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第二章 系统的解(2011)


第二章 控制系统状态 空间表达式的解

第二章

控制系统状态空间表达式的解

一.线性定常系统的解
什么是解:状态怎么运动、状态的时间函数 u(t)=0 解的性质 1. 线性定常齐次状态方程的解(自由解) m x(t) b K

? ? Ax x
方程的解可以表示为


输入 or 控制为 0 如有初速度

x(t ) ? b0 ? b1t ? b2t 2 ? ?? bk t k ? ?

式中 bk (i ? 0,1,2?) 均为列向量

第二章

控制系统状态空间表达式的解

? ? Ax 将 x(t ) 代入方程 x
可得

b1 ? 2b2t ? ?? kbk t k ?1 ? ? ? A(b0 ? b1t ? ?? bk t k ? ?)
b1 ? Ab0 1 1 2 b2 ? Ab A b0 1 ? 2 2 1 1 b3 ? Ab2 ? A3b0 3 3? 2 ? ? ? 1 k bk ? A b0 k!

方程两边对应项的系数相等, 即

第二章

控制系统状态空间表达式的解

x(t ) ? b0 ? b1t ? b2t 2 ? ?? bk t k ? ?
t=0

x(0) ? x0 ? b0
因此,齐次状态方程的解为

1 2 2 1 k k x(t ) ? ( I ? At ? A t ? ? ? A t ? ?) x0 2 ! k!

1 2 2 1 K k At I ? At ? A t ? ? ? A t ? ? ? e 2 ! k!
齐次状态方程的解为

x(t ) ? e x0
At

第二章

控制系统状态空间表达式的解

再用拉氏变换来分析一下解

? (t ) ? Ax(t ) x
拉氏反变换后得到

sx(s) ? x0 ? Ax(s) ?1 x(s) ? (sI ? A) x0
又有: x(t )

x(t ) ? L?1[(sI ? A)?1 ]x0

? e At x0

e At ? L?1[(sI ? A)?1 ]
( sI ? A)
?1

1 k k ? L[e ] ? L[ I ? At ? ? ? A t ? ?] k! I A A2 Ak ? ? 2 ? 3 ? ? ? k ?1 ? ? s s s s
At

第二章 解的特性

控制系统状态空间表达式的解

??t ? ? e At ? exp?At?
状态转移矩阵具有以下性质:

?(0) ? I

? ?1 (t ) ? ?(?t )
? (t ) ? A?(t ) ? ?(t ) A ?

?(t 2 ? t1 )?(t1 ? t0 ) ? ?(t 2 ? t0 )

[?(t )]k ? ?(kt )

状态转移的路径是唯一的

第二章
?

控制系统状态空间表达式的解

求?(t ) 的方法
? 根据定义 ? 拉氏反变换法 ? 约旦标准型

?Cayley-Hamilton定理

第二章

控制系统状态空间表达式的解
? ? ? ? ? ? ?2 ? ?0 0? ? x2 ? ?x

?1 ? ?0 1 ? ? x1 ? 根据定义试求状态转移矩阵 ? x ?

状态转移矩阵为
其中
1 22 1 k k ? (t ) ? e ? I ? At ? A t ? ? ? A t ? ? 2! k! ?0 1 ? 2 ?0 0 ? 3 n A?? , A ? A ?? ? A ? ? ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ?
At

可以写出方程解为

?1 0 ? ? 0 t ? ?1 t ? ?(t ) ? ? ?? ?? ? ? ? 0 1 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ?

? x1 (t ) ? ?1 t ? ? x1 (0) ? ? ??? ? ? ? ? x2 (t ) ? ?0 1? ? x2 (0) ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

拉氏反变换法求状态方程的解

1? ?0 ? ?? x x ? ?? 2 ? 3?

用拉氏变换求解。先求出矩阵指数
?s ? 1 ? (sI ? A) ? ? ? 2 s ? 3 ? ? (sI ? A)
?1

?s ? 3 1? adj(sI ? A) 1 ? ? ? ? 2 s sI ? A (s ? 1)(s ? 2) ? ? ? s?3 1 ? ? ? 2 1 ? ? (s ? 1)(s ? 2) (s ? 1)(s ? 2) ? ? ?? ? ? ?s ?1 s ? 2 ?2 s ? ? ? ?2 ? 2 ? ? (s ? 1)(s ? 2) (s ? 1)(s ? 2) ? ? ?s ? 1 s ? 2

1 1 ? ? s ?1 s ? 2? ?1 2 ? ? ? s ?1 s ? 2?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

将上式进行拉氏反变换 ?t ?2 t ?t ?2 t ? ? 2 e ? e e ? e At ?1 ?1 e ? L [(sI ? A) ] ? ? ?t ?2 t ?t ?2 t ? ? e ? 2e ? ?? 2e ? 2e

状态方程之解为
?t ?2 t ? 2 e ? e x ( t ) ? e At x (0) ? ? ?t ?2 t ? 2 e ? 2 e ?

e ? t ? e ?2 t ? ? x1 (0) ? ? ?t ?2 t ? ? x ( 0 ) ? e ? 2e ? ? 2 ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

变换A为约旦标准型 (1)A特征根互异

? ? T ?1 AT
其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式(2-18)有

e ? Te T
At

?t

?1

证明?

试求状态方程的解

1? ?0 ? ?? x x ? ?? 2 ? 3?

第二章
解 ?I ? A ?

控制系统状态空间表达式的解
?
2 ?1 ? ?2 ? 3? ? 2 ? (? ? 1)(? ? 2) ? ?3

?1 ? ?1 ?2 ? ?2
根据前章内容,可求得相应的变换矩阵
? 2 T ?? ?? 2 1 ? ? ? ? 2? T ?1 ? 1 ?? ?? 1 ? 1? 2? ? 1? ?

?t 2 1 ? e ? ? e At ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 0

0 ??1 1? ? ? ? 2 e ?2t ? ?? 1 ? 1? ? ?

? 2e ?t ? e 2t ?? ?t ? 2t ? 2 e ? 2 e ?

e ?t ? e ? 2 t ? ?t ? 2t ? ? e ? 2e ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

?? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? A? J ?? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?
? ? ? ? At Jt ?t e ?e ?e ? ? ? ? ? ? ? ? ?

t 1

t2 2! t 1

L L O O

L L L O O

1 t n?2 (n ? 2)! 1 t n ?3 (n ? 3)! M M t 1

1 n ?1 ? t ? (n ? 1)! ? ? 1 t n?2 ? (n ? 2)! ? ? 1 t n ?3 ? (n ? 3)! ? ? M ? M ? ? t ? 1 ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解
?0 A?? ?0 ? ?2 1 0 ?5 0? 1? ?; 4? ?

(2)A特征值有重根

J ? T ?1 AT e At ? Te JtT ?1


求e At

? ?I ? A ? 0
?2

?1

0 ?1 ? (? ? 1) 2 (? ? 2)

?
5

? ?4

? ?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? 2 ?1 J ?? ?0 ? ?0 1 1 0 0? Jt 0? ? e ? 2? ? ? et ? ? ?0 ? ? ?0 tet e
t

0

0 ? ? 0 ? 2t ? e ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解
5 3 ?2 ? 2? ? 1? ? 1 ? ? 5 3 ?2 ? 2? ? 1? ? 1 ? ? ? te t ? e t ? e 2 t ? t t t? ? te ? 2e ? 2e 2 ? ? te t ? 3e t ? 4e 2t ? ? ? 2? ? 1? ? 1 ? ?

需求出变换矩阵T及T-1。按第一章所述的方法可求得
?1 ? 1 1 ? ?? 2 ? ; T ?1 ? ?? 2 T ?? 1 0 2 ? ? ? ? ? ?1 1 4? ? ? 1 ? e At
t ?1 ? 1 1 ? ?e ??0 ?? 1 0 2 ? ?? ? ?1 1 4? ?? ?0

t et et 0

0 ? ?? 2 ? 0 ?? ?? 2 e 2t ? ? 1 ?? 5 3 ?2

?e t ? ? ?e t ?e t ?

te t ? e t t et te t ? e t

e 2t ? ?? 2 ? 2e 2 t ? ? ?? 2 4e 2 t ? ? 1 ??

? ? 2te t ? e2t ? ? ? 2(e 2t ? te t ? e t ?? 2te t ? 4e t ? 4e 2t ?

3te t ? 2e t ? e ? 2t 3te t ? 5e t ? 4e 2t ? 3te t ? 8e t ? 8e 2t

第二章

控制系统状态空间表达式的解

(3)如果矩阵A的特征值为共轭复数 λ1, 2 ? σ ? j ω
经过线性变换,可转换为模态矩阵M

? σ ω? M ? P AP ? ? ? ? ω σ ? ?
?1

e

Mt

?e

? σ ω? ?-ω σ ? t ? ?

?e
2

?σ 0 ? ? 0 ω? ? 0 σ ? t ?-ω 0 ? t ? ? ? ?

e

e

? 0 ω? ? ?t ω 0 ? ?

?1 0? ? 0 ω? 1 2 ? 0 ω? ? cosωt sin ωt ? ?? ?? t? t ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 1 ? ω 0 ? ω 0 ? sin ωt cos ωt 2 ! ? ? ? ? ? ? ? ?

其中

e

?σ ? ?0

0? ?t σ?

?e σt ?? ?0

0? σt ? e ?

e

Mt

? cos ωt sin ωt ? ? t ?? e ? ?? sin ωt cos ωt ?
(19)

系统状态转移矩阵为

? (t ) ? eAt ? PeMt P?1

第二章

控制系统状态空间表达式的解

应用Cayley-Hamilton定理求解

Cayley-Hamilton定理: 矩阵A满足自己的特征多项式
A的特征多项式

f (?) ? ? I ? A ? ? n ? an?1? n?1 ??? a1? ? a0

f ( A) ? An ? an?1 An?1 ? ?? a1 A ? a0 I ? 0

第二章

控制系统状态空间表达式的解

应用Cayley-Hamilton定理求解

A ? ?(an?1 A
n
At

n?1

? ?? a1 A ? a0 I )

k A 对于矩阵指数 e , , (k ? n) 可以用An-1,An-2, …,A,I来 表示。

1 22 1 k k e ? I ? At ? A t ? ? ? A t ? ? 2! k!
At

无穷高次变为有限高次
e
At

? ? ak (t ) A
k ?0

n ?1

k

第二章

控制系统状态空间表达式的解

?1 2 ? 100 要求计算矩阵 A ? ? 的 A ?? ? ?0 1 ?
解:矩阵A的特征多项式

| ? I ? A |? (? ?1)2 ? ? 2 ? 2? ? 1

第二章

控制系统状态空间表达式的解

矩阵A满足自己的特征多项式,有

A2 ? 2 A ? I A3 ? A2 ?A ? 3 A ? 2 I A4 ? A3 A ? 4 A ? 3I ? An ? nA ? (n ? 1) I 本题中n=100,故有
?1 200? A ? 100 A ? 99I ? ? ? 0 1 ? ?
100

第二章

控制系统状态空间表达式的解

?0 1? At表示式中的a (t) 已知 A ? ? , 求 e i ? ?? 2 ? 3?
?? ?1 ? 2 ?I ? A ? ? ? ? ? 3? ? 2 ? 0 ? ? 2 ? ? 3?
A ? 3 A ? 2I ? 0
2 2

A ? ?3 A ? 2 I A3 ? AA2 ? A(?3 A ? 2 I ) ? ?3 A ? 2 A ? ?3(?3 A ? 2 I ) ? 2 A ? 7 A ? 6I
2

A4 ? AA3 ? 7 A2 ? 6 A ? 7(?3 A ? 2 I ) ? 6 A ? ?15 A ? 14 I

第二章

控制系统状态空间表达式的解

代入下式中的相应项中,即可消去A的2次及以上各次幂

1 22 1 33 1 44 e ? I ? At ? A t ? A t ? A t ? ? 2! 3! 4! ? 3 2 1 3 15 4 ? ? ? 2 3 14 4 ? ? t ? t ? t ? t ? ?? A ? ? I ? t ? t ? t ? ?? I 3! 4! 4! ? 2! ? ? ? ? a1 (t ) A ? a0 (t ) I
4t

3 2 1 3 15 4 ? a1 (t ) ? t ? t ? t ? t ? ? 2! 3! 4! 2 3 14 4 a0 (t ) ? 1 ? t ? t ? t ? ? 4!

第二章

控制系统状态空间表达式的解

小练习

考虑如下矩阵A

?0 A?? ?0

1? ?2 ? ?

试用前面介绍的两种方法计算eAt 。

第二章

控制系统状态空间表达式的解

方法一 由于A的特征值为0和-2(λ1=0,λ2= -2), 故可求得所需的变换矩阵P为

可得
At

?1 ?0 ?
1 ? ?e ? ?2? ?? ?0
o

1 ? ?2? ?
? 1 0 ?? ? ? 2t ? e ? ? ?0 ? ? 1 ? ? ? 1 2 ? ?? 1? ? ? 0 ? ? 2? ? 1 ? (1 ? e ? 2t )? 2 ? ? 2t e ? ?

e

?1 ?? ?0

第二章
方法二 由于

控制系统状态空间表达式的解
0? ?0 ?? ? s ? ?0 1 ? ?s ?? ? ?2? ?0
1 ? s( s ? 2) ? ? 1 ? s?2 ? ?

?s sI ? A ? ? ?0
可得

?1 ? s ? 2? ?

因此

?1 ?s ?1 ( sI ? A) ? ? ? 0 ? ?

e At

? 1 ?1 ?1 ? ? L [(sI ? A) ] ? ? ? ?0

1 ? (1 ? e ?2t )? 2 ? ? 2t e ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

2. 线性定常非齐次状态方程的解 非齐次方程

? (t ) ? Ax(t ) ? Bu(t ) x
x(t ) ? e x(0) ? ? e
At 0 t A?

Bu(t ? ? )d?
零状态解

零输入解

第二章

控制系统状态空间表达式的解

在线性系统中,输入信号经过一个对象后输出是 什么?怎样求解?
Convolution (卷积)
f (t ) * g (t ) ? ? f (t ? ? ) g (? )d?
0 t

? ? f (? ) g (t ? ? )d?
0

t

(assuming f(t)=g(t)=0, while t<0)
L? f (t ) ? g (t )? ? F (s)G(s)

第二章

控制系统状态空间表达式的解

? L ? f (t ) ? g (t )? ? ? ? ? ? ? ? f (t ) ? g (t )? e ? st dt ? ? ? 0 ? ? ?? t ? ? st ? f (? ) g (t ? ? )d? e dt ? ? ?0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (? ) g (t ? ? )d? ? e ? st dt ? ? ? ?0 ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? st ? ? ? f (? ) ? ? g (t ? ? )e dt ? d? ? ? ? s ( t ?? ) ? ? dt ?0 ? ? 0 ? ?0 g (t ? ? )e ? ? ? ? ? s? ? ? ? s ( t ?? ) ? ? s (t ?) t ? ? t ?? ? ??? ? g ( t ) e dt ? ? f ( ? ) e g ( t ? ? ) e dt d ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? t ? ? 0, g (t ?) ? 0 ? ? ? f (? )e ? s? G ( s)d? ? ? ?0 ? ? ? g (t ?)e ? s (t ?) dt ? ? ? g (t ?)e ? s (t ?) dt ? ? G ( s ) ?0 ? ? F ( s )G ( s ) ? ??? ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解
g(t)-脉冲响应函数 f(t)-输入信号(激励)

第二章

控制系统状态空间表达式的解
sx( s) ? x0 ? Ax( s) ? Bu( s)

讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法
x( s) ? ( sI ? A)?1 x0 ? ( sI ? A)?1 Bu( s)

拉氏反变换得
x(t ) ? L?1[(sI ? A)?1 ]x(0) ? L?1[(sI ? A)?1 Bu(s)]

由于

e At ? L?1[(sI ? A) ?1 ]
L?1[(sI ? A) ?1 Bu?s ?] ?
t
A( t ?? ) e Bu(? )d? ? 0 t

x(t ) ? e At x(0) ? ? e A? Bu(t ? ? )d?
0

第二章

控制系统状态空间表达式的解

求下述系统状态的时间响应

1 ? ?0? ?0 ??? x x ? ? ?u ? ?? 2 ? 3? ?1?
控制u为单位阶跃函数

第二章

控制系统状态空间表达式的解

由前例求得:
[ sI ? A]?1

s?3 ? ? ( s ? 1)(s ? 2) ?? ?2 ? ? ? ( s ? 1)(s ? 2)

1 ? ( s ? 1)(s ? 2) ? ? s ? ( s ? 1)(s ? 2) ? ?

状态转移矩阵
?(t ) ? L
?1

?? sI ? A? ?
?1

? 2e ? t ? e ?2t ?? ?t ?2 t ? 2 e ? 2 e ?

e ? t ? e ?2t ? ?t ?2 t ? ?e ? 2e ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

?
0

t

e A(t ?? ) Bu(? )d? ?

?
0

t

?e ?(t ?? ) ? e ?2(t ?? ) ? d? ? ?(t ?? ) ? 2t ? ? 2e ? ? ?? e ?

? 0.5 ? e ? t ? 0.5e ?2t ? x(t) ? ? (t)x(0) ? ? ? ?t ?2t e ? e ? ? ? 2e ? t ? e ?2t ? 0.5 ? e ? t ? 0.5e ?2t ? e ? t ? e ?2t ? ?? x(0) ? ? ? ?t ?2t ?t ?2t ? ?t ?2t ?e ? 2e ? e ?e ? ?2e ? 2e ? ?

若初始状态为零状态,则

?0.5 ? e?t ? 0.5e?2t ? x(t ) ? ? ? ?t ?2 t e ?e ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

二.线性定常离散系统状态方程的解 1.递推法(迭代法)
x(k ? 1) ? Gx(k ) ? Hu(k ) x ( k ) k ? 0 ? x ( 0) x(k ) ? G x(0) ? ? G k ? j ?1 Hu( j )
k j ?0 k ?1

卷积的离散形式

x(k ) ? G k x(0) ? ? G j Hu(k ? j ? 1)
j ?0

k ?1

x(k ) ? G k x(0) ? G k ?1 Hu(0) ? G k ? 2 Hu(1) ? ? ? GHu(k ? 2) ? Hu(k ? 1)

第二章

控制系统状态空间表达式的解

二.线性定常离散系统状态方程的解 1.递推法(迭代法)
x(k ? 1) ? G x(k ) ? Hu(k ) x(k ) k ?0 ? x(0)
证明:用迭代法解矩阵差分方程
从 k ? 0, x(1) ? Gx(0) ? Hu(0) 从 k ? 1, x(2) ? Gx(1) ? Hu(1) ? G x(0) ? GHu(0) ? Hu(1)
2

从 k ? 2, x(3) ? Gx(2) ? Hu(2) ? G x(0) ? G Hu(0) ? GHu(1)
2 2

? Hu(2) ?
从 k ? 1, x(k ) ? Gx( k ? 1) ? Hu(k ? 1) ? G x(0) ? G
k k ?1

Hu(0) ? ?

? GHu(k ? 2) ? Hu(k ? 1)

第二章

控制系统状态空间表达式的解

二.线性定常离散系统状态方程的解 1.递推法(迭代法)

x(k ? 1) ? G x(k ) ? Hu(k ) x(k ) k ?0 ? x(0)
? x(1) ? ? G ? ? H ? x(2) ? ?G 2 ? ? GH ? ? ? ? ? 3 ? x(3) ? ? ?G ? x(0) ? ?G 2 H ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? k? k ?1 ? ? ? x ( k ) G G ? ? ? ? ? ? ? 0 0 H GH H ? ? G k ? 2 G k ?3 H ? 0 ? ? u (0) ? ? u (1) ? ? 0? ? ?? ? 0 ? ? u ( 2) ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? H? ?? ?u (k ? 1)? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

二.线性定常离散系统状态方程的解 1.递推法(迭代法)

x(k) ? G k x(0) ? ? G k ? j ?1 Bu ( j ) (k ? 1,2,3,? )
j ?0

k ?1

记? (k) ? G

k

?? (k ? 1) ? G? (k) ? ? (0) ? ? ? x(k) ? ? (k)x(0) ? ? ? (i)Bu ( k ? i ? 1)
i ?0 k ?1

第二章

控制系统状态空间表达式的解

例 设线性定常离散系统的 状态方程为 X(k ? 1) ? GX(k) ? Bu(k) 1? ? 0 式中 G ? ? ? 0.16 1 ? ? 试用递推法求取当 ?1? B?? ? ?1?

? x1 (0) ? ? 1 ? X(0) ? ? ? ? ? 及u(k) ? 1 (k ? 0)时状态方程的解。 ? ? x 2 (0)? ?- 1?

1? ? 0 ?(k ) ? G ? ? ? 0.16 1 ? ?
k

k

由于直接计算G k 比较困难,所以把 G做相似变换。 ? ? P -1GP P为变换矩阵

第二章

控制系统状态空间表达式的解

-1 ??-G ? ? (? ? 0.2)(? ? 0.8) ? 0 0.16 ? ? 1 解得 ?1 ? ?0.2

?

?2 ? -0.8
1? ?2 ? ?

?1 ? G为友矩阵,所以有T ? ? ??1 1 ? ? 1 ? T?? ? ? 0.2 ? 0.8 ? ?

第二章
-1

控制系统状态空间表达式的解

1 ?-0.8 -1? 1 ? 4 5 ? T ? ? ? ? ? -0.6 ? 0.2 1 ? 3 ?-1 -5? ? 1?? 1 1 ? 1 ?-0.8 -1? ? 0 -1 ? ? T GT ? ? ?-0.16 -1? ? ?0.2 ?0.8? 0.2 1 -0.6 ? ? ?? ?? ? ?-0.2 0 ? ?? ? 0 -0.8 ? ? 1 ? ?-0.2 0 ? ? 4 5 ? 1? 1 ? G ? T? T ? ? ? 0 -0.8? ?-1 -5? 3 ?-0.2 -0.8? ?? ? ? ?
k k -1 k k ? 4(-0.2) -( -0.8) 1 ? ? k k 3? -0.8(-0.2) ? 0.8(-0.8) ? k

5(-0.2)k -5(-0.8) k ? ? k k -(-0.2) ? 4(-0.8) ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

k ? ? -(-0.2) 1 -1 k -1 ? (k)x(0) ? (k)T x(0) ? ? T x(0) ? ? ? ?? ? ? k 3? ? 4(-0.8) ? ? k-1 k ?1 ? ( ?0.2) k 0 ?? 3 ? -1 ? (i)T Bu(k-i-1) ? ? ? ? ? ? ? k ? ? 2 ?(0.8) ? i ?0 i ?0 ? ? 0 ?? ? ? 3(1 ? (?0.2) k ) ? ? ? 1.2 ? ?? k ? ?2(1 ? (?0.8) ) ? ? ? 1.8 ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解
-1 k -1

k ? ? -(-0.2) 1 % % % ? (k)x(0) ? ?(k)T x(0) ? ? T x(0) ? ? ? 3 ? 4(-0.8) k ?

? 3(1 ? (?0.2) k ) ? ? ? k-1 1.2 -1 %(i)T Bu(k-i-1) ? ? ? ? ? k ? ?2(1 ? (?0.8) ) ? i ?0 ? ? 1.8 ? ?

5? ? 17 k ? ( ? 0.2) ? ? 6 ? 2 % x(k) ? ? ? ? 22 (?0.8) k ? 10 ? ? 9 ? ? 9 ?

22 25 ? ? 17 k k ? ( ? 0 . 2 ) ? ( ? 0 . 8 ) ? ? 6 ? ~ 9 18 x ( k ) ? Tx ( k ) ? ? 3.4 17.6 7? k k ? (?0.2) ? (?0.8) ? ? 9 18 ? ? 6

第二章

控制系统状态空间表达式的解

作业: ? 2-4(1) ? 2-6
?

第二章 2.Z变换法
Z变换的概念

控制系统状态空间表达式的解

从采样信号的拉氏变换出发:
X ( s) ? ? x(t )? ( nT )e? st dt
0 ?

,其中, T 为采样间隔。

于是有:
X ( s) ? ? x(nT )e
n ?0 ? ? snT

? ? x(n)e? snT
n ?0

?

如果令 z ? e

sT

,则:

X ( z ) ? ? x ( n) z ? n
n ?0

?

第二章 2.Z变换法

控制系统状态空间表达式的解

设定常离散系统的状态方程是
x(k ? 1) ? Gx(k ) ? Hu(k )

zx ( z ) ? zx (0) ? Gx( z ) ? Hu( z ) ( zI ? G ) x( z ) ? zx (0) ? Hu( z ) ? x( z ) ? ( zI ? G ) ?1 zx (0) ? ( zI ? G) ?1 Hu( z )
对上式两端取z的反变换,得
x(k ) ? ? ?1[( sI ? G )?1 zx(0)] ? Z ?1[( zI ? G ) ?1 Hu( z )] ? ?(k ) ? Z ?1[( zI ? G ) ?1 z ]
k ? j ?1 ?1 ?1 G Hu ( j ) ? Z [( zI ? G ) Hu( z )] ? j ?0 k ?1

第二章

控制系统状态空间表达式的解
t

两采样瞬时之间的状态和输出?
x(t ) ? ?(t ? kT ) x(kT ) ? ? ?(t ? ?) Bu (kT )d ?, kT ? t ? (k ? 1)T
kT

[例] 离散时间系统的状态方程
x(k ? 1) ? Gx(k ) ? Hu(k ) ? 0 G?? ?0.16 1? ?1? ; H ?? ? ? ? 1? ?1?

?1? 试求当初始状态 x(0) ? ? ?和控制作用为 u(k ) ? 1 时, ?? 1?

此系统 ? (k ) 和

x(k )

试用z反变换法求 ? (k ) 和 x(k )

第二章


控制系统状态空间表达式的解
z ? ( ) ? ak z?a
?1

因 u(k) ? 1, ? u(z) ?

z z ?1 ? ? k ? ? Z ?1 [(zI ? G) ?1 z] ?1 ? z ? 1? ?
?1

? z ?1 ? ? ? Z ?? ? ? ?0.16

? 1? ? ? z ?1 z ? ?1 ? z? ? Z ? ? ?0.16 ?? z (z ? 0.2)(z ? 0.8) ? ?? ? ? ? ?1 5 ?5 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? z ? 0.8 z ? 0.2 z ? 0.8 ? ? ?1 ? z z ? 0.2 ?Z ? ? ?? ?1 4 ?? ? 3 ? ?0.8 ? 0.8 ? ? ? ? z ? 0.2 z ? 0.8 ? ? z ? 0.2 z ? 0.8 ?? ? 4( ?0.2) k ? (0.8) k 1? ? ? 3 ? ?0.8( ?0.2) k ? 0.8( ?0.8) k 5( ?0.2) k ? 5( ?0.8) k ? ? ?( ?0.2) k ? 4( ?0.8) k ?

再 ? z2 ? z ? ? ? z ? ? z ? 1? ? z ? 1 ? ? zx(0) ? Hu(z) ? ? ? ? ? ??? 2 ? ? z ? ? z ? ? ? z ? 2z ? ? ? z ? 1? ? ? ? z ?1 ? ?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

? x( z ) ? ( zI ? G ) ?1[ zx(0) ? Hu( z )] ? ? ? ? (17 6) z (22 9) z (25 18) z ? ( z 2 ? 2) z ? ? ? ? ? ? ( z ? 0 . 2 )( z ? 0 . 8 )( z ? 1 ) ( z ? 0 . 2 ) ( z ? 0 . 8 ) ( z ? 1 ) ??? ? ?? 2 ( 3 . 4 6 ) z ? ( 17 . 6 9 ) z ( 7 18 ) z ? ? ? (? z ? 1.84z ) z ? ? ? ? ? ? ( z ? 0.2) ( z ? 0.8) ( z ? 1) ? ( z ? 0 . 2 )( z ? 0 . 8 )( z ? 1 ) ? ? ? ? 22 25 ? ? 17 k k ? ( ? 0 . 2 ) ? ( ? 0 . 8 ) ? ? 6 ? ?1 9 18 ? x(k ) ? Z [ x( z )] ? ? 3.4 7? k 17.6 k ? (?0.2) ? (?0.8) ? ? 9 18 ? ? 6

第二章

控制系统状态空间表达式的解

3.两种方法的关系
Z Z
?1

?(zI-G)-1 z ? ? ?(k) ? G k ? ? ?(zI-G) Bu( z ) ? ? ? ?(k-j-1)Bu ( j ) ? ? G k-j-1Bu( j ) ? ?
-1 j ?0 j ?0 k ?1 k ?1

?1

4.说明
(1) 迭代法比较适合于计算机计算 (2) Z变换法是当系统的阶次低时适合于手算

第二章

控制系统状态空间表达式的解

§2-5 线性连续状态方程的离散化
一.线性定常系统的离散化 离散按一个等采样周期T的采样过程处理,即将t变为kT,其 中T为采样周期,而k=0,1,2…为一正整数。

输入量u(t)只在采样时刻发生变化,在相邻两采样时刻之间, u(t)是通过零阶保持器保持不变的,且等于前一采样时刻之值, 换句话说,在kT<=t<(k+1)T之间,u(t)=u(kT)=常数。

? ? Ax ? Bu x y ? Cx ? Du
将其离散化之后,则得离散时间状态空间表达式为

x(k ? 1) ? G(T ) x(k ) ? H (T )u (k ) y (k ) ? Cx(k ) ? Du (k ) 式中 G (T ) ? e
AT

, H (T ) ? ?

T

0

e At dt B

第二章

控制系统状态空间表达式的解

二、近似离散化 在采样周期T较小时,一般当其为系统最小时间常数的 1/10左右时,离散系统可近似表示为

? (t ) ? Ax (t ) ? Bu(t ) x x[( k ? 1)T ] ? x( kT ) ? ? Ax (kT ) ? Bu (kT ) T

x[( k ? 1)T ] ? (TA ? I ) x( kT ) ? TBu( kT ) G (T ) ? TA ? I H (T ) ? TB

第二章
离散化

控制系统状态空间表达式的解
1 ? x (t ) ? ? ? 2? ?0 ? ?1 ? u (t ) ? ?

?0 ? (t ) ? ? x ?0

解 (1)计算

G ? e AT e AT
?1 1 ? ?2T ? ? ? s ? 1 1 (1 ? e )? ? ? ? ?1 ?1 ?1 ? ? ? L [( sI ? A) ] ? L ? ? 2 ?? ? ? 0 s ? 2? ? ? ?2 T ? ?? ? ?0 e ?

? 1 ?2 T ? 1 (1 ? e ) ? ? ?G ? 2 ? ? ?2T e ?0 ?

第二章
H ?? ? ?T ?? ?0 ?
T

控制系统状态空间表达式的解
T

0

e At dt ? B ? ?

0

? ?1 ?0 ?

1 ? 2t ? ?0 ? (1 ? e )? dt ? ? ? 2 1? ? ? e ? 2t ?

1 1 ? 2T 1 ? ?1 ? e ? 2T ? 1 ? (T ? e ? )? ?0? ? (T ? )? 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?1? 1 ? 2T 1 1 ?? ? ? ? e ? (1 ? e ? 2T ) ? 2 2 ? ? 2 ?

(2)近似计算
?0 G ? TA ? I ? ? ?0 T ? ?1 ?? ? ? 2T ? ?0 ?0? H ? TB ? ? ? ?T ? 0? ?1 ?? ? 1 ? ?0 ? 1 ? 2T ? ? T

第二章
?

控制系统状态空间表达式的解

作业:2-10

控制对象分析与建模开题,每人5分钟PPT , 10月28日电邮发给我jp.dou@seu.edu.cn; ? 11月4日,选择10名同学讲。
?

第二章

控制系统状态空间表达式的解

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