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立体几何二面角5种常见解法


立体几何二面角大小的求法
二面角的类型和求法可用框图展现如下:

一、定义法: 直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作 棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; 例、 如图,已知二面角α -а -β 等于 120°,PA⊥α ,A∈α ,PB⊥ β ,B∈β . 求∠APB 的大小.
P A

O

B

例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥ 平面 ABCD, PA=AB=a,求二面角 B-PC-D 的大小。

P

H A j

B

二、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线, 用三垂线定理或 逆定理作出二面角的平面角; 例、在四棱锥 P-ABCD 中, ABCD 是平行四边形, PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,∠ ABC=30° ,求二面角 P-BC-A 的大小。

L

p

A

例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底 面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角 的正切值.

B

H

D1

C1 B1

A1
D

C O E B

A

例、Δ ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面 ABC 外一点 P 在平 面 ABC 内的射影是 AB 中点 M, 二面角 P—AC—B 的大小为 45°。 求 (1) 二面角 P—BC—A 的大小; (2)二面角 C—PB—A 的大小

P

B D

A M

C

例、 (2006 年陕西试题)如图 4, 平面 ? ⊥平面 ? , A∈ ? , ? ∩ ? =l, B∈ ? ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1,点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1,BB1= 2,求:二面角 A1-AB-B1 的大小.

A E F

?

L
A1

B1

?
图4

B

三、垂面法: 已知二面角内一点到两个面的垂线时, 过两垂线作平面与两个半 平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的 平面与棱垂直; 例、空间的点 P 到二面角 ? ? l ? ? 的面 ? 、 ? 及棱 l 的距离分别为 4、3、
2 39 ,求二面角 ? ? l ? ? 的大小. 3
P

?
A

?
B C

l

四、射影法: (面积法)

利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此 方法不必在图形中画出平面角; 例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA =AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。

P

A

D

B

l C

例、如图,设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 BMD1 与底面 ABCD 所成的二面角的大小。

D1

C1

A1 D

B1 H

M C

A

B

五、平移或延长(展)线(面)法 对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交 出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥ 平面 ABCD, PA=AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。
P C1

P

A1

B1

D

C

D

C

A

B

A

B


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