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江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷


2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试

2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.若复数 (a ? 2) ? i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a = 2.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ▲ . ▲ .

B ? {1, 2,3, 4} ,则 A B ?

3.某高中共有 1200 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样 的方法从中抽取 48 人,那么高二年级被抽取的人数为 ▲ .

x2 y 2 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 4.已知双曲线 x ,则 m ? 4 m 2
5.执行右边的伪代码后,输出的结果是 ▲ . ▲





i ?1 x?4

While

i <10

x ? x ? 2i i ?i?3
. End While Print x 第 5 题图

6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 12π ,则该圆柱的高为

7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆中投掷一点,若此 点到圆心的距离大于

1 1 ,则周末看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则周末 2 4
▲ ▲ . .

打篮球;否则就在家看书.那么小明周末在家看书的概率是 8.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? 9.已知函数 y ? ▲

x2 ? 2x ? a 的定义域为 R ,值域为 [0,??) ,则实数 a 的取值集合为


?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 3 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?
11.设函数 f ( x) ? 3 sin( πx ?





π π ) 和 g ( x) ? sin( ? πx) 的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 3 6
▲ .

轴的交点分别为 M 、 N ,已知 O 为原点,则 OM ? ON ?
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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 12.若斜率互为相反数且相交于点 P(1,1) 的两条直线被圆 O : x2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长之

比为

6 ,则这两条直线的斜率之积为 2





13. 若函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 . 14. 在 ?ABC 中, D 为边 AC 上一点, AB ? AD ? 4, AC ? 6 ,若 ?ABC 的外心恰在线段 ▲

BD 上,则 BC ?





二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a ? (? ,

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 0 ? ? ? π . 2 2

(1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值. 16.(本题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在平面互相垂直, AE ? BE ,点 M , N 分别是 AE, CD 的中点. (1)求证: MN ∥平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 ADE .
A D E

M B N C

17.(本题满分 14 分) 如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公 路 m .在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市
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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 决定以 A 为圆心, 1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l 、 m ,欲再新建一 条公路 PQ ,点 P 、 Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与圆 A 相切. (1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长;


Q
(2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长.

A l m
18.(本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

O

P



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,与 x 轴 a 2 b2

平行的直线与椭圆 E 交于 B 、C 两点,过 B 、C 两点且分别与直线 AB 、 AC 垂直的直线 相交于点 D .已知椭圆 E 的离心率为

5 4 5 ,右焦点到右准线的距离为 . 3 5

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求 ?BCD 面积的最大值.

y D O x

A B C

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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 19.( (本题满分 16 分) 已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列,且满足 a1b1 ? a2b2 ?

?

?

?

? an bn ? cn Sn ,

n ? N? ,其中 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, ?cn ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列.
(1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ) , bn ? c 2 , n ?) N ,求证:对任意 nk ? (n ? 的 n ? 2, n ? N? ,数列 {
?

?

?

?

?

bn } 单调递减. an

20.(本题满分 16 分)
x 己知 f ( x) ? e ? a ln x ? a ,其中常数 a ? 0 .

(1)当 a ? e 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: (3)求证: e
2 x ?2

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? a ; a

? ex?1 ln x ? x ? 0 .

2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学试题(附加题)
21.( [选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前
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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 两题记分. A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲) 如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,CA 是过圆心的割线且交圆 O 于 B 点,过 B 作 的切线交 CD 于点 E , DE ?

O

1 EC . 2
D E C

求证: (1) CA ? 3CB ; (2) CA ? 3CD .

A

O

B

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?

? 0 1? ?0 2 ? ,矩阵 B ? ? ? ? ,直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的变 ? a 0? ?b 0 ?

换得到直线 l 2 ,直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)求直线 l 2 的方程.

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若直线 l 的极

?? ? 坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? 3 2 . 4? ?
(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值. 16 9

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲)
2 已知不等式 a ? b ? 2c ?| x ?1| 对于满足条件 a ? b ? c ? 1 的任意实数 a, b, c 恒成立 ,
2 2 2

求实数 x 的取值范围.
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[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了 5 名幸运之星.这 5 名幸运之星可获得 A 、 B 两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪 一种奖品,抛掷点数小于 3 的获得 A 奖品,抛掷点数不小于 3 的获得 B 奖品. (1)求这 5 名幸运之星中获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数的概率; (2)设 X 、 Y 分别为获得 A 、 B 两种奖品的人数,并记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分 布列及数学期望.

23.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? ( x ? x ? 1) ( n ? N ) , g ( x) 是关于 x 的 2 n 次多项式;
2 n
?

(1) 若 f ( x ) g ( x) ? g ( x ) 恒成立, 求 g (1) 和 g (?1) 的值; 并写出一个满足条件的 g ( x) 的
2 3

表达式,无需证明. (2)求证:对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ?

? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn .

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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学参考答案
一、填空题 1. 2 ; 6.3 ; 11. ? ; 二、解答题
1 3 15. 解:(1) 因为 a / / b ,所以 ? ? 2sin ? ? ? 2cos ? ,即 ? sin ? ? 3 cos? , 2 2
8 9

2. {4} ; 7.
3 ; 16

3. 16 ; 8.64 ;

4. 2 ; 9.{1} ;

5. 28 ; 10.[1, 7] ; 14. 2 10 .

12. ?9 或 ?

1 ; 9

13. (??, 2] [5, ??) ;

所以 tan ? ? ? 3 , 又 0 ? ? ? π ,所以 ? ? π . 分 (2)因为 a ? b ? b ,所以 (a ? b)2 ? b2 ,化简得 a 2 ? 2a ? b ? 0 ,

2 3

……………7

1 3 又 a ? (? , ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) ,则 a 2 ? 1 , a ? b ? ? cos? ? 3sin ? , 2 2

所以 3 sin ? ? cos ? ? ? 分

1 π 1 ,则 sin(? ? ) ? ? ? 0 , 2 6 4

……………10

π 15 又 0 ? ? ? π , cos(? ? ) ? , 6 4

所以 sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6

π 15 ? 3 ? . 6 8

………
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……14 分 16. 证: (1)取 BE 中点 F ,连接 CF , MF , 又 M 是 AE 中点,则 MF / / AB, MF ? 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 中点, 所以 MF / / NC, MF ? NC ,则四边形 MNCF 是平行四边形, 所以 MN / / CF ,又 MN ? 面 BCE , CF ? 面 BCE ,所以 MN ∥平面 BCE .… 7分 (2)因为平面 ABCD ? 平面 ABE , BC ? AB ,所以 BC ? 平面 ABE , 因为 AE ? 平面 ABE ,所以 BC ? AE , 又 AE ? BE , BC ? BE ? B ,所以 AE ? 平面 BCE , 而
AE ?

1 AB , 2





ADE











BCE ?





ADE .

……………14 分

17. 解:以 O 为原点,直线 l 、 m 分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系. 设 PQ 与圆 A 相切于点 B ,连结 AB ,以 1 百米为单位长度, 则圆 A 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,
x y (1) 由 题 意 可 设 直 线 PQ 的 方 程 为 ? ? 1 , 即 2 q
qx ? 2 y ? 2q ? 0 , (q ? 2) ,
l m B A


Q

O

P



∵ PQ 与圆 A 相切,∴

2 ? 2q q 2 ? 22

? 1 ,解得 q ?

8 , 3

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故 当 米.

P



O



2

百 米 时 , ……………5 分

OQ

的 长 为

8 3



(2)设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? py ? pq ? 0 , ( p ? 1, q ? 2) , p q
p ? pq q2 ? p2 ? 1 , 化 简 得 p2 ?

∵ PQ 与 圆 A 相 切 , ∴
q ? q2 , q?2

q , 则 q?2

PQ 2 ? p 2 ? q 2 ?

… …8 分
q 2 2(q ? 1)(q 2 ? 3q ? 1) 2 (q ? 2) , ? q (q ? 2) ,∴ f ?(q) ? 2q ? 令 f (q) ? ? q?2 (q ? 2)2 (q ? 2)2

当2? q ?

3? 5 3? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f (q ) 在 (2, ) 上单调递减; 2 2

当q ?

3? 5 3? 5 , ??) 上单调递增, 时, f ?(q) ? 0 ,即 f (q ) 在 ( 2 2 3? 5 3? 5 OQ 的长为 时取得最小值, 故当公路 PQ 长最短时, 2 2

∴ f (q) 在 q ? 百米.

8 答: (1)当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为 百米; (2)当公路 PQ 长最短时, 3

OQ 的

长 米.



3? 5 2

百 ……………14 分

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18. 解: (1)由题意得

c 5 a2 4 5 , ?c ? , ? a 3 c 5
x2 y 2 ? ? 1. 9 4

解得 a ? 3, c ? 5 , 所以 b ? a2 ? c2 ? 4 , 所以椭圆 E 的标准方程为

… …………4 分 (2)设 B( x0 , y0 ), C(? x0 , y0 ) ,显然直线 AB, AC, BD, CD 的斜率都存在,设为
k1 , k2 , k3 , k4 ,则 k1 ?
y0 y0 x ?3 x ?3 , k3 ? ? 0 , , k2 ? , k4 ? 0 x0 ? 3 ? x0 ? 3 y0 y0 x0 ? 3 x ?3 ( x ? x0 ) ? y0 , y ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 , y0 y0

所以直线 BD, CD 的方程为: y ? ?

消去 y 得 ? 故 动. 点

x0 ? 3 x ?3 ( x ? x0 ) ? y0 ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 ,化简得 x ? 3 , y0 y0
D







线

x?3





……………10 分
x0 ? 3 x2 ? 9 (3 ? x0 ) ? y0 ? 0 ? y0 , y0 y0

(3)由(2)得点 D 的纵坐标为 yD ?
2 x0 y2 ? 0 ?1 9 4









2 x0 ?9 ? ?

2 9 y0 4





yD ?

x0 ? 3 (3 ? x0 ) ? y0 ? y0

?

9 2 y0 4 ? y ??5 y , 0 0 y0 4

5 9 所以点 D 到直线 BC 的距离 h 为 yD ? y0 ? ? y0 ? y0 ? y0 , 4 4

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将 y ? y0 代入

y2 x2 y 2 ? ? 1 得 x ? ?3 1 ? 0 , 9 4 4

y2 9 1 1 所以 ?BCD 面积 S?ABC ? BC ? h ? ? 6 1 ? 0 ? y0 2 2 4 4
y 1 27 27 1? ? y0 ? ? 2 4 2 2
2 0

?

1?

2 y0 y2 ? 0 y2 y2 4 4 ? 27 , 当且仅当 1 ? 0 ? 0 , 即 y0 ? ? 2 时 2 4 4 4

等 号 成 立 , 故 y0 ? ? 2 时 , ?BCD 面 积 的 最 大 值 为
27 . 4

……………16 分

19.解: (1)因为 d ? 2 , c2 ? 3 ,所以 cn ? 2n ? 1, 因为数列 ?an ? 是各项不为零的常数列,所以 a1 ? a2 ? 则由 Sncn ? a1b1 ? a2b2 ?
? an , Sn ? na1 , ? bn ,

? anbn 及 cn ? 2n ? 1得 n(2n ?1) ? b1 ? b2 ?

当 n ? 2 时, (n ?1)(2n ? 3) ? b1 ? b2 ?

? bn?1 ,两式相减得 bn ? 4n ? 3 ,

当 n ? 1 时,b1 ? 1 ,也满足 bn ? 4n ? 3 ,故 bn ? 4n ? 3(n ? N? ) . 分 (2)因为 a1b1 ? a2b2 ?
? anbn ? cn Sn ,

…………4

当 n ? 2 时, Sn?1cn?1 ? a1b1 ? a2b2 ?

? an?1bn?1 ,两式相减得 Sncn ? Sn?1cn?1 ? anbn ,

即 (Sn?1 ? an )cn ? Sn?1cn?1 ? anbn , 即 Sn?1d ? ?ncn ? ?nbn , Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn , 又 Sn ?1 ? 即

? ? ? (n ? 1)
2

(n ? 1) ?

? n(n ? 1)
2

,所以

? n(n ? 1)
2

d ? ? ncn ? ? nbn ,

(n ? 1) d ? cn ? bn , 2 (n ? 2) 3 d ? cn ?1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? d (n ? 3) , 所以当 n ? 3 时, 2 2

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所以数列 ?bn ? 从第二项起是公差为 d 等差数列; 又当 n ? 1 时,由 S1c1 ? a1b1 得 c1 ? b1 , 当 n ? 2 时,由 b2 ? 故 列. 数 列
(2 ? 1) 1 3 3 d ? c2 ? d ? (c1 ? d ) ? b1 ? d 得 b2 ? b1 ? d , 2 2 2 2 3 ?bn? 是 公 差 为 2 d 等 差

3 2



…………15 分

(3)由(2)得当 n ? 2 时, Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? an (bn ? cn ) , 因 为 bn ? cn?k , 所 以 bn ? cn ? kd , 即 bn ? cn ? kd , 所 以 Sn?1d ? an ? kd , 即
Sn?1 ? kan ,

所以 Sn ? Sn?1 ? an ? (k ? 1)an , 当 n ? 3 时, Sn?1 ? (k ? 1)an?1 ,两式相减得 an ? (k ? 1)an ? (k ?1)an?1 ,
k ?1 an ?1 ,故从第二项起数列 ?an ? 是等比数列, k k ? 1 n?2 ) , 所以当 n ? 2 时, an ? a2 ( k

即 an ?

bn ? cn?k ? cn ? kd ? c1 ? (n ?1)k ? k 2 ? k ? (n ?1)k ? k 2 ? k (n ? k ) ,

另外由已知条件得 (a1 ? a2 )c2 ? a1b1 ? a2b2 ,又 c2 ? 2k , b1 ? k , b2 ? k (2 ? k ) , 所以 a2 ? 1 ,因而 an ? (
k ? 1 n?2 b d b a (n ? k ? 1)k ) ,令 dn ? n ,则 n?1 ? n?1 n ? , k dn an ?1bn (n ? k )(k ? 1) an

因 为 (n ? k ? 1)k ? (n ? k )(k ? 1) ? ?n ? 0 , 所 以

d n?1 ?1 , 所 以 对 任 意 的 dn

n ? 2, n ? N?







b { n} an







减.
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……………16 分

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20. 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,
e (1)当 a ? e 时, f ( x) ? ex ? eln x ? e , f ?( x) ? e x ? , x e 而 f ?( x) ? e x ? 在 (0, ??) 上单调递增,又 f ?(1) ? 0 , x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,则 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,所以 f ( x) 有极小 值 值.
f (1) ? 0







极 …………3 分



(2)先证明:当 f ( x) ? 0 恒成立时,有 0 ? a ? e 成立.
1 若 0 ? x ? ,则 f ( x) ? ex ? a(ln x ? 1) ? 0 显然成立; e 1 ex ex 若 x ? ,由 f ( x) ? 0 得 a ? ,令 ? ( x) ? ,则 ? ?( x) ? e ln x ? 1 ln x ? 1

1 e x (ln x ? 1 ? ) x , (ln x ? 1) 2

1 1 1 1 令 g ( x) ? ln x ? 1 ? ( x ? ) ,由 g ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 得 g ( x) 在 ( , ??) 上单调递增, x e x e 1 1 又因为 g (1) ? 0 , 所以 ? ?( x) 在 ( ,1) 上为负, 在 (1, ??) 上为正, 因此 ? ( x) 在 ( ,1) e e

上递减,在 (1, ??) 上递增,所以 ? ( x)min ? ? (1) ? e ,从而 0 ? a ? e . 因而函数 y ? f ( x) 若有两个零点,则 a ? e ,所以 f (1) ? e ? a ? 0 , 由 f (a) ? ea ? a ln a ? a(a ? e)得 f ?(a) ? ea ? ln a ? 2 ,则
f ??(a) ? ea ? 1 1 1 ? ea ? ? e ? ? 0 , a e e

所 以

f ?(a) ? ea ? ln a ? 2



(e, ??)

上 单 调 递 增 , 所 以

f ?(a) ? f ?(e) ? ee ? 3 ? e2 ? 3 ? 0 ,

所以 f (a) ? ea ? a ln a ? a 在 (e, ??) 上单调递增,所以
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f (a) ? f (e) ? ee ? 2e ? e2 ? 2e ? 0 ,则 f (1) f (a) ? 0 ,所以 1 ? x2 ? a ,
1 1 1 1 1 1 由 a ? e 得 f ( ) ? e a ? a ln ? a ? e a ? a ln a ? a ? e a ? a ln e ? a ? e a ? 0 ,则 a a

1 f (1) f ( ) ? 0 , a 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? a . a





1 ? x1 ? 1 a









…………10 分

(3)由(2)知当 a ? e 时, f ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) ? ex ? e ln x ? e ? 0 , 即 f ( x) ? ex ? e ln x ? e , 设 h( x ) ?
x 1? x ( x ? 0) ,则 h?( x ) ? x , x e e

当 0 ? x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,
x 1 x 1 x ( x ? 0) 的最大值为 h(1) ? ,即 x ? ,因而 x ? 2 ? e , x e e e e e x 所以 f ( x) ? ex ? e ln x ? e ? x ?2 , 即 f ( x) ? e2 x?2 ? ex?1 ln x ? x ? 0 . …………16 e

所以 h( x) ?



附加题参考答案
21.A.证: (1)∵ CD 是圆 O 的切线,∴ CD2 ? CA ? CB , 连结 OD ,则 OD ? CD , ∵ BE 是圆 O 的切线,∴ BE ? ED , 又 DE ?
1 1 1 EC ,∴ BE ? EC ,∴ ?C ? 30 ,则 OD ? OC , 2 2 2
A O D E C

B

而 OB ? OD ,∴ CB ? BO ? OD ? OA ,∴ CA ? 3CB ,

…………5 分

1 2 (2) 将 CA ? 3CB 代入 CD2 ? CA ? CB 得 CD ? CA ? CA , 故 CA ? 3CD . ……10 3


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0 2 ? ? 0 1 ? ? ? 2a 0 ? 21.B. 解: (1) BA ? ? ?b 0 ? ? a 0 ? ? 0 b ? ? ?? ? ? ?

设 P ( x, y ) 是 l1 上的任意一点,其在BA作用下对应的点为 ( x?, y?) ,
? 得 l1 变换到 l3 的变换公式 x ?? 2ax ,则 y ? by
2ax ? by ? 4 ? 0

?







线

l1 : x ? y ? 4 ? 0







1 a ? , b ? ?1 . …………5 分 2 (2) 同理可得 l2 的方程为 2 y ? x ? 4 ? 0 , 即 x ? 2y ? 4 ? 0 . ………10 B ? ? 0 2? , ? ? ?1 0 ? ?


?? ? 21.C. 解 :( 1 ) 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 ? sin ? ? ? ? ? 3 2 , 则 ? 4?
2 2 ? sin ? ? ? cos? ? 3 2 , 2 2

? s 即 ? s i n?? ? c o ? x ? y ? 6 ? 0 ;…………5 分

6 所 以 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 ,

(2)P 为椭圆 C :

x2 y 2 设 P(4cos ? ,3sin ? ) , 其中 ? ??0 ,2?? , 则P ? ? 1 上一点, 16 9

到直线 l 的距离 d?
3 sin ? ? , 5

4 | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | | 5cos(? ? ? ) ? 6 | ? , 其 中 cos? ? , 5 2 2


2 . 2



cos(? ? ? ) ? ?1





d











…………10 分

21.D. 解: 因为 (a ? b ? 2c)2 ? (1 ?1 ? 2)(a2 ? b2 ? c2 ) ? 4 ,所以 a ? b ? 2c ? 2 ,

………
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2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试

…5 分 又 a ? b ? 2c ?| x2 -1 | 对任意实数 a, b, c 恒成立, 故 | x2 -1|? (a ? b ? 2c)max ? 2 , 解 得 …………10

x ? ? 3或x ? 3 .


2 1 22. 解:这 5 名幸运之星中,每人获得 A 奖品的概率为 ? , B 奖品的概率 6 3 4 2 为 ? . 6 3

(1)要获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数,则 A 奖品的人数可能为
3, 4, 5 ,则
1 2 1 2 1 51 则所求概率为 P ? C53 ( )3 ( ) 2 ? C54 ( ) 4 ( ) ? C55 ( )5 ? . …………4 分 3 3 3 3 3 243 1 2 1 2 40 (2) ? 的可能取值为 1,3,5 ,且 P(? ? 1) ? C53 ( )3 ( ) 2 ? C52 ( ) 2 ( )3 ? , 3 3 3 3 81 1 2 1 2 10 1 P(? ? 3) ? C54 ( ) 4 ( ) ? C5 ( )( ) 4 ? , 3 3 3 3 27 2 11 5 1 5 P(? ? 5) ? C50 ( )5 ? C5 ( ) ? , ……… 3 3 81

…8 分 所以 ? 的分布列是:
?
1

3

5

P

40 81

10 27

11 81










高三数学试卷

?
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E? ? 1?

40 10 11 185 ?5 ? ? 3? ? . 81 27 81 81

…………10 分

23.解: (1)令 x ? 1 ,则 f (1) g (1) ? g (1) ,即 g (1) ? [ f (1) ?1] ? 0 , 因为 f (1) ?1 ? 3n ?1 ? 0 ,所以 g (1) ? 0 ;
2 3 令 x ? ?1 ,则 f ? ?(?1) ? ? g (?1) ? g ? ?( ?1) ? ? ,即 f (1) g (?1) ? g (?1) ,

因为 g (?1) ? [ f (1) ? 1] ? 0 ,因为 f (1) ?1 ? 3n ?1 ? 0 ,所以 g (?1) ? 0 ; 例
g ( x) ? ( x2 ?1)n (n ? N? ) .

如 ……………4 分

(2)当 n ? 1 时, f ( x) ? x2 ? x ? 1 ? ( x2 ? 1) ? x ,故存在常数 a0 ? 1 , a1 ? 1 , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2 ) ? a1x . 假设当 n ? k ( k ? N ? )时,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, ak , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ?
( x2 ? x ?1)k ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ?

即 ? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk ,
? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk .

则当 n ? k ? 1 时,
f ( x) ? ( x2 ? x ? 1)k ?1 ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x2 ? x ? 1)k
2k 2 k ?1 ? ( x 2 ? x ? 1) ? ? ? a0 (1 ? x ) ? a1 ( x ? x ) ?

? ak ?1 ( x k ?1 ? x k ?1 ) ? ak x k ? ?

? (a0 ? a1x ? ?(a0 x ? a1x2 ? ?(a0 x2 ? a1x3 ?

? ak ?1xk ?1 ? ak xk ? ak ?1xk ?1 ? ? ak ?1xk ? ak xk ?1 ? ak ?1xk ?2 ?

? a1x2k ?1 ? a0 x2k ) ? a1x2k ? a0 x2k ?1 ) ? a1x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ) ? (ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ) xk ?1 ? ?

? ak ?1xk ?1 ? ak xk ?2 ? ak ?1xk ?3 ?

? a0 ? (a1 ? a0 ) x ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2 ? (a3 ? a2 ? a1 ) x3 ?

?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ? (ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ?2 ?
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?(a3 ? a2 ? a1 ) x2k ?1 ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2k ? (a1 ? a0 ) x2k ?1 ? a0 x2k ?2

? a0 ( x ? x2k ?2 ) ? (a1 ? a0 )( x ? x2k ?1 ) ? (a2 ? a1 ? a0 )( x2 ? x2k ) ? ?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 )( xk ? xk ?2 ) ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ;

令 a0 ' ? a0 , a1 ' ? a0 ? a1 , am ' ? am?2 ? am?1 ? am ( 2 ? m ? k ) , ak ?1 ' ? 2ak ?1 ? ak ; 故存在与 x 无关的常数 a0 ' , a1 ' , a2 ' ,…, ak ' , ak ?1 ' ;使得
f ( x) ? a0 '(1 ? x2k ?2 ) ? a1 '( x ? x2k ?1 ) ? a2 '( x2 ? x2k ) ? ? ak '( xk ? xk ?2 ) ? ak ?1 ' xk ?1 .

综上所述, 对于任意给定的正整数 n , 都存在与 x 无关的常数 a0 ,a1 ,a2 , …,
an ,

使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ? …………10 分

? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn .

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