCD ? 1?1 ? 1, S阴影 ? 1 ? ? ? ? . 2 2 2 8
所以所求概率为: P ?

S阴影 S ABCD

7 7 ? 8 ? . 1 8
7 . 8

故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是

反思:此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系,其求解的步骤为: (1)找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x , y ; (2) 集合表示.用 ( x, y ) 表示每次试验结果, 则可用相应的集合分别表示出全部结果 ? 和事 件 A 所包含的试验结果.一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出,并求出集合 ?, A 对应的区域的面积. (4)计算求解.由几何概型公式求出概率.

3


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