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高二数学会考大题训练检测19


已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (1)若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值 范围; (2) 若当 x ? R 时, 不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立, 求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [

?2, 2] 上的最大值(直接写出结 ..... 果,不需给出演算步骤) . ........ . (1)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x2 ? 1|? a | x ? 1| ,变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 , 显然, x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方 程 | x ? 1|? a , 有且仅有一个等于 1 的解或无解 , 结
a?0.









……………………4 分

(2) 不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立, ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1|(*) x ? R 即 对 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?
2 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ,令 ? ( x) ? x ? 1 ? ? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综 合 ① ② , 得 所 求 实 数
a ≤ ?2 .

a

的 取 值 范 围 是

…………………………………8 分

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), … ? ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?

10 分 ① 当 a ? 1,即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递
2

增, 且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大 值为 3a ? 3 . ② 当 0 ≤ a ≤1,即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] , [? a ,1] 上
2 2

递减,
a [?1, ? ] , [1, 2] 2 2 a a h( ? ) ? ? a ?1, 2 4



上 递 增 , 且

h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3



经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . ③ 当 ?1≤ a ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] ,[? a ,1] 上
2 2

递减,
a [?1, ? ] , [1, 2] 2 2 a a h( ? ) ? ? a ?1, 2 4



上 递 增 , 且

h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3



经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . ④ 当 ? 3 ≤ a ? ?1,即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, a ] , [1, ? a ]
2 2 2 2

上递减, 在 [ a ,1] , [? a ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 ,
2 2
h(2) ? a ? 3 ≥ 0 ,

经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . 当 a ? ? 3 ,即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2]
2 2

上递增, 故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 .

综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当
a ? ?3





h( x )



[?2, 2]



的 最

大 值



0.…………………………………………16


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