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山东省青岛市城阳一中2017-2018学年度高二选修2-1圆锥曲线测试题(有答案)


圆锥曲线测试题
1.过椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点 F 则 A 与 B 和椭圆 1 的直线与椭圆交于 A, B 两点,

的另一个焦点 F2 构成的 ?ABF2 的周长为(
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 2



2.已知 , 是椭圆 : A. B. C.

的两个焦点,在 上满足 D. 无数个

的点 的个数为()

3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 60? 的 a 2 b2


直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. ?1, 2 ? B. ?1, 2

?

C.

?2, ???

D.

? 2, ???

4.已知抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 相交于 A, B 两点,其中 A 点的坐标是 ?1, 2 ? , 如果抛物线的焦点为 F ,那么 FB ? FA 等于( ) A. 5 B. 6 C. 3 5 D. 7

5.设 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,过 F1 , F2 作 x 轴的垂线交椭圆四点 a 2 b2
) D.

构成一个正方形,则椭圆的离心率 e 为( A.

3 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

2 2

3 2

6.设椭圆

x2 y 2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1的公共焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共 6 2 3
)A.

点,则 cos?F 1PF 2 的值等于( 7.已知双曲线

1 3

B.

1 4

C.

1 9

D.

3 5

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆与 a 2 b2


双曲线渐近线的一个交点为 ?1, 2 ? ,则此双曲线为 (

A.

x2 ? y2 ? 1 4

B. x ?
2

y2 ?1 4

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D. x ?
2

y2 ?1 2

8.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点 ? ?2,3? 的抛物线方程是(
2 A. y ?



9 4 9 4 2 2 x 或 x2 ? ? y D. y ? ? x 或 x ? y 4 3 2 3 1 9.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 , E 的右焦点与抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点 2
2 B. x ? 2 C. y ? ?

9 x 4

4 y 3

重合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB =( A. 3 B. 6 C. 9 D. 12



P 是它们的一个公共点, 10. 已知 F 且 ?F1 PF2 ? 1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,
则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是( A. ?1 , ? ?? B. ) D.

2? , 3

1? ? 0,

C. (0, 2)

?


2, ??

?
? 的直线交曲线 C 于 A , 3

11.已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 且倾斜角为

B 两点,则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为(
A.

16 3

B.

13 3

C.

8 3

D.

5 3

12.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 , F1 , F2 分别是双曲线 a2 4
) .

C 的左,右焦点,点 P 在双曲线 C 上,且 PF1 ? 6.5 ,则 PF2 等于(
A. 0.5 B. 12.5 C. 4 或 10 D. 0.5 或 12.5

13.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 2 倍,且过点 P ? 3,0? ,则椭圆的方程为 __________. 14.若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线 x2-y2=8 的一个焦点,则 p=______.
2 15.已知抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) , O 为坐标原点, A , B 为抛物线上的点,

若 ? OAB 为等边三角形,且面积为 48 3 ,则 p 的值为__________. 16.若 A, B 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1(m ? 1) 短轴上的两个顶点,点 P 是椭圆上异于 A, B m
m ,则椭圆 E 的离心率为__________. 4

的任意一点,若直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 ?

17.已知双曲线 C 和椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有公共的焦点,且离心率为 3 . 4 1

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程. (Ⅱ) 经过点 M ? 2,1? 作直线 l 交双曲线 C 于 A , B 两点, 且 M 为 AB 的中点, 求直线 l 的

方程. 18 .已知抛物线 C : y 2 ? 2 px(0 ? p ? 3) 的焦点为 F ,点 Q m, 2 2 在抛物线 C 上,且

?

?

QF ? 3 。
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程及实数 m 的值; (Ⅱ)直线 l 过抛物线 C 的焦点 F ,且与抛物线 C 交于 A, B 两点,若 ?AOB ( O 为坐标原 点)的面积为 4 ,求直线 l 的方程.

x2 y 2 2 19.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F ,且过 1 , F2 ,离心率为 a b 2
点 2, 2 . ( 1 )求椭圆 C 的标准方程. ( 2 )M 、N 、P 、 两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ Q 是椭圆 C 上的四个不同的点, 分别过点 F 1 , F2 ,且这条直线互相垂直,求证:

?

?

1 1 ? 为定值. MN PQ

20.椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的直线与 2 2 a b
1 . 2

椭圆在第一象限相交于点 M , MF ?

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设椭圆 C 的左顶点为 A ,右顶点为 B ,点 P 是椭圆上的动点,且点 P 与点 A , B 不 重合,直线 PA 与直线 x ? 3 相交于点 S ,直线 PB 与直线 x ? 3 相交于点 T ,求证:以线段 ST 为直径的圆恒过定点. 21.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 2 x ?10 ? 0 点 A 平分线 I 和半径 CP 相交于点 Q 。 (Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 2 与点 Q 的轨迹交于不同两点 A 和 B ,且 OA ?OB ? 1(其中 O 为坐 标 原点) ,求 k 的值.
2 22.已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与抛物线 y ?

?

2, 0 , P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直

?

??? ? ??? ?

1 x 相交于 A, B 两点( A 在 B 上方),O 是坐标 2

原点。 (Ⅰ)求抛物线在 A 点处的切线方程; (Ⅱ)试在抛物线的曲线 AOB 上求一点 P ,使 ?ABP 的面积最大.

参考答案 1.B 2.B 3.C 4.D 13.

5.B

6.A

7.B

8.D

9.B

10.A

11.D 12.D

x2 x2 y 2 ?1 ? y2 ? 1 或 ? 9 81 9

14.8 15.2 解 设 B ? x1 , y1 ? ,
2 2 2 . 又 y1 A? x2 , y2 ? , ∵ OA ? OB , ∴ x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2 px1 ,

2 2 ? x12 ? 2 p ? x2 ? x1 ? ? 0 ,即 ? x2 ? x1 ?? x1 ? x2 ? 2 p ? ? 0 . y2 ? 2 px2 ,∴ x2

又 x1 、 x2 与 p 同号,∴ x1 ? x2 ? 2 p ? 0 .∴ x2 ? x1 ? 0 ,即 x1 ? x2 . 根据抛物线对称性可知点 B , A 关于 x 轴对称,由 ? OAB 为等边三角形,不妨设直线 OB 的 方 程 为

3 y? x 3
2





3 x { 3 y 2 ? 2 px y?
。 ∵







B 6

?

p,

2

?

p 3 ,



OB ?

?6 p?

? 2 3p

?

?

2

? 4 3p

? OAB

的 面 积 为

48 3





3 4 3p 4 2 2

?

?

2

? 48 3 ,解得 p 2 ? 4 ,∴ p ? 2 .

16.

17. 解: (I)由题意得椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F ? 3, 0 , F2 ?3,0? , 4 1

?

?

x2 y 2 c 2 2 2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 则c ? a ?b ? 3, ∵ e ? ? 3 ∴ c ? 3a , a a b


c 2 ? 3a 2 ? 3 ,解得 a 2 ? 1 ,∴

b2 ? 2 ,∴ 双曲线方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 2

(II)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 2? ,即 y ? k ? x ? 2? ? 1 。

y ? k ? x ? 2? ? 1
由{

y2 x ? ?1 2
2

2 2 2 2 消去 x 整理得 2 ? k x ? ?2k ? 4k x ? 4k ? 4k ? 3 ? 0 ,

?

?

?

?

∵直线 l 与双曲线交于 A , B 两点,

∴{

2 ? k2 ? 0 ? ? ?2k ? 4k 2

?

?

2

? 4 2 ? k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 3 ? 0

?

??

?



解得 k 2 ? 2 。设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 ? 2k ,又 M ? 2,1? 为 AB 的中点 k2 ? 2



4k 2 ? 2k ? 4 ,解得 k ? 4 .满足条件。 k2 ? 2

∴ 直线 l的方程为y ? 4 ? x ? 2? ?1 ,即 y ? 4 x ? 7 . 18. 解: (Ⅰ) 因为抛物线 C 过点 Q m, 2 2 , ? 2 pm ? 8 又因为 QF ? 3 , m ?

?

?

p ? 3, 2

? 0 ? p ? 3 ,解得: p ? 2, m ? 2 ? y 2 ? 4 x , m ? 2 ;
(Ⅱ)? y 2 ? 4 x 的焦点 F ?1,0 ? ,设所求的直线方程为: x ? my ? 1 由 {

x ? my ? 1 ,消 y2 ? 4x

2 去 x 得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 因为直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, ?? ? 16m ? 16 ? 0 ,

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,{ 所以 ?AOB 的面积为 ?

y1 ? y2 ? 4m , y1 ? y2 ? y1 y2 ? ?4

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? 16m2 ? 16

1 1 ? OF y1 ? y2 ? 16m 2 ? 16 ? 4 , 2 2

解得: m2 ? 3,?m ? ? 3 ,所以所求直线 l 的方程为: x ? ? 3 y ?1 .

19. 解: ( 1 )∵

e?

c 2 ,∴ ? a 2

b2 a 2? c 2 1 ? ? 1 ? e2 ? ,∴ 2 2 a a 2

a 2 ? 2b2 ,

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1,又点 2, 2 在椭圆上,∴ 2b 2 b 2 x2 y 2 ? ?1. 8 4

?

?

2 22 ( 2) ? 2 ?1 2b 2 b

2 解得 b ? 4 ,∴

a 2 ? 8 ,∴ 椭圆 C 的方程为

( 2 )由(1)得椭圆 C 的焦点坐标为 F 1 ? ?2,0? , F 2 ? 2,0? , ①当直线 MN 的斜率为 0 时,则 MN ? 4 2,? PQ ? 2 2 ,



1 1 1 1 3 2 . ? ? ? ? MN PQ 4 2 2 2 8

②当直线 MN 的斜率为 0 时,设其 方程为y ? k ? x ? 2? ,

由直线 MN 与 PQ 互相垂直,可得直线 PQ的方程为y ? ?

1 ? x ? 2? , k

y ? k ? x ? 2?
由 { x2

2 2 2 2 消去 y 整理得 ? 2k ? 1? x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 , y2 ? ?1 8 4

设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

?8k 2 8k 2 ? 8 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1


MN ? 1 ? k

2

? x1 ? x 2?

2

? 4x x 1 ? 2

4 2 1 ? k2 2k ? 1
2

?

?,

同理 PQ ?

4 2 1? k 2 k2 ? 2

?

?,



1 1 2 k2 ? 1 k2 ? 2 ? ? ? MN PQ 4 2 1 ? k2 4 2 ?1k 2

?

?

?

?

?

k 32 ? 3 3 2 ? . 2 8 4 2? k 1

?

?

综上可得

1 1 3 2 为定值。 ? ? MN PQ 8
b2 1 c 3 ? ,联立解得: a ? 2, ,又 MF ? b ?1, ? a 2 a 2 x2 y 2 ? ?1. 4 1

20 解: (1)解: 因为e ?

所以椭圆 C 的标准方程为

(2)证明:设直线 AP 的斜率为 k,则直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 2? , 联立 x ? 3 得 S ? 3, 5k ? . 设P ? x0, y0 ?, 代入椭圆的方程有:
2 0

2 x0 y2 ? 0 ? 1? x0 ? ?2 ? , 4 1

2 y0 y y 1 2 1 整理得: y ? ? x0 ? 4 ,故 2 ( k, k? 分 ? ? ,又 k ? 0 , k ? ? 0 4 x0 ? 4 4 x0 ? 2 x0 ? 2

?

?

别为直线 PA ,PB 的斜率 ) ,所以 kk ? ?

2 y0 1 ? ? ,所以直线 PB 的方程为: 2 x0 ? 4 4

y?

1 1 ? 3, ? ,所以以 ST 为直径的圆的方程为: ? x ? 2 ? ,联立 x ? 3 得 T ? ? ?4 k ? ?4k ?

? 5k 1 ? ? ? 5k 1 ? 2 5 , ? x ? 3? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,令 y ? 0 ,解得: x ? 3 ? 2 ? ? 2 8k ? ? ? 2 8k ?
? 5 ? 所以以线段 ST 为直径的圆恒过定点 ? 3 ? , 0? ? ?. 2 ? ?
21.解: (I)配方,圆 C : x ? 2

2

2

?

?

2

? y2 ? 2 3

?

?

2

由条件, QC ? QA ? CP ? CA ,故点 Q 的轨迹是椭圆, a ? 3, c ? 2, b ? 1 ,

椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 3 x2 ? y2 ? 1 得 ( 1 ? 3k 2)x2 ? 6 2kx ? 3 ? 0 . 3

(II)将 y ? kx ? 2 代入

由直线与椭圆交于不同的两点,得

1 ? 3k 2 ? 0, { ? ? 6 2k

?

?

2

? 12 1 ? 3k 2 ? 12 3k 2 ? 1 ? 0.

?

?

?

?

2 即k ?

1 . 3

设 A ? xA , yA ? , B ? xB , yB ? ,则 xA ? xB ? ? 由 OA ? OB ? 1 ,得 xA xB ? y A yB ? 2 .

6 2k 3 . , xA xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

??? ? ??? ?

? k ? 1 x A xB ? 2k ? x A ? xB ? ? 2 而 xA xB ? y A yB ? x A xB ? kx A ? 2 (kxB ? 2)
2

?

?

?

?

? k 2 ?1

?

? 1 ?3 3k

2

? 2k

6 2k 5 ? 3k 2 . ? 2 ? 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1

5 ? 3k 2 6 6 ? 1.解得 k ? ? 于是 2 .故 k 的值为 ? . 3k ? 1 3 3

x ? 2y ? 4 ? 0 1 2 1 22.解: (I)由 { 得 A ? 2, 1? ,故令 y ? x, y ' ? ,k ? 1 2 y ? x 2 4 4 x 2
抛物线在 A 点的切线方程为 x ? 4 y ? 2 ? 0 .
2 (II) 由y ?

1 x 及直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系可知, 点 P 应位于直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的 2

下方.故令 y ? ?

1 2 , x, y ' ? ? 2 4 x

设切点为 ? x0 , y0 ? 过切点 ? x0 , y0 ? 的切线与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 平行, 所以 ?

2 1 1 ? ? .所以 x0 ? , 2 2 4 x0

所以切点坐标为 ? , ?

?1 ?2

1? ?, 2?

此时该点为抛物线上与线段 AB 的距离最大的点, 故点 P ?

?1 1? , ? ? 即为所求. ?2 2? ?1 1? , ? ? ,使 ?ABP 的面积最大. ?2 2?

所以在抛物线的曲线 AOB 上存在点 P ?


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