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2.2.2等差数列


2.2 等差数列习题课教学设计
【课程分析】 数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作 用。 一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分; 另一方面,学习数列也为进一步 学习数列的极限等内容做好准备。 而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的 两种方法—通项公式和递推公式的基础上, 对数列的知识进一步深入和拓广。 同时等

差数列 也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 【学情分析】 进入高一第二学期, 学生的知识经验已较为丰富, 他们的智力发展已到了形式运演阶段, 具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力,所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨 以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。我所教的班为重点班, 所以课上我会用更多的时间积极启发引导,使学生学会观察问题、探究问题,自主归纳总结 进而得出结论。 针对本班学生的思维特点和心理特征, 本节课我采用启发式、 讨论式以及讲练结合的教 学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流 的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题。在引导分析时,留出学生的思考空间,让 学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的 问题弄清。 【教学目标】 了解公差的概念, 明确一个数列是等差数列的条件, 能根据定义判断一个数列是等差数 列;正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、 项数、指定的项。 【教学流程】 一、复习旧知,热身训练 判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项 果不是,说明理由。 (1)1,3,5,7,?? (2)9,6,3,0,-3,?? (3)-8,-6,-4,-2,0,?? (4)3,3,3,3,3,?? (5)15,12,10,8,6,?? 本组练习的设计思路:通过练习,加深对等差数列的概念的理解,同时给出判断一个数列 是等差数列的方法—利用定义。并培养了学生观察,概括的能力。 和公差 ,如

二、巩固练习,夯实基础 [例 1]⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项; ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 n=20,得

⑵由

,得数列通项公式为:



由题意可

知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得 是这个数列的第 100 项。

成立,解得 n=100,即-401

本题设计思路: 掌握通过等差数列中的某些项, 求出等差数列的公差和通项公式的方法, 培养学生的方程意识,在等差数列的通项公式 中, 四个量知

三求其一的思想。 并能通过通项公式判断某一项是否在这个等差数列中。 通过灵活运用所学 解决问题,培养了学生勤于思考和严谨的学习态度。 [例 2]已知数列{ 系? 分析:由等差数列的定义,要判定 不是一个与 n 无关的常数。 解:当 n≥2 时,(取数列 中的任意相邻两项 与 (n≥2)) 是不是等差数列,只要看 (n≥2)是 }的通项公式 ,其中 、 是常数,那么这个数列是否

一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?它与函数 y=px+q 两者图象间有什么关

为常数,

∴{

}是等差数列,首项

,公差为 p。

本题设计思路:此题是对学生进行数列问题提高训练,学习如何用定义解决数列问题, 同时强化了等差数列的概念;进而让学生从数(结构特征)与形(图象)上进一步认识到等 差数列的通项公式与一次函数之间的关系。希望学生通过分析,得出如下结论: ①若 p=0,则{ }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,…;

②若 p≠0,则{

}是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图

象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q;

③数列{

}为等差数列的充要条件是其通项

=pn+q (p、q 是常数),称其为第三通项公式;

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足三个通项公式中的一个。 把研究函数的方法迁移 来研究数列,培养学生对知识、方法的迁移能力,进一步培养了学生思维的严谨性和勇于探 索求知的精神, 并激发了学生对数学学习的兴趣和信心, 以及让学生学会用联系的观点看问 题的辩证思想。 [例 3]已知数列{ }是等差数列

(1)

是否成立?

呢?为什么?

(2)

是否成立?据此你能得到什么结论?

(3)

是否成立?你又能得到什么结论? ,则 推不

本题设计思路:通过例题希望学生发现在等差数列中,若 (m, n, p, q∈N)的性质,但又要明确两点,①由



出 m+n=p+q,②

也不成立,这些都是学生易错的地方。通过练习培养了学生

归纳概括的能力,使学生对知识的认识更完整,更系统,在得出正确结论过程中,学生自然 而然的产生了质疑,培养了学生对待问题孜孜以求的态度。 [例 4]在等差数列{ }中,若 + =9, =7, 求 , .

分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知 道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公 差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手。 解:∵{an}是等差数列∴ + = + =9 =9- =9-7=2

∴d=



=7-2=5



=

+(9-4)d=32 ∴

=2,

=32 则

本题设计思路:希望通过此题的训练,让学生熟练掌握等差数列若

的性质,并发现运用性质解题所带来的方便。并在做题中不断渗透学生 对解题策略的挖掘,即找寻所求与已知的关系,进而解决问题的思维过程。培养了学生的应 用意识和总结归纳的能力。

三、提升训练,灵活应用 [习题 1].(1)求等差数列 3,7,11,??的第 4 项与第 10 项; (2)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明 理由. 设计思路:此组练习与例 1 的类型相同,关键是检测学生对通项公式的掌握程度,还要 注意解题步骤的规范性与准确性,培养学生分析问题、解决问题的能力。 [习题 2].(1)在等差数列 中,已知 , ,求首项 与公差



(2)在等差数列

中, 若

,

,求



设计思路:巩固等差数列的通项公式的求法,并明确等差数列中任意两项间的关系,在 (2)问中,不一定要求出


希望学生能自己总结出来,并比较不同方法解题时的快慢,

不仅培养了学生独立思考的能力,通过对各种解题方法的比较,学生能自己归纳总结,又培 养了学生的判断和决策能力。 [习题 3].某出租车的计价标准为 2.0 元/km,起步价为 10 元,即最初的 3km(含 3km)计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等候时候为 0,需 要支付多少车费? 设计思路:最后这道习题是一道实际问题,是整节课学习内容的升华,我采用启发式和 小组讨论相结合的教学方法,我把学生分组,然后让他们合作探究解决问题。我首先启发学 生注意“出租车的计价标准为 2.0 元/km”,使学生想到在每个整公里时出租车的车费构成 等差数列,引导学生将该实际问题转化为数学模型----等差数列,并提示学生,必要时可用 作图分析来化解难点。 这样既加强同学们对应用题的综合分析能力, 又通过数学实际问题引 出等差数列问题,激发了学生的兴趣;再者通过数学实例展示了从实际问题出发,经抽象概 括建立数学模型,最后还原说明实际问题的“数学建模”的思想方法。体现了数学的实际价 值所在。 总之,本节课例习题的设计上都遵循课本和课标的要求,做到有的放矢,紧紧围绕教学 目标设计相应的例题、习题,自始至终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、应用等 能力的培养,通过让学生自主探究与合作交流,提高了学生应用意识和实践能力。把课堂交 给学生,呈现一个绿色的、可持续发展的课堂,为学生的终身学习奠定基础。


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