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高中数学选修2-2知识点总结[1]


数学选修 2-2 知识点总结
导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

我们称它为函数 y ? f ( x)

在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 ,即

f ?( x0 ) = lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P 趋近于 P 时,直线 PT 与 n 曲线相切。容易知道,割线 PP 的斜率是 kn ? n

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P 趋近于 P 时,函 n xn ? x0

数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即

k ? lim

?x ?0

f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

3. 导函数: x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数, 当 我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有时也记作 y? ,即

f ?( x) ? lim
二.导数的计算 基本初等函数的导数公式:

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

? ? ?1 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ;2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x ;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x ;4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a ;6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e
x x x x

x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

1 1 ;8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x ln a x

导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个 最大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明 考点 数学归纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在 n=1(或 n0 )时成立,这是递推的基础; B.假设在 n=k 时命题成立 C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0 ,且 n ? N )结论都成立。

第一章 数系的扩充和复数的概念 考点一:复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi(a ? R, b ? R) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时, 叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部 分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 考点二:复数的运算 1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2
2,几个重要的结论 (1) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) (2) z ? z ?| z |2 ?| z |2 (3)若 z 为虚数,则 | z | ? z
2 2

3.运算律 (1) z ? z ? z
m n m? n

;(2) ( z ) ? z
m n

mn

n ;(3) ( z1 ? z2 )n ? z1 ? z2n (m, n ? R)

4.关于虚数单位 i 的一些固定结论: (1) i ? ?1 (2) i ? ?i
2 3

(3) i ? 1
4

(2) i ? i
n

n?2

? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0


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