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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 3.4 定积分与微积分基本定理


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :3.4
一、选择题 1.(2013·山东冲刺)求曲线 y=x 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是( A.S=?1(x -x)dx
2 2

定积分与微积分基本定理
)

?0 ?0

B. S=?1(x-x2)dx

?0

C.S=?1(y2-1)dy

D.S=?1(y- y)dy

?0

解析: 两函数图像的交点坐标是(0,0), (1,1), 故积分上限是 1, 下限是 0, 由于在[0,1] 上,x≥x ,故曲线 y =x 与 y=x 所围成图形的面积 S=?1(x-x )dx.
2 2 2

?0

答案:B π 2.(2013·武汉调研)由直线 x=- ,曲线 y=cosx 及 x 轴、y 轴所围图形的面积为 6 ( )

A. C.

π 2 2 2

B. D.

3 2 1 2

解析:四线围成的面积为 S=?0-

?

π π 1 cosxdx=sinx|0- = . 6 6 2

答案:D 3.(2013·黄冈检测)如图所示,图中曲线方程为 y=x -1,用定积分表达围成封闭图 形(阴影部分)的面积是( )
2

A.?? ?

2

?

?

x -1?

2

dx?

0

?

B.?2(x2-1)dx

?0 ?0

C.?2|x2-1|dx
1

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx

?0

?1

解析:所求面积为?1(1-x )dx+?2(x -1)dx=

2

2

?0

?1

? |x -1|dx. ?0
答案:C 4.(2013·河南联考)已知 f(x)=2-|x|,则?2 f(x)dx 等于(

2

2

?-1

)

A.3 C.3.5
?2-x? x≥0? , ? 解析:f(x)=2-|x|=? ?2+x? x<0? , ?
2

B.4 D.4.5

? f(x)dx= ?-1

?2x+1x2?|0 +?2x-1x2?|2=3.5. 0 2 0 2 ? -1 ? ? 0 ? f(x)dx+? f(x)dx=? (2+x)dx+? (2-x)dx=? 2 ? 2 ? ? ? ?-1 ?0 ?-1 ?0
答案:C 5.(2012·湖北)已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示 ,则它与 x 轴所围图形的面积 为( )

A. C.

2π 5 3 2

B. D.

4 3 π 2

解析:设 f(x)=a(x-1)(x+1),将 x=0,y=1 代入 f(x)得 a=-1, 所以 f(x)=-

? x? 1 4 2 2 (x-1)(x+1)=1-x ,所以 S=?1-1(1-x )dx =?x- ?|-1= . 3 ? 3? ?
答案:B 6.(2013·武汉调研)如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于 1 函数 y= (x>0)图像下方的区域(阴影部分),从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的 x 概率为( )

3

2

A. C.

ln2
2 1+ln2 2

B. D.

1-ln2 2 2-ln2 2

1 解析:函数 y= (x>0)图像与 y=2 的交点坐标为 x

答案:C 二、填空题 7.(2012·江西)计算定积分?1 (x +sinx)dx=__________.
2

?-1
3

?x ? 1 2 解析:? (x +sinx)dx=? -cosx?|-1= . 3 3 ? ? ?-1
1 2

2 答案: 3 8.( 2012·山东)设 a>0.若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a ,则 a=________.
2

3

解析:S=?a

?0

3 3 2 2 a 2 2 4 2 xdx= x | 0= a =a ? a= . 3 3 9

4 答案: 9

?1 ? 9 .(2012·上海 ) 已知函数 y = f(x) 的图像是折线段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B ? ,5? 、 ?2 ?
C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为__________. 解析:设直线为 y=kx+b,代入 A,B 两点,∴y=10x. 1 ? ?5= k+b, 代入 B,C 两点,则? 2 ? ?0=k+b,

∴k=-10,b=10.

? ?10x, ∴f(x)=? ? ?-10x+10,
2

1 0≤x≤ , 2 1 <x≤1, 2

1 0≤x≤ , ? ?10x , 2 ∴y=xf(x)=? 1 ? ?-10x +10x, 2<x≤1,
2

5 答案: 4 三、解答题 17 f? x? 10.若 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x) dx= ,求?2 dx 的值. 6 ? ? ? x
0 0 1

解析:∵f(x)是一次函数,∴设 f(x)=ax+b(a≠0).

?1 2 ? 1 1 由?1(ax+b)dx=5,得? ax +bx?|0= a+b=5.① 2 ?2 ? ?
0

17 17 2 由?1xf(x)dx= ,得?1(ax +bx)dx= . 6 6 ? ?
0 0

4

?1 3 1 2? 1 17 即? ax + bx ?|0= . 2 ? 6 ?3
1 1 17 ∴ a+ b= .② 3 2 6 解①②,得 a=4,b=3. ∴f(x)=4x+3. 于是?2 f?

?1

x? 4x+3 3 dx=?2 dx=?2(4+ )dx x x ? x ?
1 1

=(4x+3lnx)|1=8+3ln2-4 =4+3ln2. 11.(2013·日 照调研)如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相 等的两部分,求 k 的值.
2

2

解析:抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0, x2=1, 所以抛物线与 x 轴所围图形的面积

2

?x x ? 1 1 1 1 S=? (x-x )dx=? - ?|0= - = . 2 3 6 ?2 3? ?0
1 2

2

3

又可得抛物线 y=x-x 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0,x′2=1-k, S 1-k 2 所以 =∫0 (x-x -kx)dx 2

2

?1-kx2-x ?|1-k =? 0 3? ? 2 ?
1 3 = (1-k) . 6 1 1 3 又知 S= ,所以(1-k) = . 6 2 3 3 1 4 于是 k=1- =1- . 2 2
5

3

12.设函数 f(x)=x +ax +bx 在点 x=1 处有极值-2. (1)求常数 a、b 的值; (2)求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的图形的面积. 解析:(1)由题意知,f′(x)=3x +2ax+b,f(1)=-2,且 f′(1)=0,
? ?1+a+b=-2, 即? ? ?3+2a+b=0, ? ?a=0, 解得? ? ?b=-3.
3 2

3

2

(2)由(1)可知,f(x)=x - 3x. 作出曲线 y=x -3x 的草图如图,
3

所求面积为阴影部分的面积,由 x -3x=0 得曲线 y=x -3x 与 x 轴 的交点坐标是(- 3,0),(0,0)和( 3,0),而 y=x -3x 是 R 上的奇函数,所以函数图像关于原点成中心 对 称. 所以所求图形的面积为
3

3

3

6


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