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数列的概念与简单表示方法2


2.1数列的概念与简单表示法2

知识回顾
1.下列数列中 , 既是递增数列又是无穷 数列的是( 1 1 1 A.1, , , ,... 2 3 4 B. ? 1,?2,?3,?4,... 1 1 1 C. ? 1,? ,? ,? ,... 2 4 8 D.1, 2 , 3 ,... n )

2、有下列几个结论:
①数列就是数的集合; ②任何数列都有首项和末项; ③项数无限的数列是无穷数列; ④若干项相同的两个数列的通项必相同。 ⑤数列4,5,6,7,8与数列8,7,6,5,4,不是同一数列 其中正确的是 ( D ) A .① ③ B. ④ ⑤ C. ② ④ D. ③ ⑤ ? 有序性是数列的基本属性,两组完全相同的数,由于排列顺 序的不一样,就构成了不同的数列, ? 用记号 ?an ? 表示数列时,不要将 ?an ?看成一个集合,这是因为: ? (1)数列 的项是有序的,而集合的元素是无序的; ? (2)数列 可以有相等的项,如数列1,1,2,2,……,但 集合的元素是互异的.

3.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4 项分别是下列各数:

1 1 1 1 ( 1 ) 1, , , , ... 3 5 7 9 1 1 1 (2) 1 , - ,, - ,... 2 3 4

1 an ? 2n ? 1 n ?1 1 an ? ? ?1? n

数列的表示方法
数列的通项公式 与函数一样,数列也可以用图象、列表的 方法来表示.



全体正奇数按从小到大的顺序构成数列

1 , 3, 5, ...,2n ? 1,...
解:该数列{an}的通项公式为an=2n-1

n
an =2n-1

1
1

2
3

3
5




n
n




an
10 9 8 7 6

y=2x-1 an=2n-1

5
4 3 2 1

数列的图象有何特点?

O

1

2

3

4

5

6

7

n

特 点:数列的图象是一群孤立的点。

n∈N+

y=2x-1 x∈R

特点:数列的图象是一群孤立的点.

递推公式
问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 即 an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1),(※) 你能写出这个数列的前三项吗? 例2 设数列{an }满足
? a1 ? 1 ? ?a ? 1 ? 1 ? n an ?1 ?

(n ? 1)

写出这个数列的前五项. 练习:P31 2

递推公式是数列所特有的表示法.
用递推公式给出一个数列,它必须包 含两个部分:

一是初始条件(数列 ?an ?的首项或前几项);
一是递推关系(数列 ?an ?的任一项 an 与它的 前一项 an ?1 之间(或前几项)之间的关系), 二者缺一不可.

an ? n ? n,
2

a3

1 an ? [1 ? (?1) n ?1 ], 2

2 an ? 2 , n ?n

a8、a10 .

活学活用
an?1 n 1. 已知数列{an }中, a1 ? 1, an ? a ?则 ?n ?1 ? 1(?n n? ?2 2), an n ?1 通项公式为( ) A.an ? 1 B.an ? 2n ? 1 C.an ? n D.an ? n ? 1

巩固提升
2.已知数列 {an }中, a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 则a5 ? . 1 ? an ?1 ? , an

2an 3.已知数列{an }满足a1 ? 1, an?1 ? (n ? N * ), an ? 2 写出数列的前5项,并归纳出an的一个通项公式.

小结1:
通项公式的求法: 1、观察法 2、累加法 3、累乘法

知识回顾
1.下面数列是有穷数列的 是( ) 1 1 1 A.1,0,1 ,0,? B.1, , , ; 2 3 4 C .2,22,222 ,? D.0,0,0,0, ?
1 2 3 4 2.数列 , , , ,... 第9项是( ) 2 3 4 5 7 8 9 A. B. C. 8 9 10

9 D. 11

3 、 填空题 n ?1 已知数列 {an }的通项公式an ? , 则它的 n 6 第5项a5 ? _______; 5

4、已知数列 1,2,4,8,16, ..., 2 n ?1 , 则8 2是该数列 的第 项.

作业:
1.已知a1=2,an+1=an-4,求an.

2.已知a1=2,an+1= an,求an.

自主迁移
1.下面数列是有穷数列的 是( ) 1 1 1 A.1,0,1 ,0,? B.1, , , ; 2 3 4 C .2,22,222 ,? D.0,0,0,0, ?
1 2 3 4 2.数列 , , , ,... 第9项是( ) 2 3 4 5 7 8 9 A. B. C. 8 9 10
的第 项.

9 D. 11

3. 已知数列1,2,4,8,16, ..., 2 n ?1 , 则8 2是该数列

4、 填空题 n ?1 ( 4) 已知数列 {an }的通项公式an ? , n 6 则它的第5项a5 ? _______; 5 1 3 7 15 (5)数列 ? , ,? , , ?的一个通项公式 2 4 8 16 1 n ) 为a __________ ____; n ? ( ?1) (1 ? n 2 1 (6)数列0, lg 2, lg 3 , lg 2, ?的一个通项公 2 an ? lg n 式为 __________ _____.

7.若数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,则这个 数列的前3项是( )
A.-1,1,3 C.2,1,6 B.2,1,0 D.2,1,3

8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,求这个数 列的通项公式

(n ? 1) ?S n 已知an求S n : an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)


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