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2014年高一数学必修4、必修5考试题(3)


2014 年高一数学必修 4、必修 5 考试题(3)
考试时间:120 分钟,满分 150 分
第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题的四个选项中,有一项是 符合题目要求的. 1.-510°是第( )象限角 A 一 B 二 C 三 D 四

2.函数 f ( x) ? 2s

in( x ? A

1 2

?
6

) 的最小正周期是( )
C

?

B

2?

3?

D

4?


3.在 ? ABCD 中,A(-2,1) ,B(-1,3) ,C(3,4) ,则 D 点的坐标是(

5 1 5 (2, ) B ( , ) C (2,2) D (2,3) 2 2 2 4.在△ ABC 中, A ? 45?, C ? 30?, c ? 10 ,则 a ? ( )
A A 10 2 5.已知 tan ? ? B

5 2

C

20 6 3

D

10 6 3

2, ? ? (? ,
3 3
C

3? ), 则 cos? ? ( ) 2
? 3 3
D

A

1 3

B

?

3 3

6.使 1 ? tan x ? 0 成立的 x 的集合是( ) A

{ x k? ?

?
2

? x ? k? ?

?
4

, k ? Z}

B

{ x k? ?

?
2

? x ? k? ?

?
4

, k ? Z}

C

{ x k? ?

?
4

? x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

D

{ x k? ?

?
4

? x ? k? , k ? Z }

7.已知等差数列 5, 4 ,3 ,? ,则使其前 n 项和 S n 最大的 n 的值是( ) A 7或8 B 8 C 7 D 8或9 A 8.AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的 最高点。EF 为一个水平基线,且 E,F,B 共线;在 E,F 处测得点 A 的仰角分别为 30?, 60? ,若测得 EF=100 m , 则 AB=( A ) (精确到 1 m ) 。 B E F B

2 7

4 7

173m

87m C

100 m

D

50m

2 2 9.已知过点 M(-3,-3) 的直线 l 被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,则直线 l

1

的方程是( ) A C

x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2x ? y ? 3 ? 0 x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2x ? y ? 9 ? 0

B D

2x ? y ? 9 ? 0 或 x ? 2 y ? 3 ? 0 2x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 3 ? 0

10.在△ ABC 中, sin A ? cos A ? A

1 ,则 tan A ? ( ) 5
4 3
D

?

3 4

B

?

4 3

C

?

?

3 4

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分 11.已知点 A(2,3,5) ,B(3,1,4) ,则 AB ? __________________ 12.已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ?

4 5 , cos(? ? ? ) ? ,则 sin ? ? 5 13
.

_____________

13.在△ ABC 中, a ? 9, b ? 10, c ? 15, 则 S?ABC ? ______

14.已知点 A(-2,-2) ,B(-2,6) ,C(4,-2) ;点 P 在△ABC 的内切圆上运动,则

PA ? PB ? PC 的最小值是
2 2 2

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

cos(? ? ) 2 ? sin(? ? 2? ) cos(2? ? ? ) 的值 15(本题满分 12 分)当 ? ? 时,求式子 5? 4 sin( ? ? ) 2

?

?

16(本题满分 14 分)已知圆 C 过三点 O(0,0) ,M(1,1) ,N(4,2) (1)求圆 C 的方程; (2)求圆 C 的圆心坐标及半径。 17(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x
2 2

(1)求 f ( x) 的最大、小值; (2)求 f ( x) 的单调减区间。

18(本题满分 12 分)一支车队有 15 辆车,某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午 2
2

时出发,第二辆车于下午 2 时 10 分出发,第三辆车于下午 2 时 20 分出发,依此类推。假设 所有的司机都连续开车,并都在下午 6 时停下来休息。 (1)到下午 6 时,最后一辆车行驶了多长时间? (2)如果每辆车的行驶速度都是 60km ,这个车队当天一共行驶了多少 km ?

h

19(满分 14 分)已知 a ? (6cos ? , 6sin ? )(0 ? ? ? 2? ), b ? (2 3, 2) . (1)若 a ? b ,求 ? 的值; (2)若 a ? 2b 与 a ? 3b 共线,求 ? 的值。

?

?

?

?

?

?

?

?

20(本题满分 14 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ? an ?1 ? 3 ? 2 (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {

n?2

(n ? 2)

n } 的前 n 项和。 an

参考答案
一、选择题:CDCAD CABAC 二、填空题:11. 三、解答题: 15 解:原式=

6 12.

16 65

13. 4 119

14. 72

当? ?

?
4

sin ? ? sin ? cos ? cos ? 2 = sin ?
2

8分 10 分 11 分 12 分

时,原式= sin =

?

4

1 2

cos( ? ) ? 4 2 ? sin( ? ? 2? ) cos(2? ? ? ) 或解:当 ? ? 时,原式= 5? ? 4 4 4 sin( ? ) 2 4 cos(? ) 4 ? sin(? 7? ) cos 7? ? 11? 4 4 sin 4
3

?

?

1分

?

2分

2 2 2 ? 2 ? ? 2 2 2 2
=

10 分

1 2
2 2

12 分 1分

16 解: (1)设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则

F ?0 ? ? ? D?E?F ?2?0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? ? D ? ?8 ? 解得 ? E ? 6 ? F ?0 ?
所求圆的方程是 x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0
2 2

6分

9分

10 分 12 分 14 分
2 2

(2)圆的方程化为 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

所以圆心坐标是(4,-3) ,半径是 5 或解: (1)设圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2

(r ? 0)

1分

a 2 ? b2 ? r 2 ? ? 2 2 2 则 ? ( a ? 1) ? (b ? 1) ? r ?( a ? 4) 2 ? (b ? 2) 2 ? r 2 ? ?a?4 ? 解得 ?b ? ?3 ? r ?5 ?
所求方程为 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

6分

11 分

12 分 14 分 3分 5分 7分 9分 11 分

(2)所求圆的圆心坐标是(4,-3) ,半径是 5 17 解: (1) f ( x) ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x ? 2 = 2 ? 2six(2 x ?

?

4

)

所以 f ( x) 的最大值是 2 ? 2 ,最小值是 2 ? 2 (2)? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k ? ?

?
2

,k ?Z

4

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z 8 8 3? ? 所以 f ( x) 的单调减区间是 [k? ? , k? ? ], k ? Z 8 8 ? k? ?
注:开区间不扣分。 18 解: (1)设车队开车时间为数列 {an } , 1分 3分 5分 6分

13 分 14 分

1 的等差数列 6 1 1 ? a15 ? 2 ? ? (15 ? 1) ? 4 6 3 1 2 ? 6 ? 4 ? 1 ,即最后一辆车行驶了 1 小时 40 分钟。 3 3
则其是首项为 2,公差为 (2)设车队每辆车行驶时间依次为数列 {bn } , 则其首项是 4,公差为 ?

7分 8分

1 的等差数列 6

2 15(4 ? 1 ) 3 S15 ? 2 85 ? 2 85 ? 60 ? ? 2550(km) ,即车队当天一共行驶了 2550 km. 2 ? ? ? ? b 19 解: (1)? a ? b,? a ? ? 0
?12 3 cos ? ? 12sin ? ? 0 ,即 3 cos ? ? sin ? ? 0

10 分 11 分 12 分 2分 3分 4分 5分 6分

(2) a ? 2b ? (6 cos ? ? 4 3, 6sin ? ? 4)

?

?

? 2sin(? ? ) ? 0 3 ?0 ? ? ? 2? 2? 5? ?? ? 或? ? 3 3

?

? ? a ? 3b ? (6 cos ? ? 6 3, 6sin ? ? 6)

8分

? ? ? ? ? a ? 2b 与 a ? 3b 共线
当 a ? 3b ? 0 时有

?

?

6 cos ? ? 4 3 6sin ? ? 4 ? 6 cos ? ? 6 3 6sin ? ? 6

10 分

? (3cos ? ? 2 3)(sin ? ? 1) ? (3sin ? ? 2)(cos ? ? 3)

5

? 3 sin ? ? cos ? ? 0

11 分 12 分

? 2sin(? ? ) ? 0 6 ?0 ? ? ? 2? 5? 11? 或? ? ?? ? 6 6
? 6 cos ? ? 6 3 ? 0, 6sin ? ? 6 ? 0 所以 ? ?
20 解(1)? a1 ? 1, an ? an ?1 ? 3 ? 2 当 n 为偶数时 an ? an ?1 ? 3 ? 2
n?2 n?2

?

13 分

5? 11? 或? ? 6 6

14 分 1分

(n ? 2) ,? a2 ? 2

an ? 2 ? an ?3 ? 3 ? 2n ? 4
?

a4 ? a3 ? 3 ? 22 a2 ? a1 ? 3 ? Sn ? 3(2n ? 2 ? 2n ?4 ? ? ? 22 ? 1)
(2 2 ) 2 ? 1 ? 3? 2 ? 2n ? 1 2 ?1
当 n 为奇数时, an ? an ?1 ? 3 ? 2
n?2
n

3分 4分

5分

an ? 2 ? an ?3 ? 3 ? 2n ? 4
?

a5 ? a4 ? 3 ? 23 a3 ? a2 ? 3 ? 2 a1 ? 1 ? Sn ? 3(2n ?2 ? 2n ?2 ? ? ? 23 ? 2) ? 1
2[(2 2 ) 2 ? 1] ? 3? ? 1 ? 2n ? 1 2 2 ?1
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2 ? 1 ? 2
n n ?1
n?1

6分 7分

8分

? 1 ? 2n ?1

9分 10 分

当 n ? 1 时, a1 ? 2

1?1

? 1 ,? an ? 2n ?1
6

或解:? an ? an ?1 ? 3 ? 2

n?2

? an ? an ?1 ? 2n ?1 ? 2n ?2 an ? 2n ?1 ? ?(an ?1 ? 2n ? 2 )
当 n 为偶数时: an ? 2
n ?1

2分 4分 6分 7分 8分 9分 10 分

? ?(an ?1 ? 2n ?2 ) ? ? ? ?(a1 ? 20 ) ? 0

? an ? 2n ?1
当 n 为奇数时: an ? 2
n ?1

? ?(an ?1 ? 2n ?2 ) ? ? ? a1 ? 20 ? 0

? an ? 2n ?1
所以 an ? 2
n ?1

2 n ?1 n ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 1 1 1 ? 1 ? 2( ) ? ? ? (n ? 1)( ) n ? 2 ? n( ) n ?1 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 ? Tn ? 1? ? 2( ) ? ? ? (n ? 1)( ) ? n( ) n 2 2 2 2 2 Tn 1 1 n ? 2 1 n ?1 1 n ? ? 1 ? ? ? ? ( ) ? ( ) ? n( ) 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? n ? 1 2n 1? 2 n?2 ?Tn ? 4 ? n ?1 2
(2)设 Tn ? 1 ? 注:第(1)问如果用归纳法得到 an ? 2 其它解答参照给分.
n ?1

11 分 12 分

13 分

14 分

而没有证明给 3 分。

7


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